Представление Гейзенберга | это... Что такое Представление Гейзенберга? (original) (raw)

Просмотр этого шаблона Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение Математические основы
Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт
См. также: Портал:Физика

Представление Гейзенберга — такое представление квантовой механики, при котором зависимость от времени с волновых функций (представление Шрёдингера) перенесена на операторы.

В таком представлении операторы координат и импульсов явно зависят от времени, а волновая функция от времени не зависит.

Содержание

Переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга

Рассмотрим случай, когда оператор Гамильтона \hat H не зависит от времени. Разложим произвольную волновую функцию \Psi(\vec{r},t)~ по волновым функциям стационарных состояний \psi_{n}(\vec{r})~.

\hat H \psi_{n}(\vec{r})=E_{n}\psi_{n}~ — по определению стационарных состояний. E_{n}~ — собственная энергия состояния |n\rangle~ .

Тогда само разложение можно записать, как:

\Psi(\vec{r},t)=\sum_{n} c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar}\psi_{n}(\vec{r})~~~(1)

Введем унитарный оператор \hat S(t)=e^{-i\hat H t/\hbar}

Его собственные функции совпадают с собственными функциями оператора Гамильтона \hat H, то есть с функциями \psi_{n}(\vec{r})~. Тогда \hat S(t) обладает следующим свойством:

\hat S(t)\psi_{n}(\vec{r})=e^{-iE_{n}t/\hbar}\psi_{n}(\vec{r})~~~(2)

Используя этот оператор можно записать разложение ~(1) в виде:

\Psi(\vec{r},t)=\hat S(t)\Psi(\vec{r},0)~~

или, что то же самое:

~|\Psi(\vec{r},t)\rangle=\hat S(t)|\Psi(\vec{r},0)\rangle

Эта запись означает, что оператор \hat S(t)~ переводит состояние в начальный момент времени в состояние в произвольный момент времени.

Теперь для того, чтобы перевести зависимость от времени с волновой функции на произвольный оператор, мы рассмотрим среднее значение некого оператора \hat A:

\langle A(t) \rangle=\int\Psi^{*}(\vec{r},t)\hat A \Psi(\vec{r},t) d\vec{r} — по определению среднего значения оператора.

Используя оператор \hat S(t) и помня, что он унитарный, можно записать среднее значение оператора \hat A, как:

\langle A(t) \rangle=\int\Psi^{*}(\vec{r},0) \hat S^{-1}(t) \hat A \hat S(t) \Psi(\vec{r},0) d\vec{r} — по определению среднего значения оператора.

Таким образом мы приходим к связи произвольного оператора в представлении Гейзенберга и представлении Шрёдингера:

\hat A_H(t)=\hat S^{-1}(t) \hat A \hat S(t)

где \hat S(t) — унитарный оператор, удовлетворяющий условию ~(2) .

Для Гейзенберговского представления не применимо уравнение Шрёдингера. Вместо него в представлении Гейзенберга используется уравнение Гейзенберга для операторов:

{d \over dt} \hat{A_H}= -{1\over i \hbar} [\hat{H},\hat{A_H}] + \frac{\partial \hat{A_H}}{\partial t},

Применение

Представление Гейзенберга бывает удобным применять при рассмотрении релятивистской теории.

См. также

Литература

Ссылки