Уравнение Линдблада | это... Что такое Уравнение Линдблада? (original) (raw)

Просмотр этого шаблона Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение Математические основы
Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая сцепленность · Смешанное состояние ·Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт
См. также: Портал:Физика

Уравнение Линдблада — уравнение для матрицы плотности, является наиболее общим видом марковского производящего уравнения, описывающего неунитарную (диссипативную, негамильтонову) эволюцию матрицы плотности \rho. Эволюция при этом представляется вполне-положительным отображением (супероператором), сохраняющим след. Предложено в 1976 году Г. Линдбладом[1], В. Горини, А. Коссаковским, Е. К. Г. Сударшаном[2].

Уравнение Линдблада для матрицы плотности может быть записано в виде:

{d \over dt} \rho ={1\over i \hbar} [H,\rho ]+{1\over 2\hbar} \sum^{\infty}_{k=1} \big([V_k \rho ,V^{\dagger}_k] +[V_k,\rho V^{\dagger}_k] \big),

где \ \rho — матрица плотности, \ H — оператор Гамильтона, \ V_k — некие операторы. Если операторы \ V_k равны нулю, то уравнение Линдблада переходит в уравнение фон Неймана (квантовое уравнение Лиувилля).

Уравнением Линдблада называют также уравнение для квантовой наблюдаемой. Это уравнение имеет вид:

{d \over dt} A= -{1\over i \hbar} [H,A]+ {1\over 2\hbar} \sum^{\infty}_{k=1} \big(V^{\dagger}_k [A, V_k] +[V^{\dagger}_k,A]V_k \big),

где \ A — квантовая наблюдаемая. Если операторы \ V_k равны нулю, то уравнение Линдблада для квантовой наблюдаемой \ A переходит в уравнение Гейзенберга

Уравнение Линдблада, называемое также квантовым марковским уравнением, применяется для описания открытых, диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Важным частным случаем уравнения Линдблада является модель случайных столкновений[3], в которой операторы \ V_k имеют вид: \ V_{kl}{=}\hbar\gamma\sqrt{\tilde\rho_{kk}}|k\rangle\langle l| (для удобства записи матричный индекс \ k заменен на двойной). Подстановка этих операторов приводит уравнение Линблада к виду:

{d \over dt} \rho ={1\over i \hbar} [H,\rho ]+\gamma(\tilde\rho-\rho),

где \ \tilde\rho — фиксированная диагональная матрица с ненулевыми элементами \tilde\rho_{kk}, такими, что \ {\mathrm{Tr}}\ \tilde\rho{=}1, описывающая матрицу плотности термодинамически равновесного состояния системы. Модель случайных столкновений пригодна для случаев, когда взаимодействие квантовой системы с резервуаром происходит в режиме коротких и сильных импульсов, между которыми система эволюционирует как закрытая.

Примечания

  1. ↑ Lindblad G. On the generators of quantum dynamical semigroups, // Commun. Math. Phys. — 1976. — № 48. — С. 119—130.
  2. ↑ Gorini V., Kossakowski A., Sudarshan E. C. G. Completely positive dynamical semigroups of N-level systems // J. Math. Phys. — 1976. — № 17. — С. 821—825.
  3. ↑ Ильинский Ю. А., Келдыш Л. В. Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом.. — М.: Издательство МГУ, 1989.

Литература

См. также