Преобразования Лоренца | это... Что такое Преобразования Лоренца? (original) (raw)

Преобразова́ния Ло́ренца — линейные (или аффинные) преобразования векторного (соответственно, аффинного) псевдоевклидова пространства, сохраняющее длины или, что эквивалентно, скалярное произведение векторов.

Преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства сигнатуры $(n-1,\;1)$ находят широкое применение в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), где в качестве аффинного псевдоевклидова пространства выступает четырёхмерный пространственно-временной континуум (пространство Минковского).

Преобразования Лоренца в математике

Преобразование Лоренца представляет собой естественное обобщение понятия ортогонального преобразования (то есть преобразования, сохраняющего скалярное произведение векторов) с евклидовых на псевдоевклидовы пространства. Различие между ними состоит в том, что скалярное произведение предполагается не положительно определённым, а знакопеременным и невырожденным (так называемое индефинитное скалярное произведение).

Определение

Преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова векторного пространства $\,L$ — это линейное преобразование $\,A\colon L\to L$ , сохраняющее индефинитное скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов $x,\;y\in L$ выполняется равенство

$\langle A(x),\;A(y)\rangle=\langle x,\;y\rangle,$

где треугольными скобками обозначено индефинитное скалярное произведение $\langle x,\;y\rangle$ в псевдоевклидовом пространстве $\,L$ .

Аналогично, преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова аффинного пространства — это аффинное преобразование, сохраняющее расстояние между точками этого пространства (это расстояние определяется как длина вектора, соединяющего данные точки, с помощью индефинитного скалярного произведения).

Общие свойства

$A^*\,G\,A=G,\qquad(*)$

где звёздочка означает транспонирование матрицы. И обратно, любая матрица $\,A$ , удовлетворяющая соотношению (*) , является матрицей преобразования Лоренца. Всегда можно выбрать базис $e_1,\;\ldots,\;e_n$ таким образом, что индефинитное скалярное произведение имеет вид

$\langle x,\;y\rangle=x_1y_1+\ldots+x_ky_k-x_{k+1}y_{k+1}-\ldots-x_ny_n,$

и в равенстве (*) матрица $\,G$ ― диагональная с элементами $\,1$ (первые ) и $\,-1$ (последние n-k ).

Из соотношения следует, что, как и в случае ортогонального преобразования, определитель $\,|A|=+1$ или $\,|A|=-1$ .
Если подпространство $L_1\subset L$ инвариантно относительно лоренцева преобразования $A\colon L\to L$ , то и его ортогональное (в смысле данного индефинитного скалярного произведения) дополнение $L_1^\perp$ тоже инвариантно относительно преобразования $\,A$ , причем $\dim L_1+\dim L_1^\perp=\dim L$ . Однако, в отличие от ортогональных преобразований евклидовых пространств, равенство $L_1\oplus L_1^\perp=L$ , где символ $\oplus\!$ означает прямую сумму подпространств, вообще говоря, не имеет места (оба подпространства $\,L_1$ и $L_1^\perp$ могут содержать одни и те же ненулевые изотропные векторы, то есть $L_1\cap L_1^\perp\neq 0$ , так как любой изотропный вектор ортогонален сам себе).[1]

Свойства в пространствах сигнатуры (n-1, 1)

Из равенства $\langle A(x),\;A(x)\rangle=\langle x,\;x\rangle$ следует, что лоренцево преобразование переводит световой конус в себя, а также переводит в себя его внешность (в СТО — область абсолютно удалённого). Однако при этом две компоненты светового конуса, разделенные его вершиной (в СТО они ограничивают конус будущего и конус прошлого), могут либо переходить в себя, либо меняться друг с другом местами.
Исходя из того, переставляет ли данное лоренцево преобразование $\,A$ части светового конуса, или оставляет их на месте, а также из знака определителя $\,|A|=\pm 1$ , группу Лоренца можно разделить на 4 части, которые являются её линейно связными компонентами (но подгруппой является лишь одна из них). Этот факт (наличие четырёх компонент связности) часто интерпретируют как наличие четырёх ориентаций псевдоевклидова пространства (в отличие от евклидова пространства, где есть только две ориентации).[1]

Явный вид преобразований псевдоевклидовой плоскости

Лоренцевы преобразования псевдоевклидовой плоскости можно записать в наиболее простом виде, используя базис $e,\;g$ , состоящий из двух изотропных векторов:

$\langle e,\;e\rangle=0,\quad\langle g,\;g\rangle=0,\quad\langle e,\;g\rangle=1/2.$

Именно, в зависимости от знака определителя $\,|A|=\pm 1$ , матрица преобразования в данном базисе имеет вид:

$A=\begin{pmatrix} a&\ \ \, 0\\ 0&\, 1/a\end{pmatrix} \ \Leftrightarrow \ |A|=+1, \qquad A=\begin{pmatrix} 0&\ a\\ 1/a&\,0\end{pmatrix} \ \Leftrightarrow \ |A|=-1,\qquad a\neq 0.$

Знак числа определяет то, оставляет ли преобразование $\,A$ части светового конуса на месте (a>0) , или меняет их местами (a<0) .

Другой часто встречающийся вид матриц лоренцевых преобразований псевдоевклидовой плоскости получается при выборе базиса, состоящего из векторов $\,e'=e+g$ и $\,g'=e-g$ :

$\langle e',\;e'\rangle=+1,\quad\langle g',\;g'\rangle=-1,\quad\langle e',\;g'\rangle=0.$

В базисе $\,e',\;g'$ матрица преобразования $\,A$ имеет одну из четырёх форм:

$\begin{pmatrix}\ \operatorname{ch}\varphi& \ \ \operatorname{sh}\varphi\\ \,\operatorname{sh}\varphi& \ \operatorname{ch}\varphi\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}\ -\operatorname{ch}\varphi& \, \ -\operatorname{sh}\varphi\\ \,-\operatorname{sh}\varphi& \, -\operatorname{ch}\varphi\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -\operatorname{ch}\varphi& \, -\operatorname{sh}\varphi\\ \,\operatorname{sh}\varphi& \ \operatorname{ch}\varphi\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}\ \operatorname{ch}\varphi& \ \, \operatorname{sh}\varphi\\ \,-\operatorname{sh}\varphi& \, -\operatorname{ch}\varphi\end{pmatrix}, \qquad (0)$

где $\operatorname{sh}$ и $\operatorname{ch}$ — гиперболические синус и косинус.

Явный вид преобразований пространства сигнатуры (n-1, 1)

Лоренцевы преобразования -мерного псевдоевклидова пространства $\,L$ со скалярным произведением

$\langle x,\;y\rangle=x_1y_1+\ldots+x_{n-1}y_{n-1}-x_ny_n\quad(1)$

описываются следующей теоремой.

Теорема 1 утверждает, что любое лоренцево преобразование псевдоевклидова пространства $\,L$ сигнатуры $(n-1,\;1)$ задается лоренцевым преобразованием псевдоевклидова пространства $L_1\subset L$ размерности 1 или 2 или 3 и ортогональным преобразованием евклидова пространства $L_0\subset L$ дополнительной размерности.

Теорема 1 вместе с леммой позволяют установить следующий результат:

Кроме того, имеет место следующее представление лоренцевых преобразований -мерного псевдоевклидова пространства $\,L$ со скалярным произведением (1) .

Преобразования Лоренца в физике

Преобразованиями Лоренца в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты $(x,\;y,\;z,\;t)$ каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Аналогично, преобразованиям Лоренца при таком переходе подвергаются координаты любого 4-вектора.

Чтобы явно различить преобразования Лоренца со сдвигами начала отсчёта и без сдвигов, когда это необходимо, говорят о неоднородных и однородных преобразованиях Лоренца.

Преобразования Лоренца без сдвигов начала отсчёта образуют группу Лоренца, со сдвигами — группу Пуанкаре, иначе называемую неоднородной группой Лоренца.

С математической точки зрения преобразования Лоренца — это преобразования, сохраняющие неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (другими словами преобразования Лоренца — это аналог для метрики Минковского ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, то есть аналог поворота координатных осей для пространства-времени). В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.

Именно преобразования Лоренца, смешивающие — в отличие от преобразований Галилея — пространственные координаты и время, исторически стали основой для формирования концепции единого пространства-времени.

Следует заметить, что лоренц-ковариантны не только фундаментальные уравнения (такие, как уравнения Максвелла, описывающее электромагнитное поле, уравнение Дирака, описывающее электрон и другие фермионы), но и такие макроскопические уравнения, как волновое уравнение, описывающее (приближенно) звук, колебания струн и мембран, и некоторые другие (только тогда уже в формулах преобразований Лоренца под следует иметь в виду не скорость света, а какую-то другую константу, например скорость звука). Поэтому преобразования Лоренца могут быть плодотворно использованы и в связи с такими уравнениями (хотя и в довольно формальном смысле, впрочем, мало отличающемся — в своих рамках — от их применения в фундаментальной физике).

Вид преобразований при коллинеарных (параллельных) пространственных осях

Если ИСО движется относительно ИСО с постоянной скоростью вдоль оси , а начала пространственных координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Лоренца (прямые) имеют вид:

$x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},$

$y'=y,\$

$z'=z,\$

$t'=\frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-v^2/c^2}},$

где — скорость света, величины со штрихами измерены в системе , без штрихов — в .

Эта форма преобразования (то есть при выборе коллинеарных осей), называемая иногда бустом (англ. boost) или лоренцевским бустом (особенно в англоязычной литературе), несмотря на свою простоту, включает, по сути, всё специфическое физическое содержание преобразований Лоренца, так как пространственные оси всегда можно выбрать таким образом, а при желании добавить пространственные повороты не представляет трудности (см. это в явном развёрнутом виде ниже), хотя и делает формулы более громоздкими.

Формулы, выражающие обратное преобразование, то есть выражающие $x',\;y',\;z',\;t'$ через $x,\;y,\;z,\;t$ можно получить просто заменой на (абсолютная величина относительной скорости движения систем отсчёта одинакова при измерении её в обеих системах отсчёта, поэтому можно при желании снабдить штрихом, только при этом надо внимательно следить за тем, чтобы знак и определение соответствовали друг другу) и взаимной заменой «штрихованных» и с «нештрихованными». Или решая систему уравнений (1) относительно $x',\;y',\;z',\;t'$ .
Надо иметь в виду, что в литературе преобразования Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где что действительно делает их вид более изящным.
Видно, что при преобразованиях Лоренца события, одновременные в одной системе отсчёта, не являются одновременными в другой (относительность одновременности), кроме того, у движущегося тела сокращается продольный размер по сравнению с тем, какой оно имеет в сопутствующей ему системе отсчёта (лоренцево сокращение), а ход движущихся часов замедляется, если наблюдать их из «неподвижной» системы отсчёта (релятивистское замедление времени).

Вывод преобразований

Преобразования Лоренца могут быть получены абстрактно, из групповых соображений (в этом случае они получаются с неопределённым ), как обобщение преобразований Галилея (что было проделано Анри Пуанкаре — см. ниже). Однако впервые они были получены как преобразования, относительно которых ковариантны уравнения Максвелла (то есть по сути — которые не меняют вида законов электродинамики и оптики при переходе к другой системе отсчёта). Могут также быть получены из предположения линейности преобразований и постулата одинаковости скорости света во всех системах отсчёта (являющегося упрощённой формулировкой требования ковариантности электродинамики относительно искомых преобразований, и распространением принципа равноправия инерциальных систем отсчёта — принципа относительности — на электродинамику), как это делается в специальной теории относительности (СТО) (при этом в преобразованиях Лоренца получается определённым и совпадает со скоростью света).

Надо заметить, что если не ограничивать класс преобразований координат линейными, то первый закон Ньютона выполняется не только для преобразований Лоренца, а для более широкого класса дробно-линейных преобразований [3] (однако этот более широкий класс преобразований — за исключением, конечно, частного случая преобразований Лоренца — не сохраняет метрику постоянной).

Разные формы записи преобразований

Вид преобразований при произвольной ориентации осей

В силу произвольности введения осей координат, многие задачи можно свести к указанному случаю. Если же задача требует иного расположения осей, то можно воспользоваться формулами преобразований в более общем случае. Для этого радиус-вектор точки

$\mathbf{r}'=\mathbf{i}x'+\mathbf{j}y'+\mathbf{k}z',$

где $\mathbf{i},\;\mathbf{j},\;\mathbf{k}$ — орты, надо разбить на составляющую $\mathbf{r}'_\|$ параллельную скорости и составляющую $\mathbf{r}'_\perp$ ей перпендикулярную

$\mathbf{r}'=\mathbf{r}'_\| + \mathbf{r}'_\perp.$

Тогда преобразования получат вид

$\mathbf{r}_\|=\frac{\mathbf{r}'_\|+\mathbf{v}t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\quad\mathbf{r}_\perp=\mathbf{r}'_\perp,\quad t=\frac{t'+(v/c^2)r_\|}{\sqrt{1-v^2/c^2}},$

где $v=\left|\mathbf{v}\right|$ — абсолютная величина скорости, $r_\|=\left|\mathbf{r}_\|\right|$ — абсолютная величина продольной составляющей радиус-вектора.

Эти формулы для случая параллельных осей, но с произвольно направленной скоростью, можно преобразовать к виду, впервые полученному Герглоцем:

$\mathbf{r}=\frac{\mathbf{r}'+\mathbf{v}t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+\frac{1}{v^2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1\right)(\mathbf{r}'\otimes\mathbf{v})\otimes\mathbf{v};$

$t=\frac{t'+\mathbf{r'v}/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ .

Обратите внимание, что самый общий случай, когда начала координат не совпадают в нулевой момент времени, здесь не приведён с целью экономии места. Его можно получить, добавив к преобразованиям Лоренца трансляцию (смещение начала координат).

Преобразования Лоренца в матричном виде

Для случая коллинеарных осей преобразования Лоренца записываются в виде

$\begin{bmatrix} ct \\x \\y \\z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \gamma&\dfrac{v}{c} \gamma&0&0\\ \dfrac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct'\\x'\\y'\\z' \end{bmatrix},$

где Лоренц-фактор $\gamma\equiv\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$

При произвольной ориентации осей, в форме 4-векторов это преобразование записывается как:

$\begin{bmatrix} ct \\ \vec r\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \gamma & \dfrac{\vec v}{c}\gamma \\ \dfrac{\vec v}{c}\gamma & E+\dfrac{\vec v\otimes\vec v}{v^2}(\gamma-1)\end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct' \\ \vec r\,'\end{bmatrix},$

где — единичная матрица $3\times 3,$ $\otimes$ — тензорное умножение трёхмерных векторов.

Как уже отмечено выше, надо иметь в виду, что в литературе матрица преобразований Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где c=1.

Произвольное однородное преобразование Лоренца можно представить как некоторую композицию вращений пространства и элементарных преобразований Лоренца, затрагивающих только время и одну из координат. Это следует из алгебраической теоремы о разложении произвольного вращения на простые.

Свойства преобразований Лоренца

Можно заметить, что в случае, когда $c\to\infty,$ преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. То же самое происходит в случае, когда $v/c\to 0.$ Это говорит о том, что специальная теория относительности совпадает с механикой Ньютона либо в мире с бесконечной скоростью света, либо при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Последнее объясняет, каким образом сочетаются эти две теории — первая является обобщением и уточнением второй, а вторая — предельным случаем первой, оставаясь в этом качестве верной приближенно (с некоторой точностью, на практике часто очень и очень высокой) при достаточно малых (по сравнению со скоростью света) скоростях движений.
Преобразования Лоренца сохраняют инвариантным интервал для любой пары событий (точек пространства-времени) — то есть любой пары точек пространства-времени Минковского:

$s=\sqrt{c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2}=\sqrt{c^2(\Delta t')^2-(\Delta x')^2-(\Delta y')^2-(\Delta z')^2}.$

Убедиться в этом нетрудно, например, проверив явно то, что матрица преобразования Лоренца ортогональна в смысле метрики Минковского:

$\eta_{ik}=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}\right],$

определяемой таким выражением, то есть $\sum_{i,\;k}L^i_j\eta_{ik}L^k_m=\delta_{jm}.$ Это проще всего проделать для буста, а для трёхмерных вращений это очевидно из определения декартовых координат, кроме того, сдвиги начала отсчёта не меняют разностей координат. Следовательно, это свойство верно и для любых композиций бустов, вращений и сдвигов, что и составляет полную группу Пуанкаре; как только мы узнали, что преобразования координат ортогональны, из этого сразу следует, что формула для расстояния остаётся неизменной при переходе к новой системе координат — по определению ортогональных преобразований.

где $\theta=\mathop{\rm Arth}\,(v/c)\$ . В этом легко убедиться, учитывая $\rm ch^2\,\theta-\rm sh^2\,\theta=1\$ и проверив выполнение соответствующего тождества для матрицы преобразования Лоренца в обычном виде.

Следствия преобразований Лоренца

Изменение длины

Основная статья: Релятивистское сокращение длины

Пусть в системе отсчета $K'\,$ покоится стержень и координаты его начала и конца равны $x_2'\,$ , $x_1'\,$ . Для определения длины стержня в системе $K\,$ фиксируются координаты этих же точек в один и тот же момент времени системы $K\,$ . Пусть $l_0=x_2'-x_1'\,$ — собственная длина стержня в $K'\,$ , а $l=x_2-x_1\,$ — длина стержня в $K\,$ . Тогда из преобразований Лоренца следует:

$l_0 =x'_2-x'_1=\frac{x_2-vt}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}-\frac{x_1-vt}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

или

$l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.$

Таким образом, длина движущегося стержня, измеренная «неподвижными» наблюдателями, оказывается меньше, чем собственная длина стержня.

Относительность одновременности

Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта, то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы. При $\Delta t'=0$ из преобразований Лоренца следует:

Если $\Delta x=x_2-x_1>0$ , то и $\Delta t=t_2-t_1>0$ . Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого ( t_2>t_1 ). Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве.

Пусть в двух системах отсчёта, вдоль оси расположены синхронизированные в каждой системе часы, и в момент совпадения «центральных» часов (на рисунке ниже) они показывают одинаковое время. Левый рисунок показывает, как эта ситуация выглядит с точки зрения наблюдателя в системе . Часы в движущейся системе отсчёта показывают различное время. Находящиеся по ходу движения часы отстают, а находящиеся против хода движения опережают «центральные» часы. Аналогична ситуация для наблюдателей в (правый рисунок).

Замедление времени для движущихся тел

Связанные определения

Лоренц-инвариантность — свойство физических законов записываться одинаково во всех инерциальных системах отсчета (с учетом преобразований Лоренца). Принято считать, что этим свойством должны обладать все физические законы, и экспериментальных отклонений от него не обнаружено. Однако некоторые теории пока не удаётся построить так, чтобы выполнялась лоренц-инвариантность.

История

Преобразования названы в честь их первооткрывателя — Х. А. Лоренца, который впервые ввел их (вместо преобразований Галилея) в качестве преобразований, связывающих геометрические величины (длины, углы), измеренные в разных инерциальных системах отсчета[источник не указан 484 дня], чтобы устранить противоречия между электродинамикой и механикой, которые имелись в ньютоновской формулировке, включающей преобразования Галилея, что в конечном итоге привело к успеху при существенной модификации механики.

Сначала было обнаружено, что уравнения Максвелла инвариантны относительно подобных преобразований (В. Фогтом в 1887 году)[источник не указан 484 дня]. Это же было повторено Лармором в 1900 году [источник не указан 484 дня].

В 1892 году Лоренц ввёл теорию сокращения, предполагающую сокращение длин всех твёрдых тел в направлении движения, количественно совпадающее с тем, что понимается сейчас под лоренцевым сокращением.

Преобразования Лоренца были впервые опубликованы Лоренцем в 1904 году, но в то время их форма была несовершенна (они были выведены с точностью до членов v^2/c^2 , а в преобразовании тока была допущена ошибка). К современному, полностью самосогласованному виду их привели французский математик А. Пуанкаре и параллельно и независимо А. Эйнштейн в 1905 году. Анри Пуанкаре первым установил и детально изучил одно из самых важных свойств преобразований Лоренца — их групповую структуру, и показал, что «преобразования Лоренца представляют ничто иное как поворот в пространство четырёх измерений, точки которого имеют координаты $(x,\;y,\;z,\;it)$ ».[4]. В 1905 году Эйнштейн в своей теории относительности пришёл к широко популярной впоследствии формально-аксиоматической трактовке этих преобразований.

Пуанкаре же ввел термины «преобразования Лоренца» и «группа Лоренца» и показал, исходя из эфирной модели, невозможность обнаружить движение относительно абсолютной системы отсчета (то есть системы, в который эфир неподвижен), модифицировав таким образом принцип относительности Галилея[источник не указан 484 дня]. Ему же принадлежит групповой вывод явного вида преобразований Лоренца (с неопределенным ) без независимого постулата инвариантности скорости света[источник не указан 484 дня].

В 1910 году В. С. Игнатовский первым попытался получить преобразование Лоренца на основе теории групп и без использования постулата о постоянстве скорости света[5].

Примечания

↑ 1 2 3 4 5 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VII, § 8. — М.: Физматлит, 2009.
↑ Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. II, § 14. — Любое издание.
↑ Франк Ф., Роте Г. Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme // Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855 (русский перевод) (Статья, в которой впервые отмечено, что дробно-линейные преобразования являются наиболее общими преобразованиями, которые согласуются с принципом относительности).
↑ Пуанкаре А. О динамике электрона. — В кн.: Принцип относительности : Сб. работ классиков релятивизма. — М. : Атомиздат, 1973. — с. 90—93, 118—160.
↑ «Некоторые общие замечания к принципу относительности» Доклад на общем заседании математического и физического отделения 82-го собрания немецких натуралистов и врачей в г. Кёнигсберг 21 сентября 1910 г.;
von W. v. Ignatowsky, «Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip», Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (русский перевод)

Литература

Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
Физическая энциклопедия, т. 2 — М.: Большая Российская Энциклопедия стр. 608 и стр. 609.
Фёдоров Ф. И. Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979. — 384 с.
Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представление группы вращений и группы Лоренца. М., 1958.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит , 2009.

См. также

Сложное движение (формула преобразования скорости, согласованная с преобразованиями Лоренца)
Прецессия Томаса
Группа Лоренца

Ссылки

Преобразования Лоренца в книге Релятивистский мир