Стереографическая проекция | это... Что такое Стереографическая проекция? (original) (raw)

Карта поверхности Земли в стереографической проекции

Стереографическая проекция — центральная проекция, отображающая двумерную сферу (с одной выколотой точкой) на плоскость.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Обобщение на высшие размерности
4 История
5 В фотографии
6 В кристаллографии
7 См. также
8 Литература
9 Примечания
10 Ссылки

Определение

Стереографическая проекция

Плоскость касается сферы в некоторой точке $\,O$ (на приведённом рисунке это южный полюс сферы), центром проекции является точка $\,O'$ , диаметрально противоположная $\,O$ (на рисунке точка $\,O'$ — северный полюс сферы). Через каждую точку $A \neq O'$ сферы проходит единственная прямая, соедининяющая $\,A$ и $\,O'$ . Эта прямая пересекает плоскость в единственной точке $\,B$ , которая, таким образом, является образом точки $\,A$ при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой $\,O'$ на плоскость.

Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки $\,O'$ . Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом $\infty$ . Плоскость, дополненная элементом $\infty$ , называется расширенной плоскостью. Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза $\,A \to O'$ его образ $\,B \to \infty$ .

Свойства

Стереографическая проекция является конформным отображением — она сохраняет углы между кривыми и форму бесконечно малых фигур. Стереографическая проекция переводит окружности на плоскости в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции .
Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и параллелей на сфере в сопряжённые эллиптический и гиперболический пучки окружностей на плоскости.
Движения сферы стереографической проекции порождают преобразования Мёбиуса на комплексной плоскости, подобно тому как Гномоническая проекция порождает проективные преобразования на плоскости.[1]

Обобщение на высшие размерности

Стереографическая проекция приложима к _n_-сфере S n в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве En + 1. Если Q — точка на S n и E — гиперплоскость в En + 1, то стереографической проекцией точки P ∈ S n − {Q} является точка _P_′ пересечения линии $\scriptstyle\overline{QP}$ с E.

История

Стереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии.

Сферическая панорама в стереографической проекции

В фотографии

Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями, стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции.

В кристаллографии

Стереографическая проекция применяется для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов.

См. также

Литература

Розенфельд Б. А., Сергеева Н. Д. Стереографическая проекция. Серия «Популярные лекции по математике», вып. 53. М.: Наука, 1973.

Примечания

↑ Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые_встречи_с_геометрией_1978. — Москва «Наука», 1978. — P. 225. (стр. 186)

Ссылки

	Стереографическая проекция на Викискладе?

Примеры «маленьких планет»