Alternative algebra (original) (raw)
In abstract algebra, an alternative algebra is an algebra in which multiplication need not be associative, only alternative. That is, one must have * * for all x and y in the algebra. Every associative algebra is obviously alternative, but so too are some strictly non-associative algebras such as the octonions.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In abstract algebra, an alternative algebra is an algebra in which multiplication need not be associative, only alternative. That is, one must have * * for all x and y in the algebra. Every associative algebra is obviously alternative, but so too are some strictly non-associative algebras such as the octonions. (en) Der Begriff Alternativkörper ist eine Verallgemeinerung des algebraischen Körperbegriffs der Mathematik. Bei der Definition des Alternativkörpers verzichtet man auf das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für die Multiplikation. Stattdessen wird gefordert, dass die Multiplikation die Eigenschaft der Alternativität hat. Alternativkörper wurden 1930 von Max August Zorn eingeführt. Jeder Schiefkörper ist ein Alternativkörper, jeder Alternativkörper ist zugleich ein Links- und ein Rechtsquasikörper. Endliche Alternativkörper sind stets Körper. (→ Siehe dazu auch: Moufangebene). Eine wichtige Anwendung finden die Alternativkörper in der synthetischen Geometrie. Ruth Moufang bewies 1933, dass jede Moufangebene isomorph zu einer projektiven Koordinatenebene über einem Alternativkörper ist. (de) 추상대수학에서 교대 대수(交代代數, 영어: alternating algebra)는 결합 법칙보다 더 약한 형태의 결합성을 만족시키는 체 위의 대수이다. (ko) 非可換環論における交代環（こうたいかん、英: alternative ring）あるいは交代多元環（こうたいたげんかん、英: alternative algebra; 交代代数）は、必ずしも結合的でない乗法を持つ体上の多元環（分配多元環）であって、特に任意の元 x, y に対し * 左交代性: * 右交代性: を満たすという意味で交代性を持つものをいう。 任意の結合多元環は明らかに交代的だが、八元数環のように厳密に非結合的な交代代数もたくさんある。他方、十六元数環のように交代的ですらないものもある。 (ja) In de abstracte algebra is een alternatieve algebra een algebra waarin de vermenigvuldiging niet associatief hoeft te zijn, maar alleen alternatief. Dat wil zeggen dat voor alle en in de algebra geldt: Elke associatieve algebra is vanzelfsprekend alternatief, maar dat geldt ook voor enige strikte 's, zoals de octonionen. De sedenionen, aan de andere kant, zijn niet alternatief. (nl) In matematica, e in particolare in algebra, per algebra alternativa si intende un'algebra su campo per la quale valgono le identità (xx)y=x(xy) e y(xx)=(yx)x per ogni elemento x e y, cioè se il prodotto è . Equivalentemente si può definire come algebra alternativa un'algebra su un campo tale che ogni sottoalgebra generata da due dei suoi elementi è associativa. L'equivalenza delle due definizioni è conosciuta come teorema di Artin. Per ogni due elementi x e y di un'algebra alternativa vale un'altra semplice identità: (xy)x = x(yx). Questa viene detta legge flessibile. Ogni algebra associativa è evidentemente alternativa, ma vi sono anche algebre alternative non associative, come quella degli ottonioni. Nelle algebre su di un campo l'alternatività è una condizione più debole dell'associatività, ma più stringente dell'associatività delle potenze. (it) Algebra alternatywna – algebra, w której mnożenie nie musi być łączne, ale tylko alternatywne. Czyli * * dla dowolnych należących do algebry. Każda jest w sposób trywialny alternatywna, ale są nimi także pewne ściśle , takie jak oktoniony. Z kolei sedeniony nie są alternatywne. (pl) Альтернативная алгебра — алгебра над полем, умножение в которой является альтернативным. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и неассоциативные альтернативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, уже не обладают свойством альтернативности. (ru) Альтернати́вна а́лгебра — алгебра в якій операція множення може бути не асоціативною, проте вимагається дещо слабша умова альтернативності: для всіх х і у в алгебрі. Кожна асоціативна алгебра, очевидно, альтернативна, проте існують і неасоціативні альтернативні алгебри, прикладом яких є октоніони. Седеніони, є прикладом алгебри в якій не виконується умова альтернативності. Абсолютно ідентично визначається поняття альтернативного кільця (і, відповідно, тіла і поля). (uk) 在抽象代数中，交错代数是乘法不满足结合性，仅满足的代数。也就是说，我们有： * * 对于所有代数中的x和y。每一个结合代数都显然是交错的，但有些严格的，例如八元数，也是交错的。另一方面，十六元数则不是交错的。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/introductiontono0000scha |
| dbo:wikiPageID | 3160 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 6844 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1120612502 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Projective_plane dbr:Moufang_loop dbr:Moufang_plane dbr:Multilinear_map dbr:Moufang_identities dbr:Algebra_over_a_field dbr:Permutation dbr:Converse_(logic) dbr:Corollary dbr:Composition_algebra dbr:Trilinear_map dbr:Linear_span dbr:Alternating_form dbr:Alternativity dbr:Field_(mathematics) dbr:Non-associative_algebra dbr:Center_(ring_theory) dbr:Flexible_identity dbr:Inverse_element dbr:Involution_(mathematics) dbr:Abstract_algebra dbr:Academic_Press dbr:Characteristic_(algebra) dbc:Non-associative_algebras dbr:Division_ring dbr:Associative_algebra dbr:Associator dbr:Group_of_units dbr:Associative dbr:Octonion dbr:Real_number dbr:Vanish_(mathematics) dbr:Octonion_algebra dbr:Zorn_ring dbr:Sedenion dbr:Subalgebra dbr:Power-associative dbr:Associative_ring dbr:Normed_division_algebra dbr:Cayley–Dickson_algebra dbr:Maltsev_algebra dbr:Anti-automorphism |
| dbp:first | K.A. (en) |
| dbp:id | Alternative_rings_and_algebras (en) |
| dbp:last | Zhevlakov (en) |
| dbp:title | Alternative rings and algebras (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book dbt:Redirect dbt:Reflist dbt:SpringerEOM |
| dct:subject | dbc:Non-associative_algebras |
| rdf:type | yago:WikicatBinaryOperations yago:WikicatNon-associativeAlgebras yago:Abstraction100002137 yago:Algebra106012726 yago:BooleanOperation113440935 yago:Cognition100023271 yago:Content105809192 yago:DataProcessing113455487 yago:Discipline105996646 yago:KnowledgeDomain105999266 yago:Mathematics106000644 yago:Operation113524925 yago:PhysicalEntity100001930 yago:Process100029677 yago:Processing113541167 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:PureMathematics106003682 yago:Science105999797 |
| rdfs:comment | In abstract algebra, an alternative algebra is an algebra in which multiplication need not be associative, only alternative. That is, one must have * * for all x and y in the algebra. Every associative algebra is obviously alternative, but so too are some strictly non-associative algebras such as the octonions. (en) 추상대수학에서 교대 대수(交代代數, 영어: alternating algebra)는 결합 법칙보다 더 약한 형태의 결합성을 만족시키는 체 위의 대수이다. (ko) 非可換環論における交代環（こうたいかん、英: alternative ring）あるいは交代多元環（こうたいたげんかん、英: alternative algebra; 交代代数）は、必ずしも結合的でない乗法を持つ体上の多元環（分配多元環）であって、特に任意の元 x, y に対し * 左交代性: * 右交代性: を満たすという意味で交代性を持つものをいう。 任意の結合多元環は明らかに交代的だが、八元数環のように厳密に非結合的な交代代数もたくさんある。他方、十六元数環のように交代的ですらないものもある。 (ja) In de abstracte algebra is een alternatieve algebra een algebra waarin de vermenigvuldiging niet associatief hoeft te zijn, maar alleen alternatief. Dat wil zeggen dat voor alle en in de algebra geldt: Elke associatieve algebra is vanzelfsprekend alternatief, maar dat geldt ook voor enige strikte 's, zoals de octonionen. De sedenionen, aan de andere kant, zijn niet alternatief. (nl) Algebra alternatywna – algebra, w której mnożenie nie musi być łączne, ale tylko alternatywne. Czyli * * dla dowolnych należących do algebry. Każda jest w sposób trywialny alternatywna, ale są nimi także pewne ściśle , takie jak oktoniony. Z kolei sedeniony nie są alternatywne. (pl) Альтернативная алгебра — алгебра над полем, умножение в которой является альтернативным. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и неассоциативные альтернативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, уже не обладают свойством альтернативности. (ru) Альтернати́вна а́лгебра — алгебра в якій операція множення може бути не асоціативною, проте вимагається дещо слабша умова альтернативності: для всіх х і у в алгебрі. Кожна асоціативна алгебра, очевидно, альтернативна, проте існують і неасоціативні альтернативні алгебри, прикладом яких є октоніони. Седеніони, є прикладом алгебри в якій не виконується умова альтернативності. Абсолютно ідентично визначається поняття альтернативного кільця (і, відповідно, тіла і поля). (uk) 在抽象代数中，交错代数是乘法不满足结合性，仅满足的代数。也就是说，我们有： * * 对于所有代数中的x和y。每一个结合代数都显然是交错的，但有些严格的，例如八元数，也是交错的。另一方面，十六元数则不是交错的。 (zh) Der Begriff Alternativkörper ist eine Verallgemeinerung des algebraischen Körperbegriffs der Mathematik. Bei der Definition des Alternativkörpers verzichtet man auf das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für die Multiplikation. Stattdessen wird gefordert, dass die Multiplikation die Eigenschaft der Alternativität hat. Alternativkörper wurden 1930 von Max August Zorn eingeführt. Jeder Schiefkörper ist ein Alternativkörper, jeder Alternativkörper ist zugleich ein Links- und ein Rechtsquasikörper. Endliche Alternativkörper sind stets Körper. (→ Siehe dazu auch: Moufangebene). (de) In matematica, e in particolare in algebra, per algebra alternativa si intende un'algebra su campo per la quale valgono le identità (xx)y=x(xy) e y(xx)=(yx)x per ogni elemento x e y, cioè se il prodotto è . Equivalentemente si può definire come algebra alternativa un'algebra su un campo tale che ogni sottoalgebra generata da due dei suoi elementi è associativa. L'equivalenza delle due definizioni è conosciuta come teorema di Artin. Per ogni due elementi x e y di un'algebra alternativa vale un'altra semplice identità: (xy)x = x(yx). Questa viene detta legge flessibile. (it) |
| rdfs:label | Alternativkörper (de) Alternative algebra (en) Algebra alternativa (it) 交代代数 (ja) 교대 대수 (ko) Algebra alternatywna (pl) Alternatieve algebra (nl) Альтернативная алгебра (ru) Альтернативна алгебра (uk) 交错代数 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Alternative algebra yago-res:Alternative algebra wikidata:Alternative algebra dbpedia-de:Alternative algebra dbpedia-he:Alternative algebra dbpedia-it:Alternative algebra dbpedia-ja:Alternative algebra dbpedia-ko:Alternative algebra dbpedia-nl:Alternative algebra dbpedia-pl:Alternative algebra dbpedia-ru:Alternative algebra dbpedia-uk:Alternative algebra dbpedia-zh:Alternative algebra https://global.dbpedia.org/id/23s31 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Alternative_algebra?oldid=1120612502&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Alternative_algebra |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Alternative |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Artin's_theorem dbr:Artin_theorem dbr:Alternative_binary_operator dbr:Alternative_division_ring dbr:Alternative_operator dbr:Alternative_ring dbr:Left_alternative_algebra |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Projective_plane dbr:List_of_abstract_algebra_topics dbr:List_of_algebras dbr:Moufang_loop dbr:Mutation_(algebra) dbr:Algebra_over_a_field dbr:Hurwitz's_theorem_(composition_algebras) dbr:Number dbr:List_of_problems_in_loop_theory_and_quasigroup_theory dbr:Anatoly_Shirshov dbr:Max_August_Zorn dbr:Alternative dbr:Commutant-associative_algebra dbr:Malcev-admissible_algebra dbr:Malcev_algebra dbr:Cayley–Dickson_construction dbr:Division_algebra dbr:4 dbr:Alternativity dbr:Field_(mathematics) dbr:Non-associative_algebra dbr:Isotopy_of_an_algebra dbr:Universal_enveloping_algebra dbr:Hyperbolic_quaternion dbr:Artin's_theorem dbr:Symmetric_cone dbr:Split-octonion dbr:Bol_loop dbr:Spinor dbr:Octonion dbr:Okubo_algebra dbr:Valya_algebra dbr:Octonion_algebra dbr:Flexible_algebra dbr:Power_associativity dbr:Outline_of_algebraic_structures dbr:Structurable_algebra dbr:Sedenion dbr:Artin_theorem dbr:Alternative_binary_operator dbr:Alternative_division_ring dbr:Alternative_operator dbr:Alternative_ring dbr:Left_alternative_algebra |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Alternative_algebra |