Laplace expansion (original) (raw)
Dalam aljabar linear, ekspansi Laplace, dinamai Pierre-Simon Laplace, juga disebut ekspansi kofaktor, adalah ekspresi dari determinan n × n matriks B sebagai jumlah tertimbang dari minor, yang merupakan determinan dari beberapa B submatriks B. Secara khusus, untuk setiap i, dimana adalah entri baris ke-i dan kolom ke-j dari B, dan adalah determinan submatriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari B. Syarat disebut kofaktor dari di B.
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| dbo:abstract | El teorema de Laplace (també conegut com a expansió de Laplace o desenvolupament de Laplace ), així anomenat en honor del matemàtic francès homònim un teorema matemàtic que permet simplificar el càlcul de determinants en matrius d'elevades dimensions per mitjà de descompondre'l en la suma de determinants menors. El teorema afirma que el determinant d'una matriu és igual a la suma dels determinants dels adjunts de qualsevol fila o columna de la matriu, la qual cosa redueix un determinant de dimensió n en determinants de dimensió n-1. Aplicat de manera successiva, permet arribar a matrius 3x3 (amb el que es pot aplicar la regla de Sarrus) o 2x2 (en el qual el determinant és el producte de la diagonal principal menys el de la secundària). Es pot optimitzar els càlculs aplicant la i fent zeros el que redueix el nombre de determinants de rang inferior a calcular. (ca) In linear algebra, the Laplace expansion, named after Pierre-Simon Laplace, also called cofactor expansion, is an expression of the determinant of an n × n matrix B as a weighted sum of minors, which are the determinants of some (n − 1) × (n − 1) submatrices of B. Specifically, for every i, where is the entry of the ith row and jth column of B, and is the determinant of the submatrix obtained by removing the ith row and the jth column of B. The term is called the cofactor of in B. The Laplace expansion is often useful in proofs, as in, for example, allowing recursion on the size of matrices. It is also of didactic interest for its simplicity, and as one of several ways to view and compute the determinant. For large matrices, it quickly becomes inefficient to compute, when compared to Gaussian elimination. (en) El teorema de Laplace (también conocido como regla de Laplace o desarrollo de Laplace), así llamado en honor del matemático francés homónimo es un teorema matemático que permite simplificar el cálculo de determinantes en matrices de elevadas dimensiones a base de descomponerlo en la suma de determinantes menores. El teorema afirma que el determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de cada elemento (de un renglón o columna) por la determinante de su matriz adjunta, lo que reduce un determinante de dimensión n a n determinantes de dimensión n-1. Aplicado de forma sucesiva, permite llegar a matrices 3x3 (con lo que se puede aplicar la regla de Sarrus) o 2x2 (en el que el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria). Se puede optimizar los cálculos aplicando la y haciendo ceros lo que reduce el número de determinantes de rango inferior a calcular. (es) Dalam aljabar linear, ekspansi Laplace, dinamai Pierre-Simon Laplace, juga disebut ekspansi kofaktor, adalah ekspresi dari determinan n × n matriks B sebagai jumlah tertimbang dari minor, yang merupakan determinan dari beberapa B submatriks B. Secara khusus, untuk setiap i, dimana adalah entri baris ke-i dan kolom ke-j dari B, dan adalah determinan submatriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari B. Syarat disebut kofaktor dari di B. (in) 선형대수학에서 라플라스 전개(-展開, 영어: Laplace expansion) 또는 여인자 전개(餘因子展開, 영어: cofactor expansion)는 행렬식을 더 작은 두 행렬식과 그에 맞는 부호를 곱한 것들의 합으로 전개하는 것이다. (ko) 数学の線型代数学における余因子展開（よいんしてんかい、英: cofactor expansion）、あるいはピエール・シモン・ラプラスの名に因んでラプラス展開とは、n次正方行列 A の行列式 |A | の、n 個の A の (n − 1)次小行列式の重み付き和としての表示である。余因子展開は行列式を見るいくつかの方法の一つとして理論的に興味深く、行列式の実際の計算においても有用である。 A の (i, j)余因子とは、次で定義されるスカラーである： ここで Mi,j は A の (i, j)小行列式、つまり、A から第i行と第j列を除いて得られる (n − 1)次小正方行列の行列式である。 すると余因子展開は次で与えられる： 定理 ― A = (ai,j) を n次正方行列とし、任意の i, j ∈ {1, 2, …, n} を固定する。 するとその行列式 |
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