Convolution theorem (original) (raw)

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In mathematics, the convolution theorem states that under suitable conditions the Fourier transform of a convolution of two functions (or signals) is the pointwise product of their Fourier transforms. More generally, convolution in one domain (e.g., time domain) equals point-wise multiplication in the other domain (e.g., frequency domain). Other versions of the convolution theorem are applicable to various Fourier-related transforms.

Property Value
dbo:abstract En matemàtica, el teorema de convolució estableix que en determinades circumstàncies, la Transformada de Fourier d'una convolució és el producte punt a punt de les transformades de Fourier. En altres paraules, la convolució en un domini (per exemple el domini temporal) és equivalent al producte punt a punt en l'altre domini (és a dir domini espectral). Siguin f i g dues funcions la convolució s'expressa amb .(Nota: l'asterisc en aquest context, indica convolució i no multiplicació, de vegades s'utilitza també el símbol ).Sigui l'operador de la transformada de Fourier, de manera que i són les transformades de Fourier de f i g , respectivament. Llavors on "·" indica producte punt. També es pot afirmar que: Aplicant la transformada inversa de Fourier , podem escriure: (ca) In mathematics, the convolution theorem states that under suitable conditions the Fourier transform of a convolution of two functions (or signals) is the pointwise product of their Fourier transforms. More generally, convolution in one domain (e.g., time domain) equals point-wise multiplication in the other domain (e.g., frequency domain). Other versions of the convolution theorem are applicable to various Fourier-related transforms. (en) En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto (o producto Hadamard) de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral). Sean y dos funciones cuya convolución se expresa con .(notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ).Sea el operador de la transformada de Fourier, con lo que y son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente. Entonces donde · indica producto punto a punto. También puede afirmarse que: Aplicando la transformada inversa de Fourier , podemos escribir: (es) In matematica, il teorema di convoluzione afferma che sotto opportune condizioni la trasformata di Laplace, così come la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate delle funzioni stesse. Questo teorema ha importanti risvolti nell'analisi dei segnali, in particolare nell'ambito delle reti lineari. (it) Em matemática, o teorema da convolução estabelece que, sob condições apropriadas, a transformada de Fourier de uma convolução de duas funções absolutamente integráveis é igual ao das transformadas de Fourier de cada função. Em outras palavras, convolução em um domínio (e.g., no domínio do tempo) equivale a multiplicação ponto a ponto no outro domínio (e.g., no domínio da frequência). O teorema é verdadeiro para várias transformadas relacionadas à transformada de Fourier. Sejam e duas funções e sua convolução (note-se que o asterisco aqui denota a operação de convolução, e não de multiplicação; o símbolo de produto tensorial algumas vezes é usado no seu lugar.).Seja o operador transformada de Fourier, tal que e são as transformadas de Fourier de e , respectivamente. Então onde o símbolo denota multiplicação ponto a ponto. A recíproca também é verdadeira: A respeito da transformada inversa de Fourier , podemos escrever: Note-se que as fórmulas acima são válidas apenas quando a transformada de Fourier aparece na forma mostrada na seção de abaixo. A transformada pode ser normalizada de outras formas, casos em que fatores de escalamento constantes (tipicamente ou ) aparecerão nas fórmulas. Este teorema também vale para a transformada de Laplace, a transformada de Laplace bilateral e, quando convenientemente modificada, para a transformada de Mellin e para a transformada de Hartley. Ele pode ser estendido para a transformada de Fourier usada em análise de harmônicos, definida sobre grupos abelianos localmente compactos. Esta formulação é especialmente útil na implementação numérica da operação de convolução em um computador digital. O algoritmo padrão para cálculo da convolução tem complexidade computacional quadrática; lançando mão do teorema da convolução e da transformada rápida de Fourier, a complexidade pode ser reduzida a O(n log n). Ele também pode ser explorado na construção de algoritmos mais rápidos para multiplicação de funções. (pt) 卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积对应于频域中的乘积。 其中表示f 的傅里叶变换。下面这种形式也成立： 借由傅里叶逆变换，也可以写成 注意以上的写法只对特定形式定义的变换正确，变换可能由其它方式正规化，使得上面的关系式中出现其它的。 这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、梅林变换和（参见）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。 利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。 (zh)
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dbp:proof We can also verify the inverse DTFT of : (en) A time-domain derivation proceeds as follows: A frequency-domain derivation follows from , which indicates that the DTFTs can be written as: The product with is thereby reduced to a discrete-frequency function: where the equivalence of and follows from . Therefore, the equivalence of and requires: (en) Consider functions in Lp-space , with Fourier transforms : where indicates the inner product of : and The convolution of and is defined by: Also: Hence by Fubini's theorem we have that so its Fourier transform is defined by the integral formula: Note that and hence by the argument above we may apply Fubini's theorem again : (en)
dbp:title Circular convolution (en) Convolution theorem (en) Derivation of Eq.2 (en) Derivations of Eq.4 (en) Multi-dimensional derivation of Eq.1 (en)
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rdfs:label Convolution theorem (en) Teorema de convolució (ca) Teorema de convolución (es) Teorema di convoluzione (it) Teorema da convolução (pt) 卷积定理 (zh)
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