Faulhaber's formula (original) (raw)
Die Faulhabersche Formel beschreibt, wie sich die Summe der ersten -ten Potenzen mit einem Polynom in vom Grad berechnen lässt. Die Koeffizienten des Polynoms können dabei mit Hilfe der Bernoulli-Zahlen berechnet werden. Der Name „Faulhabersche Formel“ geht auf Donald Knuth zurück, der sie nach Johannes Faulhaber benannte.
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| dbo:abstract | En matemàtiques, la fórmula de Faulhaber, en honor de Johann Faulhaber, expressa la suma de les potències dels primers n nombres naturals com un polinomi en n de grau , els coeficients dels quals es construeixen a partir dels nombres de Bernoulli. La fórmula és la següent: Faulhaber mai no va conèixer aquesta fórmula general; el que sí que va conèixer van ser almenys els primers 17 casos i el fet que, si l'exponent és senar, llavors la suma és una funció polinòmica de la suma al cas especial en què l'exponent sigui 1. També va fer algunes generalitzacions (vegeu Knuth). La demostració de la fórmula de Faulhaber es pot trobar a The Book of Numbers de John Horton Conway i Richard Guy. (ca) في الرياضيات، صيغة فاولابر، المسماة على اسم جوهان فاولابر، تعبر عن مجموع قوى الأعداد الطبيعية n الأولى من الدرجة p: بأنه متعددة للحدود متغيرها n، ذات الدرجة (p + 1) والتي تدخل في معاملاتها أعداد بيرنولي. أعداد بيرنولي غالبا بالاصطلاح العام هُن: حيث بدلا من ولكن للوهلة التي نتبع فيها اصطلاحا قد لا يبدوا مألوفا، بأن B1 = +1/2, وجميع أعداد بيرنولي الأخرى تظل كما هي أعلاه (ولكن انظر الأسفل للمزيد حول هذا الموضوع). تنص الصيغة أن (المعامل j يعمل فقط حتى p، وليس حتى p + 1). لم يعلم فاولابر أن الصيغة بهذا الشكل. كان على الأقل قد عرف الـ17 حالة الأولى والحقيقة القائلة بأنه عندما يكون الأس ، فإن المجموع يصبح كثيرة حدود للمجموع في الخالة الخاصة حين يكون الأسis 1، كما كان أيضا قد علم ببعض التعميمات الجديرة بالملاحظة.اشتقاق صيغة فاولابر متوفر في كتاب الأرقام (The Book of Numbers) . (ar) Die Faulhabersche Formel beschreibt, wie sich die Summe der ersten -ten Potenzen mit einem Polynom in vom Grad berechnen lässt. Die Koeffizienten des Polynoms können dabei mit Hilfe der Bernoulli-Zahlen berechnet werden. Der Name „Faulhabersche Formel“ geht auf Donald Knuth zurück, der sie nach Johannes Faulhaber benannte. (de) In mathematics, Faulhaber's formula, named after the early 17th century mathematician Johann Faulhaber, expresses the sum of the p-th powers of the first n positive integers as a (p + 1)th-degree polynomial function of n, the coefficients involving Bernoulli numbers Bj, in the form submitted by Jacob Bernoulli and published in 1713: where is a falling factorial. (en) En Matemáticas, la fórmula de Faulhaber, en honor de Johann Faulhaber, expresa la suma de las potencias de los primeros n números naturales como un polinomio en n de grado cuyos coeficientes se construyen a partir de los números de Bernoulli: . La fórmula es la siguiente: Faulhaber no conoció nunca esta fórmula general; lo que sí conoció fueron al menos los primeros 17 casos y el hecho de que, si el exponente es impar, entonces la suma es una función polinomial de la suma en el caso especial en el que el exponente sea 1. También hizo algunas generalizaciones (véase Knuth). La demostración de la fórmula de Faulhaber se puede encontrar en The Book of Numbers de John Horton Conway y Richard Guy. (es) En mathématiques, la formule de Faulhaber, portant le nom du mathématicien allemand Johann Faulhaber, exprime la somme des puissances p-ième des n premiers entiers : par une fonction polynomiale de degré p + 1 en n, les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli : . Les coefficients qui apparaissent sont les coefficients binomiaux (aussi notés ). (fr) Un problema enumerativo di grande interesse riguarda la valutazione delle somme delle potenze di interi successivi dove e denotano numeri interi positivi. (it) ファウルハーバーの公式（ファウルハーバーのこうしき、Faulhaber's formula）は、最初の n 個の k 乗数の和 を、ベルヌーイ数を用いて n の多項式で表す公式である。冪乗和についての研究をした、17世紀のドイツの数学者の名が冠されているが、ベルヌーイ数を発見して初めて公式を与えたのは関孝和およびヤコブ・ベルヌーイである。「ファウルハーバーの公式」という呼称は必ずしも一般的ではなく、ベルヌーイの公式、または内容を直接的に表現して冪乗和の公式などと呼ばれることもある。 (ja) In de wiskunde drukt de formule van Faulhaber, genoemd naar Johann Faulhaber, de som uit als een (p + 1)de-graads polynomiale functie van n, waar de coëfficiënten te maken hebben met Bernoulli-getallen. Merk op: in de meest gangbare conventie zijn de Bernoulli-getallen. Maar voor het moment volgen we een minder bekende conventie, dat , waar alle andere Bernoulli-getallen hetzelfde blijven als hierboven (zie hieronder voor meer hierover). De formule zegt (de index j loopt maar tot p, niet tot p + 1). In deze vorm kende Faulhaber de formule niet. Hij kende ten minste de eerste 17 gevallen en het feit dat wanneer de exponent oneven is, dat de som een polynomiale functie van de som is in het bijzondere geval dat de exponent gelijk is aan 1. Hij kende ook een aantal opmerkelijke veralgemeningen (zie Knuth). De afleiding van de formule van Faulhaber is beschikbaar in The Book of Numbers door John Horton Conway en . (nl) 等幂求和，即法烏爾哈貝爾公式（英語：Faulhaber's formula），是指求幂数相同的变数之和。 (zh) |
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