Four-vertex theorem (original) (raw)
The four-vertex theorem of geometry states that the curvature along a simple, closed, smooth plane curve has at least four local extrema (specifically, at least two local maxima and at least two local minima). The name of the theorem derives from the convention of calling an extreme point of the curvature function a vertex. This theorem has many generalizations, including a version for space curves where a vertex is defined as a point of vanishing torsion.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Der Vierscheitelsatz ist ein Satz der Differentialgeometrie über Kurven in der Ebene. Er besagt, dass bei jeder einfach geschlossenen, glatten ebenen Kurve die Krümmungsfunktion mindestens vier Extremstellen besitzt. Punkte einer Kurve, an denen die Krümmung ein lokales Extremum besitzt (also ein lokales Maximum oder Minimum), heißen Scheitel (vgl. Scheitelpunkt). Der Satz wurde 1909 für konvexe Kurven vom indischen Mathematiker Syamadas Mukhopadhyaya (1866–1937) bewiesen und im allgemeinen Fall von Adolf Kneser 1912. Es gibt auch einen Umkehrsatz: jede stetige reelle Funktion auf dem Kreis mit mindestens zwei lokalen Maxima und zwei lokalen Minima ist die Krümmungsfunktion einer ebenen einfachen geschlossenen Kurve. Der Satz wurde für positiv definite Funktionen 1971 von bewiesen und im allgemeinen Fall von Björn Dahlberg (1998). (de) The four-vertex theorem of geometry states that the curvature along a simple, closed, smooth plane curve has at least four local extrema (specifically, at least two local maxima and at least two local minima). The name of the theorem derives from the convention of calling an extreme point of the curvature function a vertex. This theorem has many generalizations, including a version for space curves where a vertex is defined as a point of vanishing torsion. (en) Le théorème des quatre sommets constitue un résultat remarquable de géométrie différentielle quant aux propriétés globales des courbes planes fermées. (fr) El clásico teorema de los cuatro vértices indica que la función curvatura de una curva plana simple, cerrada y suave tiene al menos cuatro extremos locales (específicamente, al menos dos máximos locales y al menos dos mínimos locales). El nombre del teorema se deriva de la convención de denominar vértice a cada punto extremo de la función de curvatura. Este teorema posee muchas generalizaciones, incluida una versión para curvas espaciales donde un vértice se define como un punto de cambio de torsión. (es) Теорема о четырёх вершинах утверждает, что функция кривизны простой замкнутой гладкой плоской кривой имеет по меньшей мере четыре локальных экстремума (в частности, по меньшей мере два локальных максимума и по меньшей мере два локальных минимума). Название теоремы отражает соглашение называть экстремальные точки функции кривизны вершинами. (ru) O teorema dos quatro vértices estabelece que a função curvatura de uma curva plana simples, fechada, suave tem pelo menos quatro locais extremos (especificamente, pelo menos, dois máximos locais e pelo menos dois mínimos locais). O nome do teorema deriva da convenção de chamar um ponto extremo da função curvatura um . (pt) Теорема про чотири вершини стверджує, що функція кривини простої замкнутої гладкої плоскої кривої має щонайменше чотири локальних екстремуми (зокрема, щонайменше два локальних максимуми і щонайменше два локальних мінімуми). Назва теореми відображає угоду називати екстремальні точки функції кривини вершинами. Ця теорема має багато узагальнень, включно з версією кривої у просторі, де вершина визначається як точка в якій зникає скрут кривої. (uk) 四頂點定理是微分幾何關於平面曲線的整體性質的定理。這定理指出，一條簡單閉曲線的曲率函數，如果不是常值，便有至少四個局部極值。更確切地說，這函數有至少兩個局部極大值和兩個局部極小值。 1909年最先證明這定理對凸曲線（即有嚴格正曲率）成立。他的證明用到了以下結果：曲線上一點的曲率是極值，當且僅當在該點的與曲線有4點。（密切圓與曲線一般只有3點切觸。）1912年證明了定理在一般情況成立。 四頂點定理的逆定理指，在圓上定義任意連續實值函數，使得有兩個局部極大值和兩個局部極小值，那麼這函數是一條簡單平面閉曲線的曲率函數。1971年證出嚴格正函數的情形。他證明在n維球面預先定義曲率的更一般定理，以上結果是其特例。在他1998年1月去世前不久，證明逆定理的完整版本。他的證法用到卷繞數，類似代數基本定理的拓撲證明。 這定理的一個推論是，任何在平面上滾動受重力作用的均勻板，都有至少四個平衡點。它的三維推廣並不容易，實際上，存在少於四個平衡點的三維凸均勻體，見Gömböc。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Ellipse_evolute.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 4531797 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 12749 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1122795029 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Monostatic_polytope dbc:Polygons dbr:Curve_of_constant_width dbr:Multiplicative_inverse dbr:Continuous_function dbr:Convex_curve dbr:Maxima_and_minima dbr:Geodesic_curvature dbr:Norm_(mathematics) dbr:Circle dbc:Theorems_in_discrete_geometry dbr:Ellipse dbr:Geometry dbr:Contact_(mathematics) dbr:Convex_body dbr:Equiangular_polygon dbr:Equilateral_polygon dbr:Local_maximum dbr:Local_minimum dbr:Smooth_curve dbr:Stereographic_projection dbc:Theorems_about_curves dbr:Closed_curve dbr:Fundamental_Theorem_of_Algebra dbr:Tangent dbr:Augustin-Louis_Cauchy dbr:Torsion_of_a_curve dbr:Corresponding_sides dbr:Gömböc dbr:Last_geometric_statement_of_Jacobi dbr:Smoothness dbr:Adolf_Kneser dbr:Adrien-Marie_Legendre dbr:Aleksandr_Danilovich_Aleksandrov dbr:Curvature dbr:Osculating_circle dbr:Reuleaux_triangle dbc:Theorems_in_differential_geometry dbr:Plane_curve dbr:Syamadas_Mukhopadhyaya dbr:Winding_number dbr:Arc-length_parametrization dbr:Circumscribed_circle dbr:If_and_only_if dbr:Second_derivative dbr:Hypersphere dbr:Vertex_(curve) dbr:Stanko_Bilinski dbr:Smallest-circle_problem dbr:Tennis_ball_theorem dbr:Parametric_representation dbr:Space_curve dbr:File:Ellipse_curvature.svg dbr:File:Ellipse_evolute.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Harvtxt dbt:Ill dbt:R dbt:Reflist dbt:Short_description |
| dct:subject | dbc:Polygons dbc:Theorems_in_discrete_geometry dbc:Theorems_about_curves dbc:Theorems_in_differential_geometry |
| rdf:type | yago:WikicatCurves yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInDifferentialGeometry yago:WikicatTheoremsInDiscreteGeometry yago:WikicatTheoremsInGeometry yago:Abstraction100002137 yago:Attribute100024264 yago:Communication100033020 yago:Curve113867641 yago:Figure113862780 yago:Line113863771 yago:Message106598915 yago:PlaneFigure113863186 yago:Polygon113866144 yago:Proposition106750804 yago:Shape100027807 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 yago:WikicatPolygons |
| rdfs:comment | The four-vertex theorem of geometry states that the curvature along a simple, closed, smooth plane curve has at least four local extrema (specifically, at least two local maxima and at least two local minima). The name of the theorem derives from the convention of calling an extreme point of the curvature function a vertex. This theorem has many generalizations, including a version for space curves where a vertex is defined as a point of vanishing torsion. (en) Le théorème des quatre sommets constitue un résultat remarquable de géométrie différentielle quant aux propriétés globales des courbes planes fermées. (fr) El clásico teorema de los cuatro vértices indica que la función curvatura de una curva plana simple, cerrada y suave tiene al menos cuatro extremos locales (específicamente, al menos dos máximos locales y al menos dos mínimos locales). El nombre del teorema se deriva de la convención de denominar vértice a cada punto extremo de la función de curvatura. Este teorema posee muchas generalizaciones, incluida una versión para curvas espaciales donde un vértice se define como un punto de cambio de torsión. (es) Теорема о четырёх вершинах утверждает, что функция кривизны простой замкнутой гладкой плоской кривой имеет по меньшей мере четыре локальных экстремума (в частности, по меньшей мере два локальных максимума и по меньшей мере два локальных минимума). Название теоремы отражает соглашение называть экстремальные точки функции кривизны вершинами. (ru) O teorema dos quatro vértices estabelece que a função curvatura de uma curva plana simples, fechada, suave tem pelo menos quatro locais extremos (especificamente, pelo menos, dois máximos locais e pelo menos dois mínimos locais). O nome do teorema deriva da convenção de chamar um ponto extremo da função curvatura um . (pt) Теорема про чотири вершини стверджує, що функція кривини простої замкнутої гладкої плоскої кривої має щонайменше чотири локальних екстремуми (зокрема, щонайменше два локальних максимуми і щонайменше два локальних мінімуми). Назва теореми відображає угоду називати екстремальні точки функції кривини вершинами. Ця теорема має багато узагальнень, включно з версією кривої у просторі, де вершина визначається як точка в якій зникає скрут кривої. (uk) 四頂點定理是微分幾何關於平面曲線的整體性質的定理。這定理指出，一條簡單閉曲線的曲率函數，如果不是常值，便有至少四個局部極值。更確切地說，這函數有至少兩個局部極大值和兩個局部極小值。 1909年最先證明這定理對凸曲線（即有嚴格正曲率）成立。他的證明用到了以下結果：曲線上一點的曲率是極值，當且僅當在該點的與曲線有4點。（密切圓與曲線一般只有3點切觸。）1912年證明了定理在一般情況成立。 四頂點定理的逆定理指，在圓上定義任意連續實值函數，使得有兩個局部極大值和兩個局部極小值，那麼這函數是一條簡單平面閉曲線的曲率函數。1971年證出嚴格正函數的情形。他證明在n維球面預先定義曲率的更一般定理，以上結果是其特例。在他1998年1月去世前不久，證明逆定理的完整版本。他的證法用到卷繞數，類似代數基本定理的拓撲證明。 這定理的一個推論是，任何在平面上滾動受重力作用的均勻板，都有至少四個平衡點。它的三維推廣並不容易，實際上，存在少於四個平衡點的三維凸均勻體，見Gömböc。 (zh) Der Vierscheitelsatz ist ein Satz der Differentialgeometrie über Kurven in der Ebene. Er besagt, dass bei jeder einfach geschlossenen, glatten ebenen Kurve die Krümmungsfunktion mindestens vier Extremstellen besitzt. Punkte einer Kurve, an denen die Krümmung ein lokales Extremum besitzt (also ein lokales Maximum oder Minimum), heißen Scheitel (vgl. Scheitelpunkt). Der Satz wurde 1909 für konvexe Kurven vom indischen Mathematiker Syamadas Mukhopadhyaya (1866–1937) bewiesen und im allgemeinen Fall von Adolf Kneser 1912. (de) |
| rdfs:label | Vierscheitelsatz (de) Teorema de los cuatro vértices (es) Théorème des quatre sommets (fr) Four-vertex theorem (en) Teorema dos quatro vértices (pt) Теорема о четырёх вершинах (ru) Теорема про чотири вершини (uk) 四頂點定理 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Four-vertex theorem yago-res:Four-vertex theorem wikidata:Four-vertex theorem dbpedia-de:Four-vertex theorem dbpedia-es:Four-vertex theorem dbpedia-fr:Four-vertex theorem dbpedia-pt:Four-vertex theorem dbpedia-ru:Four-vertex theorem dbpedia-sl:Four-vertex theorem dbpedia-uk:Four-vertex theorem dbpedia-zh:Four-vertex theorem https://global.dbpedia.org/id/57QS9 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Four-vertex_theorem?oldid=1122795029&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Ellipse_curvature.svg wiki-commons:Special:FilePath/Ellipse_evolute.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Four-vertex_theorem |
| is dbo:knownFor of | dbr:Adolf_Kneser dbr:Syamadas_Mukhopadhyaya |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Four_Vertex_Theorem dbr:Four_vertex_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Monostatic_polytope dbr:Curve_of_constant_width dbr:Convex_curve dbr:1866_in_India dbr:Contact_(mathematics) dbr:Converse_(logic) dbr:Otto_Haupt dbr:William_Caspar_Graustein dbr:Gömböc dbr:Last_geometric_statement_of_Jacobi dbr:Adolf_Kneser dbr:Syamadas_Mukhopadhyaya dbr:Vertex_(curve) dbr:List_of_theorems dbr:Mukhopadhyaya_theorem dbr:Tri-oval dbr:Tennis_ball_theorem dbr:Tait–Kneser_theorem dbr:Four_Vertex_Theorem dbr:Four_vertex_theorem |
| is dbp:knownFor of | dbr:Adolf_Kneser dbr:Syamadas_Mukhopadhyaya |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Four-vertex_theorem |
