Fundamental theorem on homomorphisms (original) (raw)
Der Homomorphiesatz ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Algebra, der in entsprechender Form für Abbildungen zwischen Gruppen, Vektorräumen und Ringen gilt. Er stellt jeweils einen engen Zusammenhang zwischen Gruppenhomomorphismen und Normalteilern, Vektorraumhomomorphismen und Untervektorräumen sowie Ringhomomorphismen und Idealen her. Der Homomorphiesatz lautet: Ist ein Homomorphismus und der Kern von , dann ist der Quotient isomorph zum Bild .
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| dbo:abstract | Der Homomorphiesatz ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Algebra, der in entsprechender Form für Abbildungen zwischen Gruppen, Vektorräumen und Ringen gilt. Er stellt jeweils einen engen Zusammenhang zwischen Gruppenhomomorphismen und Normalteilern, Vektorraumhomomorphismen und Untervektorräumen sowie Ringhomomorphismen und Idealen her. Der Homomorphiesatz lautet: Ist ein Homomorphismus und der Kern von , dann ist der Quotient isomorph zum Bild . (de) En abstrakta algebro, por pluraj algebraj strukturoj, la fundamenta teoremo pri homomorfioj rilatigas la strukturon de du objektoj inter kiuj ekzistas, kaj de la kerno kaj bildo de la homomorfio. Por grupoj, la teoremo konstatas: Estu G kaj H grupoj; estu f : G→H grupa homomorfio; estu K la kerno de f; estu φ la natura surĵeta homomorfio G→G/K. Tiam tie ekzistas unika homomorfio h:G/K→H tia ke f = h φ. Ankaŭ, h estas disĵeta kaj provizas izomorfion inter G/K kaj la bildo de f. La situacio estas priskribita per jena : Ĉi tiu estas tre simila al la unua izomorfia teoremo. (eo) In abstract algebra, the fundamental theorem on homomorphisms, also known as the fundamental homomorphism theorem, or the first isomorphism theorem, relates the structure of two objects between which a homomorphism is given, and of the kernel and image of the homomorphism. The homomorphism theorem is used to prove the isomorphism theorems. (en) En álgebra abstracta, para un número de estructuras algebraicas, el teorema fundamental de homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se dé un homomorfismo, y del núcleo y de la imagen del homomorfismo... En la teoría de grupos, el teorema se puede formular así: Si es un homomorfismo de grupos y es un subgrupo normal de contenido en el núcleo de , entonces existe un único homomorfismo tal que , en donde es la . Así, tenemos el diagrama conmutativo siguiente El homomorfismo está dado por para todo de , y se dice que es inducido por . Nótese que si , entonces , por lo que , así que y el homomorfismo está bien definido. El núcleo de este homomorfismo es , y es un epimorfismo si y solo si lo es. Si es un homomorfismo, entonces es un epimorfismo, y puesto que es inyectivo cuando su núcleo es trivial, lo que sucede si y solo si ,tenemos un isomorfismo . Este caso particular del teorema fundamental de homomorfismos se conoce como primer teorema de isomorfía. El teorema fundamental de homomorfismos también se cumple para los espacios vectoriales, anillos y módulos tomando, respectivamente, ideales y submódulos en lugar de subgrupos normales. (es) En mathématiques, le théorème de factorisation est un principe général qui permet de construire un morphisme d'une structure quotient dans un autre espace à partir d'un morphisme de vers , de façon à factoriser ce dernier par la surjection canonique de passage au quotient. (fr) 추상대수학에서 준동형 정리(準同型定理, 영어: homomorphism theorem)는 수학의 여러 분야에서 나타나는 준동형에 관한 기초적인 정리이다. 동형 정리와 밀접한 관련이 있으며, 이를 증명하는 데 이용되기도 한다. (ko) 抽象代数学における準同型定理（じゅんどうけいていり、英: fundamental theorem on homomorphisms; 準同型の, fundamental homomorphism theorem）は、与えられた構造をもつ二つの対象の間の準同型が与えられたとき、その準同型の核と像とを関係づける。 準同型定理は同型定理の証明に利用できる。 以下、群の場合に定理の主張を述べるが、同様の主張はモノイド、ベクトル空間、加群、環などについても成立する。 (ja) In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, legt de homomorfiestelling het verband tussen de structuur van twee wiskundige objecten, waartussen een homomorfisme is gegeven, en de kern en het beeld van het homomorfise. De homomorfiestelling wordt gebruikt om de isomorfismestellingen te bewijzen. (nl) Em álgebra abstrata, o teorema fundamental dos homomorfismos, também conhecido como teorema homomórfico fundamental, relaciona a estrutura de dois objetos, entre os quais existe um homomorfismo, e o núcleo e a imagem do homomorfismo. O teorema homomórfico é usado para provar os teoremas do isomorfismo. (pt) В абстрактній алгебрі, — фундаментальна теорема про гомоморфізми або перша теорема про ізоморфізм, — пов'язує структуру двох об'єктів, між якими встановлений гомоморфізм, а також — ядро та образ гомоморфізму. Теорема про гомоморфізму використовується при доведенні теорем про ізоморфізм. (uk) |
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