Hahn decomposition theorem (original) (raw)
In der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt, beschreibt die Hahn-Jordan-Zerlegung, wie man ein signiertes Maß in einen negativen und einen positiven Teil zerlegen kann. Teilweise wird die Zerlegung auch als zwei separate Aussagen angegeben, man nennt sie dann den Hahnschen Zerlegungssatz und den Jordanschen Zerlegungssatz. Die beiden Sätze sind eng miteinander verbunden. Der Hahnsche Zerlegungssatz wurde von Hans Hahn 1921 bewiesen, die Benennung des Jordanschen Zerlegungssatzes bezieht sich auf Marie Ennemond Camille Jordan, der 1881 gezeigt hat, dass sich eine Funktion beschränkter Variation als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellen lässt.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt, beschreibt die Hahn-Jordan-Zerlegung, wie man ein signiertes Maß in einen negativen und einen positiven Teil zerlegen kann. Teilweise wird die Zerlegung auch als zwei separate Aussagen angegeben, man nennt sie dann den Hahnschen Zerlegungssatz und den Jordanschen Zerlegungssatz. Die beiden Sätze sind eng miteinander verbunden. Der Hahnsche Zerlegungssatz wurde von Hans Hahn 1921 bewiesen, die Benennung des Jordanschen Zerlegungssatzes bezieht sich auf Marie Ennemond Camille Jordan, der 1881 gezeigt hat, dass sich eine Funktion beschränkter Variation als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellen lässt. (de) In mathematics, the Hahn decomposition theorem, named after the Austrian mathematician Hans Hahn, states that for any measurable space and any signed measure defined on the -algebra , there exist two -measurable sets, and , of such that: 1. * and . 2. * For every such that , one has , i.e., is a positive set for . 3. * For every such that , one has , i.e., is a negative set for . Moreover, this decomposition is essentially unique, meaning that for any other pair of -measurable subsets of fulfilling the three conditions above, the symmetric differences and are -null sets in the strong sense that every -measurable subset of them has zero measure. The pair is then called a Hahn decomposition of the signed measure . (en) In matematica, il teorema di decomposizione di Hahn, il cui nome è dovuto al matematico austriaco Hans Hahn, afferma che dato uno spazio misurabile e una misura con segno definita sulla sigma-algebra , esistono due insiemi misurabili e in tali che: * e * Per ogni tale che si verifica , ovvero è un insieme positivo per . * Per ogni tale che si verifica , ovvero è un insieme negativo per . Inoltre, tale decomposizione è essenzialmente unica: per ogni altra coppia e di insiemi misurabili che soddisfano la definizione le differenze simmetriche e sono insiemi -nulli, nel senso che ogni loro sottoinsieme ha misura nulla rispetto alla misura . La coppia è chiamata decomposizione di Hahn. (it) 数学におけるハーンの分解定理（ハーンのぶんかいていり、英: Hahn decomposition theorem）とは、オーストリアの数学者であるハンス・ハーンの名にちなむ定理で、可測空間 (X, Σ) およびその σ-代数 Σ 上で定義される符号付測度 μ が与えられたとき、次を満たすような二つの可測集合 P および N が Σ 内に存在するということを述べたものである： 1. * P ∪ N = X および P ∩ N = ∅. 2. * E ⊆ P を満たすような Σ 内の各 E に対して μ(E) ≥ 0 が成り立つ。すなわち、P は μ に対するである。 3. * E ⊆ N を満たすような Σ 内の各 E に対して μ(E) ≤ 0 が成り立つ。すなわち、N は μ に対する負集合である。 このような分解は本質的に一意である。すなわち、上の三つの条件を満たすような他の任意の可測集合のペア (P′, N′) に対して、対称差 P Δ P′ および N Δ N′ は、そのすべての可測な部分集合が測度 0 であるという強い意味において、μ-零集合である。そのようなペア (P, N) は、符号付測度 μ のハーン分解（Hahn decomposition）と呼ばれる。 (ja) Twierdzenie Hahna o rozkładzie – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące o możliwości rozbicia przestrzeni mierzalnej, na której określona jest przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów na dwa zbiory o pewnych szczególnych własnościach. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska austriackiego matematyka, Hansa Hahna. (pl) У теорії міри, теорема Гана про розклад є твердженням про властивості зарядів. Названа на честь австрійського математика Ганса Гана. У випадку сигма-адитивного заряду на σ-алгебрі ця теорема і пов'язана теорема про розклад Жордана дозволяють фактично звести теорію зарядів і інтегралів на них до відповідної теорії міри. (uk) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.encyclopediaofmath.org/ http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Jordan_decomposition_(of_a_signed_measure) http://planetmath.org/%3Fop=getobj&from=objects&id=4014 https://arxiv.org/abs/1206.5449 |
| dbo:wikiPageID | 2985858 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 10010 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1119112973 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Q.E.D. dbc:Articles_containing_proofs dbr:Mathematical_induction dbr:Mathematics dbr:Signed_measure dbc:Theorems_in_measure_theory dbr:Sigma-algebra dbr:Sigma_additivity dbr:Mathematician dbr:Austria dbr:Null_set dbr:Hans_Hahn_(mathematician) dbr:Supremum dbr:Infimum dbr:Series_(mathematics) dbr:Symmetric_difference dbr:PlanetMath dbr:Positive_and_negative_sets dbr:Universal_property |
| dbp:id | p/h046140 (en) |
| dbp:title | Hahn decomposition (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Cite_arXiv dbt:Cite_book dbt:Short_description dbt:Visible_anchor dbt:Measure_theory |
| dct:subject | dbc:Articles_containing_proofs dbc:Theorems_in_measure_theory |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInMeasureTheory yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | In der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt, beschreibt die Hahn-Jordan-Zerlegung, wie man ein signiertes Maß in einen negativen und einen positiven Teil zerlegen kann. Teilweise wird die Zerlegung auch als zwei separate Aussagen angegeben, man nennt sie dann den Hahnschen Zerlegungssatz und den Jordanschen Zerlegungssatz. Die beiden Sätze sind eng miteinander verbunden. Der Hahnsche Zerlegungssatz wurde von Hans Hahn 1921 bewiesen, die Benennung des Jordanschen Zerlegungssatzes bezieht sich auf Marie Ennemond Camille Jordan, der 1881 gezeigt hat, dass sich eine Funktion beschränkter Variation als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellen lässt. (de) 数学におけるハーンの分解定理（ハーンのぶんかいていり、英: Hahn decomposition theorem）とは、オーストリアの数学者であるハンス・ハーンの名にちなむ定理で、可測空間 (X, Σ) およびその σ-代数 Σ 上で定義される符号付測度 μ が与えられたとき、次を満たすような二つの可測集合 P および N が Σ 内に存在するということを述べたものである： 1. * P ∪ N = X および P ∩ N = ∅. 2. * E ⊆ P を満たすような Σ 内の各 E に対して μ(E) ≥ 0 が成り立つ。すなわち、P は μ に対するである。 3. * E ⊆ N を満たすような Σ 内の各 E に対して μ(E) ≤ 0 が成り立つ。すなわち、N は μ に対する負集合である。 このような分解は本質的に一意である。すなわち、上の三つの条件を満たすような他の任意の可測集合のペア (P′, N′) に対して、対称差 P Δ P′ および N Δ N′ は、そのすべての可測な部分集合が測度 0 であるという強い意味において、μ-零集合である。そのようなペア (P, N) は、符号付測度 μ のハーン分解（Hahn decomposition）と呼ばれる。 (ja) Twierdzenie Hahna o rozkładzie – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące o możliwości rozbicia przestrzeni mierzalnej, na której określona jest przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów na dwa zbiory o pewnych szczególnych własnościach. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska austriackiego matematyka, Hansa Hahna. (pl) У теорії міри, теорема Гана про розклад є твердженням про властивості зарядів. Названа на честь австрійського математика Ганса Гана. У випадку сигма-адитивного заряду на σ-алгебрі ця теорема і пов'язана теорема про розклад Жордана дозволяють фактично звести теорію зарядів і інтегралів на них до відповідної теорії міри. (uk) In mathematics, the Hahn decomposition theorem, named after the Austrian mathematician Hans Hahn, states that for any measurable space and any signed measure defined on the -algebra , there exist two -measurable sets, and , of such that: 1. * and . 2. * For every such that , one has , i.e., is a positive set for . 3. * For every such that , one has , i.e., is a negative set for . (en) In matematica, il teorema di decomposizione di Hahn, il cui nome è dovuto al matematico austriaco Hans Hahn, afferma che dato uno spazio misurabile e una misura con segno definita sulla sigma-algebra , esistono due insiemi misurabili e in tali che: * e * Per ogni tale che si verifica , ovvero è un insieme positivo per . * Per ogni tale che si verifica , ovvero è un insieme negativo per . (it) |
| rdfs:label | Hahn-Jordan-Zerlegung (de) Hahn decomposition theorem (en) Teorema di decomposizione di Hahn (it) ハーンの分解定理 (ja) Twierdzenie Hahna o rozkładzie (pl) Теорема Гана про розклад (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Hahn decomposition theorem yago-res:Hahn decomposition theorem wikidata:Hahn decomposition theorem dbpedia-de:Hahn decomposition theorem dbpedia-it:Hahn decomposition theorem dbpedia-ja:Hahn decomposition theorem dbpedia-pl:Hahn decomposition theorem dbpedia-uk:Hahn decomposition theorem https://global.dbpedia.org/id/Z2af |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Hahn_decomposition_theorem?oldid=1119112973&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Hahn_decomposition_theorem |
| is dbo:knownFor of | dbr:Hans_Hahn_(mathematician) |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Hahn_decomposition dbr:Hahn–Jordan_decomposition dbr:Hahn-Jordan_decomposition dbr:Jordan_decomposition_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Bounded_variation dbr:Positive_and_negative_parts dbr:Signed_measure dbr:State_(functional_analysis) dbr:Complex_measure dbr:Lebesgue's_decomposition_theorem dbr:Hahn_decomposition dbr:Hahn–Jordan_decomposition dbr:Hans_Hahn_(mathematician) dbr:Jordan_decomposition dbr:Radon–Nikodym_theorem dbr:Support_(measure_theory) dbr:Total_variation dbr:List_of_theorems dbr:Positive_and_negative_sets dbr:Hahn-Jordan_decomposition dbr:Jordan_decomposition_theorem |
| is dbp:knownFor of | dbr:Hans_Hahn_(mathematician) |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Hahn_decomposition_theorem |