Hasse–Minkowski theorem (original) (raw)
The Hasse–Minkowski theorem is a fundamental result in number theory which states that two quadratic forms over a number field are equivalent if and only if they are equivalent locally at all places, i.e. equivalent over every completion of the field (which may be real, complex, or p-adic). A related result is that a quadratic space over a number field is isotropic if and only if it is isotropic locally everywhere, or equivalently, that a quadratic form over a number field nontrivially represents zero if and only if this holds for all completions of the field. The theorem was proved in the case of the field of rational numbers by Hermann Minkowski and generalized to number fields by Helmut Hasse. The same statement holds even more generally for all global fields.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | The Hasse–Minkowski theorem is a fundamental result in number theory which states that two quadratic forms over a number field are equivalent if and only if they are equivalent locally at all places, i.e. equivalent over every completion of the field (which may be real, complex, or p-adic). A related result is that a quadratic space over a number field is isotropic if and only if it is isotropic locally everywhere, or equivalently, that a quadratic form over a number field nontrivially represents zero if and only if this holds for all completions of the field. The theorem was proved in the case of the field of rational numbers by Hermann Minkowski and generalized to number fields by Helmut Hasse. The same statement holds even more generally for all global fields. (en) 수론에서 하세-민코프스키 정리(영어: Hasse–Minkowski theorem)는 수체에 대한 이차 형식의 동치에 대한 정리다. 이 정리에 따르면, 수체에 대한 두 이차형식이 모든 곳에서 국소적으로 동치이면 대역적으로도 동치이다. 이는 수론에서의 (local–global principle)의 대표적인 예이다. (ko) ハッセ・ミンコフスキーの定理（ハッセ・ミンコフスキーのていり、英語: Hasse–Minkowski theorem）は数論における基本的な結果であり，数体上の2つの二次形式が同値であるための必要十分条件は，すべての座で局所的に同値であること，つまり体（実数体，複素数体，p 進数体など）のすべての完備化上同値であることを述べている．特別な場合として，数体上の二次空間が等方的であることとそれがいたるところ等方的であることは同値である，あるいは同じことであるが，数体上の二次形式が非自明に 0 を表すことと，これがその体のすべての完備化に対して成り立つことは同値である．定理は有理数体の場合にヘルマン・ミンコフスキーによって証明され，ヘルムート・ハッセによって数体に一般化された．同じ主張はさらに一般にすべての大域体に対しても成り立つ． (ja) In de wiskunde stelt de stelling van Hasse–Minkowski dat een kwadratische vorm globaal is dan en slechts dan als als deze kwadratische vorm overal lokaal isotroop is; dit is het klassieke . Isotropisch zijn betekent hier dat er enige niet-nulzijde vector bestaat waarvoor de kwadratische vorm nul oplevert als waarde. Globaal isotropisch betekent hier dat er een globaal veld is dat wil zeggen of een getallenlichaam of een of een eindig veld, waarover de kwadratische vorm is gedefinieerd en isotropisch is. Lokaal isotropisch betekent dat voor elke completion zowel de Archimedische als de kwadratische vorm isotropisch is. De stelling werd bewezen als een speciaal geval van de rationele getallen door Hermann Minkowski en werd door Helmut Hasse veralgemeend naar globale velden. (nl) Теорема Минковского — Хассе — классический результат теории чисел, дающий полную классификацию квадратичных форм над числовым полем:две квадратичные формы над числовым полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны над каждым пополнением (вещественным, комплексным или р-адическим). Результат сводит проблему классификации неособых квадратичных форм над числовым полем с точностью до эквивалентности к набору аналогичных задач над локальными полями.Эти задачи гораздо проще — полные инварианты могут быть явно посчитаны.Эти инварианты должны удовлетворять некоторым условиям совместимости, которые также выражаются явно.Для каждого набора инвариантов, удовлетворяющих этим отношениям, есть квадратичная форма. В случае поля рациональных чисел теорема доказана Минковскими обобщена на числовые поля Хассе. (ru) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/2adic12480.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/courseinarithmet00serr |
| dbo:wikiPageID | 1109126 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 4651 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 963039306 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Algebraic_extension dbr:Sylvester's_law_of_inertia dbr:Quadratic_space dbc:Quadratic_forms dbc:Theorems_in_number_theory dbr:Complex_number dbr:Arithmetic_geometry dbr:Place_(mathematics) dbr:Hasse_invariant_of_a_quadratic_form dbr:Local_field dbr:Number_field dbr:Number_theory dbr:P-adic_number dbr:P-adic_numbers dbr:Global_field dbr:Graduate_Texts_in_Mathematics dbr:Isotropic_quadratic_form dbr:Quadratic_form dbr:Helmut_Hasse dbr:Hermann_Minkowski dbc:Hermann_Minkowski dbr:Hensel's_lemma dbr:Newton's_method dbr:Rational_number dbr:Real_number dbr:Real_numbers dbr:Completion_(ring_theory) dbr:Local-global_principle dbr:Springer-Verlag |
| dbp:alt | The real number line (en) The 2-adic integers. Showing all of the 2-adic rationals would include an infinite sequence of clumps moving to the left of the figure. (en) |
| dbp:direction | vertical (en) |
| dbp:footer | Two completions of the rational numbers, the dyadic numbers and the real numbers. The Hasse-Minkowski theorem gives a relationship between quadratic forms in a number field and in the completions of the number field. (en) |
| dbp:image | 2 (xsd:integer) Real number line.svg (en) |
| dbp:width | 300 (xsd:integer) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book dbt:Multiple_image dbt:Short_description |
| dct:subject | dbc:Quadratic_forms dbc:Theorems_in_number_theory dbc:Hermann_Minkowski |
| gold:hypernym | dbr:Result |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInNumberTheory yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Form106290637 yago:LanguageUnit106284225 yago:Message106598915 yago:Part113809207 yago:Proposition106750804 yago:Relation100031921 yago:Word106286395 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 yago:WikicatQuadraticForms |
| rdfs:comment | The Hasse–Minkowski theorem is a fundamental result in number theory which states that two quadratic forms over a number field are equivalent if and only if they are equivalent locally at all places, i.e. equivalent over every completion of the field (which may be real, complex, or p-adic). A related result is that a quadratic space over a number field is isotropic if and only if it is isotropic locally everywhere, or equivalently, that a quadratic form over a number field nontrivially represents zero if and only if this holds for all completions of the field. The theorem was proved in the case of the field of rational numbers by Hermann Minkowski and generalized to number fields by Helmut Hasse. The same statement holds even more generally for all global fields. (en) 수론에서 하세-민코프스키 정리(영어: Hasse–Minkowski theorem)는 수체에 대한 이차 형식의 동치에 대한 정리다. 이 정리에 따르면, 수체에 대한 두 이차형식이 모든 곳에서 국소적으로 동치이면 대역적으로도 동치이다. 이는 수론에서의 (local–global principle)의 대표적인 예이다. (ko) ハッセ・ミンコフスキーの定理（ハッセ・ミンコフスキーのていり、英語: Hasse–Minkowski theorem）は数論における基本的な結果であり，数体上の2つの二次形式が同値であるための必要十分条件は，すべての座で局所的に同値であること，つまり体（実数体，複素数体，p 進数体など）のすべての完備化上同値であることを述べている．特別な場合として，数体上の二次空間が等方的であることとそれがいたるところ等方的であることは同値である，あるいは同じことであるが，数体上の二次形式が非自明に 0 を表すことと，これがその体のすべての完備化に対して成り立つことは同値である．定理は有理数体の場合にヘルマン・ミンコフスキーによって証明され，ヘルムート・ハッセによって数体に一般化された．同じ主張はさらに一般にすべての大域体に対しても成り立つ． (ja) In de wiskunde stelt de stelling van Hasse–Minkowski dat een kwadratische vorm globaal is dan en slechts dan als als deze kwadratische vorm overal lokaal isotroop is; dit is het klassieke . Isotropisch zijn betekent hier dat er enige niet-nulzijde vector bestaat waarvoor de kwadratische vorm nul oplevert als waarde. Globaal isotropisch betekent hier dat er een globaal veld is dat wil zeggen of een getallenlichaam of een of een eindig veld, waarover de kwadratische vorm is gedefinieerd en isotropisch is. Lokaal isotropisch betekent dat voor elke completion zowel de Archimedische als de kwadratische vorm isotropisch is. (nl) Теорема Минковского — Хассе — классический результат теории чисел, дающий полную классификацию квадратичных форм над числовым полем:две квадратичные формы над числовым полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны над каждым пополнением (вещественным, комплексным или р-адическим). В случае поля рациональных чисел теорема доказана Минковскими обобщена на числовые поля Хассе. (ru) |
| rdfs:label | Hasse–Minkowski theorem (en) ハッセ・ミンコフスキーの定理 (ja) 하세-민코프스키 정리 (ko) Stelling van Hasse-Minkowski (nl) Теорема Минковского — Хассе (ru) |
| owl:sameAs | freebase:Hasse–Minkowski theorem wikidata:Hasse–Minkowski theorem dbpedia-ja:Hasse–Minkowski theorem dbpedia-ko:Hasse–Minkowski theorem dbpedia-nl:Hasse–Minkowski theorem dbpedia-ru:Hasse–Minkowski theorem https://global.dbpedia.org/id/r45V |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Hasse–Minkowski_theorem?oldid=963039306&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/2adic12480.svg wiki-commons:Special:FilePath/Real_number_line.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Hasse–Minkowski_theorem |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Minkowski |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Hasse-Minkowski_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_algebraic_number_theory_topics dbr:Minkowski dbr:Witt_group dbr:Meyer's_theorem dbr:Adele_ring dbr:Hadamard's_maximal_determinant_problem dbr:Hasse_principle dbr:Hasse-Minkowski_theorem dbr:Erdős–Straus_conjecture dbr:Field_(mathematics) dbr:Global_field dbr:Hilbert's_eleventh_problem dbr:Quadratic_form dbr:Hasse's_theorem dbr:Rational_point dbr:Helmut_Hasse dbr:Hermann_Minkowski dbr:Hensel's_lemma dbr:Bruck–Ryser–Chowla_theorem dbr:List_of_theorems dbr:List_of_things_named_after_Hermann_Minkowski dbr:Scientific_phenomena_named_after_people dbr:Universal_quadratic_form |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Hasse–Minkowski_theorem |
