Quadratic form (original) (raw)
Kvadratická forma je zúžením (restrikcí) bilineární formy. Jde o zobrazení jen jednoho vektoru, který však představuje oba argumenty příslušné bilineární formy.Kvadratické formy jsou ústředním matematickým aparátem, vyskytují se například v teorii čísel, Riemanově geometrii (jako křivosti křivek) a mnoha dalších. Jsou také všude ve fyzice a chemii, jako energie systému, zvláště pak co se týče matematických norem, které vedou k využití v Hilbertových prostorech.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Una forma quadràtica (real) és un polinomi homogeni de grau dos que involucra variables : on .Les formes quadràtiques d'una, dues i tres variables són: Per exemple, la distància entre dos punts en l'espai euclidià es troba amb l'arrel quadrada d'una forma quadràtica que conté sis variables: les tres coordenades espacials dels dos punts: Notació matricial. Seguint els convenis de l'Àlgebra lineal, escriurem els vectors en columna:, on és la transposada de la matriu o del vector . Considerem la matriu Aleshores, la forma quadràtica s'escriuDefinim la matriu Aquesta matriu és simètrica i es compleix que Per tant, sense pèrdua de generalitat, en moltes situacions es pot suposar que la matriu associada a una forma quadràtica (real) és simètrica.Situacions més generals. Per veure la definició de formes quadràtiques en situacions més generals, vegeu, per exemple, Queysanne, cap. 15. (ca) Kvadratická forma je zúžením (restrikcí) bilineární formy. Jde o zobrazení jen jednoho vektoru, který však představuje oba argumenty příslušné bilineární formy.Kvadratické formy jsou ústředním matematickým aparátem, vyskytují se například v teorii čísel, Riemanově geometrii (jako křivosti křivek) a mnoha dalších. Jsou také všude ve fyzice a chemii, jako energie systému, zvláště pak co se týče matematických norem, které vedou k využití v Hilbertových prostorech. (cs) في الرياضيات، شكل تربيعي هو متعددة حدود متجانسة من الدرجة الثانية، وتحوي عدة متحولات. على سبيل المثال، شكل تربيعي بمتغيرين اثنين هما x و y. عادة ما تنتمي المعاملات إلى حقل معين ما K، مجموعتا الأعداد الحقيقية والعقدية مثالان على ذلك. يقال عن هذه الصيغ أنها أشكال تربيعية على الحقل K. تعتبر الصيغ التربيعية من الصيغ الأساسية في الرياضيات، حيث تظهر في العديد من التطبيقات في نظرية الأعداد والجبر الخطي ونظرية الزمر والهندسة التفاضلية ونظرية لاي والهندسة الريمانية وغيرها. كما تستخدم أيضاً في الفيزياء والكيمياء على أنها طاقة نظام ما. ميز الشكل التربيعي عن المعادلات التربيعية. في هذه الأخيرة، هناك متغير واحد والحدود هي من الدرجة الثانية وما أقل (أي من الدرجة الأولى والدرجة الصفر). الأشكال التربيعية هي حالة خاصة من مفهوم أكثر عموما هو متعددات الحدود المتجانسة. (ar) Eine quadratische Form ist in der Mathematik eine Funktion, die sich in einigen Aspekten wie die quadratische Funktion verhält. Ein Polynom, welches ausschließlich Terme zweiten Grades enthält, ist eine quadratische Form. Ein bekanntes Beispiel ist das Quadrat des Betrages eines Vektors : Quadratische Formen tauchen in vielen Bereichen der Mathematik auf. In der Geometrie dienen sie dazu, Metriken einzuführen, in der Elementargeometrie zur Beschreibung von Kegelschnitten. Sie sind aber, falls zum Beispiel über den rationalen oder ganzen Zahlen betrachtet, auch ein klassischer Gegenstand der Zahlentheorie, in der man etwa nach den Zahlen fragt, die sich durch eine quadratische Form darstellen lassen. Hier werden im Folgenden vor allem zahlentheoretische Aspekte betrachtet. (de) En matematiko, kvadrata formo estas homogena polinomo de 2 de iu kvanto de variabloj. Kvadrataj formoj de unu, du, kaj tri variabloj estas donitaj kiel: F(x) = ax2F(x,y) = ax2 + by2 + cxyF(x,y,z) = ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz Ekzemple, 3x2 + 2xy - 5y2 estas kvadrata formo de la variabloj x kaj y. La koeficientoj estas eroj de ringo. Noto ke kvadrata funkcio (parto de unu flanko de la egaleco, se la alia flanko estas nulo) ne nepre estas kvadrata formo, ĉar kvadrata funkcio ne nepre estas homogena polinomo. Ĉiu ne ĉie nula kvadrata formo de n variabloj difinas (n-2)-dimensian kvadrikon en . Tiel eblas bildigi 3-dimensiajn kvadratajn formojn kiel konikoj. La termino kvadrata formo estas ankaŭ ofte uzata por kvadrata spaco, kiu estas paro (V, Q) kie V estas vektora spaco super kampo k, kaj Q: V → k estas kvadrata formo sur V. (eo) Una forma cuadrática o forma bilineal simétrica es una aplicación matemática que asigna a cada elemento de un espacio vectorial un elemento del cuerpo sobre el que está construido el espacio vectorial, de una manera que generaliza la operación un espacio vectorial de dimensión superior a 1. (es) En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2 avec un nombre quelconque de variables. Les formes quadratiques d'une, deux et trois variables sont données respectivement par les formules suivantes (a,b,c,d,e,f désignant des coefficients) : L'archétype de forme quadratique est la forme x2 + y2 + z2 sur ℝ3, qui définit la structure euclidienne et dont la racine carrée permet de calculer la norme d'un vecteur.Un autre exemple très classique est la forme x2 + y2 + z2 – t2 sur ℝ4, qui permet de définir l'espace de Minkowski utilisé en relativité restreinte. C'est pourquoi la théorie des formes quadratiques utilise le vocabulaire de la géométrie (orthogonalité). La géométrie est un bon guide pour aborder cette théorie, malgré quelques pièges, liés notamment aux questions de signes ou plus généralement au choix du corps dans lequel varient les coefficients. Les formes quadratiques interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : différents résultats de classification des coniques et plus généralement des quadriques, recherche de minimum ou maximum local d'une fonction de plusieurs variables à partir d'un développement limité, introduction de la courbure des surfaces, analyse en composantes principales en statistiques. Les interviennent en théorie des nombres et en topologie algébrique. On trouve également des formes quadratiques dans plusieurs domaines de la physique : pour définir l'ellipsoïde d'inertie en mécanique du solide, en relativité restreinte ou générale… (fr) In mathematics, a quadratic form is a polynomial with terms all of degree two ("form" is another name for a homogeneous polynomial). For example, is a quadratic form in the variables x and y. The coefficients usually belong to a fixed field K, such as the real or complex numbers, and one speaks of a quadratic form over K. If , and the quadratic form takes zero only when all variables are simultaneously zero, then it is a definite quadratic form, otherwise it is an isotropic quadratic form. Quadratic forms occupy a central place in various branches of mathematics, including number theory, linear algebra, group theory (orthogonal group), differential geometry (Riemannian metric, second fundamental form), differential topology (intersection forms of four-manifolds), and Lie theory (the Killing form). Quadratic forms are not to be confused with a quadratic equation, which has only one variable and includes terms of degree two or less. A quadratic form is one case of the more general concept of homogeneous polynomials. (en) In matematica una forma quadratica è un polinomio omogeneo di grado 2 in un certo numero di variabili. Ad esempio la distanza tra due punti di uno spazio euclideo tridimensionale è ottenuta dalla radice quadrata di una forma quadratica in 6 variabili, le tre coordinate cartesiane ortogonali di ciascuno dei due punti. Esempi di forme quadratiche in una, due e tre variabili sono dati da: Si osservi che le funzioni quadratiche non sono, in generale, delle forme quadratiche, in quanto non sono polinomi omogenei nelle variabili (tranne casi particolari in cui sono nulli i coefficienti dei termini di grado 1 e 0). (it) 수론과 선형대수학에서 이차 형식(二次形式, 영어: quadratic form)은 다변수 2차 동차다항식이다. (ko) 数学における二次形式（にじけいしき、英: quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。例えば、変数が 2個の二次形式は の形である（x, y が変数）。 二次形式は数学のいろいろな分野（数論、線型代数学、群論（直交群）、微分幾何学（リーマン計量）、微分位相幾何学（の交叉形式）、（キリング形式）など）で中心的な位置を占める概念である。 (ja) In de wiskunde verstaat men onder een kwadratische vorm onder meer een homogene veelterm van graad 2, zoals . (nl) Forma kwadratowa (funkcjonał kwadratowy) – wielomian jednorodny II stopnia zmiennych określony na przestrzeni liniowej – zmienne występują tu najwyżej w drugiej potędze; ogólna postać: gdzie: * – stałe współczynniki liczbowe – całkowite, wymierne, rzeczywiste lub zespolone, * – zmienne, współrzędne dowolnego wektora danej przestrzeni liniowej * jednorodność II stopnia oznacza, że dla dowolnej liczby zachodzi równość, W przypadku jednej zmiennej, dwóch zmiennych oraz trzech zmiennych formy nazywa się odpowiednio unarną, binarną i ternarną. Mają one postacie: gdzie są stałymi współczynnikami. Np. jest formą kwadratową trzech zmiennych Funkcje kwadratowe, jak np. w przypadku jednej zmiennej, nie są na ogół formami kwadratowymi, gdyż nie są jednorodne (chyba że oraz są równe 0). Pojęcie formy kwadratowej zajmuje fundamentalne miejsce w różnych działach matematyki, takich jak np. teoria liczb, algebra liniowa, teoria grup (w tym teoria grup ortogonalnych), geometria różniczkowa (metryka Riemanna, druga forma fundamentalna), topologia różniczkowa. Uwaga: O ile nie zaznaczono inaczej, w artykule rozpatruje się przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem charakterystyki różnej od 2. (pl) Em matemática, uma forma quadrática é um polinômio homogêneo de grau dois em suas variáveis. Por exemplo, é uma forma quadrática nas variáveis x e y. Formas quadráticas ocupam um lugar central em vários ramos da matemática, incluindo teoria dos números, álgebra linear, teoria dos grupos (grupo ortogonal), geometria diferencial, topologia diferencial e teoria de Lie. Formas quadráticas são polinômios quadráticos homogêneos em n variáveis. No caso de uma, duas e três variáveis são denominadas unária, e ternária e apresentam-se nas seguintes formas explícitas: * unária: * binária: * ternária: , onde a,…,f são coeficientes. Notar que funções quadráticas, tais como ax2+bx+c no caso de uma única variável, não são formas quadráticas, pois não são homogêneas (a não ser que b e c sejam ambos 0). (pt) En kvadratisk form är ett homogent polynom av andra graden i n variabler. I fallen med en, två och tre variabler kallas de unära, binära respektive ternära och har de explicita formerna där a, ..., f är koefficienter som kan vara reella eller komplexa tal. Till exempel är inte polynomet ax2 + bx + c en kvadratisk form, då det inte är homogent. Formen kallas definit, om tecknet är detsamma för alla talpar x och y där ett av talen inte är noll. Till exempel är uttrycket positivt definit, om a > 0 och b > 0 eftersom det är positivt för alla värden på x och y förutom då båda är noll. för a > 0 är positivt semidefinit eftersom det är positivt eller noll för alla x och y. Huruvida en kurva är negativt definit respektive positivt definit kan enklast avgöras genom kvadratkomplettering. Teorin för de kvadratiska formerna, som bland annat sysselsätter sig med frågan hur den kvadratiska formen förhåller sig vid införande av nya variabler, är av grundläggande betydelse för många områden inom matematiken. Teorins systematiska utveckling är väsentligen ett verk av 1800-talets matematiker, främst Carl Friedrich Gauss, Karl Weierstrass och Leopold Kronecker. (sv) Квадрати́чна фо́рма — однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних. (uk) 在数学中，二次型（Quadratic form）是关于一些变量的二次齐次多项式。例如 是关于变量x和y的二次型。其系数通常属于一个确定的域，K，例如实数或者复数。人们通常称之为：“在K上的二次型。”在 时，且仅当所有的变量都为零时该二次型才为零时，则称该二次型为确定双线性形式，否則称之为迷向二次型。 二次型在许多数学分支，包括在数论、线性代数、群论（正交群）、微分几何(黎曼测度)、微分拓扑(intersection forms of four-manifolds)和李代数(基灵型)中，占有核心地位。 请勿将二次型与二次方程混淆。二次型是更广义的齐次多项式的特例。 (zh) Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. (ru) |
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(ko) 数学における二次形式（にじけいしき、英: quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。例えば、変数が 2個の二次形式は の形である（x, y が変数）。 二次形式は数学のいろいろな分野（数論、線型代数学、群論（直交群）、微分幾何学（リーマン計量）、微分位相幾何学（の交叉形式）、（キリング形式）など）で中心的な位置を占める概念である。 (ja) In de wiskunde verstaat men onder een kwadratische vorm onder meer een homogene veelterm van graad 2, zoals . (nl) Квадрати́чна фо́рма — однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних. (uk) 在数学中，二次型（Quadratic form）是关于一些变量的二次齐次多项式。例如 是关于变量x和y的二次型。其系数通常属于一个确定的域，K，例如实数或者复数。人们通常称之为：“在K上的二次型。”在 时，且仅当所有的变量都为零时该二次型才为零时，则称该二次型为确定双线性形式，否則称之为迷向二次型。 二次型在许多数学分支，包括在数论、线性代数、群论（正交群）、微分几何(黎曼测度)、微分拓扑(intersection forms of four-manifolds)和李代数(基灵型)中，占有核心地位。 请勿将二次型与二次方程混淆。二次型是更广义的齐次多项式的特例。 (zh) Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. (ru) في الرياضيات، شكل تربيعي هو متعددة حدود متجانسة من الدرجة الثانية، وتحوي عدة متحولات. على سبيل المثال، شكل تربيعي بمتغيرين اثنين هما x و y. عادة ما تنتمي المعاملات إلى حقل معين ما K، مجموعتا الأعداد الحقيقية والعقدية مثالان على ذلك. يقال عن هذه الصيغ أنها أشكال تربيعية على الحقل K. تعتبر الصيغ التربيعية من الصيغ الأساسية في الرياضيات، حيث تظهر في العديد من التطبيقات في نظرية الأعداد والجبر الخطي ونظرية الزمر والهندسة التفاضلية ونظرية لاي والهندسة الريمانية وغيرها. كما تستخدم أيضاً في الفيزياء والكيمياء على أنها طاقة نظام ما. (ar) Una forma quadràtica (real) és un polinomi homogeni de grau dos que involucra variables : on .Les formes quadràtiques d'una, dues i tres variables són: Per exemple, la distància entre dos punts en l'espai euclidià es troba amb l'arrel quadrada d'una forma quadràtica que conté sis variables: les tres coordenades espacials dels dos punts: Notació matricial. Seguint els convenis de l'Àlgebra lineal, escriurem els vectors en columna:, on és la transposada de la matriu o del vector . Considerem la matriu (ca) En matematiko, kvadrata formo estas homogena polinomo de 2 de iu kvanto de variabloj. Kvadrataj formoj de unu, du, kaj tri variabloj estas donitaj kiel: F(x) = ax2F(x,y) = ax2 + by2 + cxyF(x,y,z) = ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz Ekzemple, 3x2 + 2xy - 5y2 estas kvadrata formo de la variabloj x kaj y. La koeficientoj estas eroj de ringo. Noto ke kvadrata funkcio (parto de unu flanko de la egaleco, se la alia flanko estas nulo) ne nepre estas kvadrata formo, ĉar kvadrata funkcio ne nepre estas homogena polinomo. (eo) Eine quadratische Form ist in der Mathematik eine Funktion, die sich in einigen Aspekten wie die quadratische Funktion verhält. Ein Polynom, welches ausschließlich Terme zweiten Grades enthält, ist eine quadratische Form. 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Formas quadráticas ocupam um lugar central em vários ramos da matemática, incluindo teoria dos números, álgebra linear, teoria dos grupos (grupo ortogonal), geometria diferencial, topologia diferencial e teoria de Lie. Formas quadráticas são polinômios quadráticos homogêneos em n variáveis. No caso de uma, duas e três variáveis são denominadas unária, e ternária e apresentam-se nas seguintes formas explícitas: (pt) Forma kwadratowa (funkcjonał kwadratowy) – wielomian jednorodny II stopnia zmiennych określony na przestrzeni liniowej – zmienne występują tu najwyżej w drugiej potędze; ogólna postać: gdzie: * – stałe współczynniki liczbowe – całkowite, wymierne, rzeczywiste lub zespolone, * – zmienne, współrzędne dowolnego wektora danej przestrzeni liniowej * jednorodność II stopnia oznacza, że dla dowolnej liczby zachodzi równość, W przypadku jednej zmiennej, dwóch zmiennych oraz trzech zmiennych formy nazywa się odpowiednio unarną, binarną i ternarną. Mają one postacie: Np. 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