Hilbert–Schmidt operator (original) (raw)
In der Mathematik ist ein Hilbert-Schmidt-Operator (nach David Hilbert und Erhard Schmidt) ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum, für den eine gewisse Zahl, die Hilbert-Schmidt-Norm, endlich ist. Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge all dieser Operatoren, bildet mit der Hilbert-Schmidt-Norm eine Banachalgebra, die gleichzeitig ein Hilbertraum ist. Hilbert-Schmidt-Operatoren können durch unendlich-dimensionale Matrizen charakterisiert werden.
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| dbo:abstract | In der Mathematik ist ein Hilbert-Schmidt-Operator (nach David Hilbert und Erhard Schmidt) ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum, für den eine gewisse Zahl, die Hilbert-Schmidt-Norm, endlich ist. Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge all dieser Operatoren, bildet mit der Hilbert-Schmidt-Norm eine Banachalgebra, die gleichzeitig ein Hilbertraum ist. Hilbert-Schmidt-Operatoren können durch unendlich-dimensionale Matrizen charakterisiert werden. (de) In mathematics, a Hilbert–Schmidt operator, named after David Hilbert and Erhard Schmidt, is a bounded operator that acts on a Hilbert space and has finite Hilbert–Schmidt norm where is an orthonormal basis. The index set need not be countable. However, the sum on the right must contain at most countably many non-zero terms, to have meaning. This definition is independent of the choice of the orthonormal basis. In finite-dimensional Euclidean space, the Hilbert–Schmidt norm is identical to the Frobenius norm. (en) In matematica, un operatore di Hilbert-Schmidt, il cui nome è dovuto a David Hilbert e Erhard Schmidt, è un operatore limitato su uno spazio di Hilbert per il quale una data norma, detta norma di Hilbert–Schmidt, è finita. (it) 数学の分野におけるヒルベルト＝シュミット作用素（ヒルベルト＝シュミットさようそ、英: Hilbert-Schmidt operator）とは、ダフィット・ヒルベルトとエルハルト・シュミットの名にちなむ、ヒルベルト空間上の有界線型作用素で、次のような有限のヒルベルト＝シュミットノルムを備えるもののことを言う： ここで は H のノルムを表し、 は添字集合 についての H の正規直交基底を表す。この添字集合は必ずしも可算でなくても良いことに注意されたい。この定義は、基底の選び方に依存しないため、 が成り立つ。ここで であり、 は のシャッテンノルムを表す。ユークリッド空間においては、 はフロベニウスノルムとも呼ばれる。 二つのヒルベルト＝シュミット作用素の積のトレースクラスノルムは、有限である。したがって、A と B を二つのヒルベルト＝シュミット作用素としたとき、ヒルベルト＝シュミット内積（Hilbert-Schmidt inner product）は次のように定義される： ヒルベルト＝シュミット作用素は、H 上の有界作用素のバナッハ環における両側*-イデアルを形成する。それらはまた、 と自然に等長同型であると見なされるようなヒルベルト空間を形成する。ここで、H* は H の双対空間である。 ヒルベルト＝シュミット作用素の集合がノルム位相において閉であるための必要十分条件は、H が有限次元であることである。 ある重要な応用例の類は、ヒルベルト＝シュミット積分作用素に見られる。 ヒルベルト＝シュミット作用素は次数 2 の核作用素であり、したがってコンパクトである。 (ja) Operator nazywamy operatorem Hilberta-Schmidta, jeśli jest on ograniczony na przestrzeni Hilberta oraz dla pewnej bazy ortonormalnej zachodzi: gdzie jest śladem operatora normą a Wielkość jest kwadratem tzw. normy Hilberta-Schmidta, oznaczanej jako Zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta na przestrzeni zapisuje się jako (pl) Оператор Гильберта — Шмидта — это ограниченный оператор на гильбертовом пространстве с конечной нормой Гильберта — Шмидта, т. е. для которого существует такой ортонормированный базис в , что Если это верно в каком-то ортономированном базисе, то это верно в любом ортонормированном базисе. (ru) 在数学中，一个希尔伯特-施密特算子(英語：Hilbert–Schmidt operator)（得名于大卫·希尔伯特和）, 是希尔伯特空间H上的有界算子A，有有限的希尔伯特-施密特范数 ， 其中是H上的范数，是H上的一组标准正交基，Tr是非负自伴算子的迹。这里指标集不一定可数。这个定义不依赖于基底的选择，所以有 ， 其中，为在p = 2时的。在欧几里得空间中，也被称为弗罗贝尼乌斯范数，得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。 两个希尔伯特-施密特算子的乘积有有限的迹类范数；因此，如果A和B是两个希尔伯特-施密特算子，希尔伯特-施密特内积可以如下定义 。 希尔伯特-施密特算子构成一个H上的有界算子的的双边*理想。它们构成一个希尔伯特空间，可以证明自然等距同构到 ， 其中H∗是H的对偶空间。 希尔伯特-施密特算子的集合在范数拓扑下是闭集，当且仅当H是有限维空间。 一类重要的例子是。 希尔伯特-施密特算子是二阶，因此是紧的。 (zh) Оператор Гільберта — Шмідта — це обмежений оператор на гільбертовому просторі зі скінченною нормою Гільберта — Шмідта, тобто для якого існує такий ортонормований базис в , що Якщо це виконується в якомусь ортономованому базисі, то це виконується в будь-якому ортонормованому базисі. (uk) |
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