Tensor product of Hilbert spaces (original) (raw)
In mathematics, and in particular functional analysis, the tensor product of Hilbert spaces is a way to extend the tensor product construction so that the result of taking a tensor product of two Hilbert spaces is another Hilbert space. Roughly speaking, the tensor product is the metric space completion of the ordinary tensor product. This is an example of a topological tensor product. The tensor product allows Hilbert spaces to be collected into a symmetric monoidal category.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Bildung von Hilbertraum-Tensorprodukten ist eine Methode, aus Hilberträumen neue Hilberträume zusammenzusetzen. Eine rein algebraische Bildung des Tensorproduktes reicht nicht aus, da man im Allgemeinen so keine vollständigen Räume erhält. Auch die in der Banachraumtheorie untersuchten injektiven und projektiven Tensorprodukte führen nicht zum gewünschten Ergebnis, da man auf diese Weise im Allgemeinen nicht zu Hilberträumen kommt, das heißt, die Normen sind nicht durch ein Skalarprodukt definiert. Zwar sind Skalarprodukte auf -Hilberträumen nicht bilinear, sondern nur sesquilinear, aber dennoch sollte es möglich sein, diese auf algebraische Tensorprodukte von Hilberträumen fortzusetzen, denn Tensorprodukte sind ja gewissermaßen für bilineare Abbildungen gemacht.Dann hätte man immerhin einen Prähilbertraum, den man nur noch vervollständigen müsste, um einen Hilbertraum zu erhalten. Genau dieses Vorgehen erweist sich als erfolgreich. Im Folgenden werden nur komplexe Hilberträume betrachtet, die für viele Anwendungen wichtiger sind. Die Konstruktion von Tensorprodukten reeller Räume verläuft ganz ähnlich und ist in manchen Details sogar einfacher. (de) In mathematics, and in particular functional analysis, the tensor product of Hilbert spaces is a way to extend the tensor product construction so that the result of taking a tensor product of two Hilbert spaces is another Hilbert space. Roughly speaking, the tensor product is the metric space completion of the ordinary tensor product. This is an example of a topological tensor product. The tensor product allows Hilbert spaces to be collected into a symmetric monoidal category. (en) Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta i – przestrzeń Hilberta, utworzona z iloczynu tensorowego przestrzeni i traktowanych jako przestrzenie liniowe, z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym. (pl) |
| dbo:wikiPageID | 2728973 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 10227 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1119698122 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Quantum_harmonic_oscillator dbr:Quantum_mechanics dbc:Hilbert_space dbr:Von_Neumann_algebra dbc:Operator_theory dbr:Mathematics dbr:Simple_tensor dbr:Complete_metric_space dbr:Functional_analysis dbr:Orthonormal_basis dbr:Measure_space dbr:Linear_combination dbr:American_Mathematical_Society dbc:Linear_algebra dbr:Cardinal_number dbr:Fock_space dbr:Graduate_Studies_in_Mathematics dbr:Graduate_Texts_in_Mathematics dbr:Hilbert–Schmidt_operator dbr:Hilbert_space dbr:Isomorphic dbr:Tensor_product dbc:Functional_analysis dbr:Bilinear_map dbr:Topological_tensor_product dbr:Dot_product dbr:C*-algebra dbr:Inner_product_space dbr:Symmetric_monoidal_category dbr:Universal_property dbr:Springer-Verlag dbr:Complete_metricspace |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book dbt:Cn dbt:Harv dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Topological_tensor_products_and_nuclear_spaces dbt:Functional_analysis dbt:Math_theorem dbt:Hilbert_space |
| dct:subject | dbc:Hilbert_space dbc:Operator_theory dbc:Linear_algebra dbc:Functional_analysis |
| gold:hypernym | dbr:Way |
| rdfs:comment | In mathematics, and in particular functional analysis, the tensor product of Hilbert spaces is a way to extend the tensor product construction so that the result of taking a tensor product of two Hilbert spaces is another Hilbert space. Roughly speaking, the tensor product is the metric space completion of the ordinary tensor product. This is an example of a topological tensor product. The tensor product allows Hilbert spaces to be collected into a symmetric monoidal category. (en) Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta i – przestrzeń Hilberta, utworzona z iloczynu tensorowego przestrzeni i traktowanych jako przestrzenie liniowe, z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym. (pl) Die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Bildung von Hilbertraum-Tensorprodukten ist eine Methode, aus Hilberträumen neue Hilberträume zusammenzusetzen. Eine rein algebraische Bildung des Tensorproduktes reicht nicht aus, da man im Allgemeinen so keine vollständigen Räume erhält. Auch die in der Banachraumtheorie untersuchten injektiven und projektiven Tensorprodukte führen nicht zum gewünschten Ergebnis, da man auf diese Weise im Allgemeinen nicht zu Hilberträumen kommt, das heißt, die Normen sind nicht durch ein Skalarprodukt definiert. (de) |
| rdfs:label | Hilbertraum-Tensorprodukt (de) Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta (pl) Tensor product of Hilbert spaces (en) |
| owl:sameAs | freebase:Tensor product of Hilbert spaces wikidata:Tensor product of Hilbert spaces dbpedia-de:Tensor product of Hilbert spaces dbpedia-pl:Tensor product of Hilbert spaces https://global.dbpedia.org/id/QpPt |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Tensor_product_of_Hilbert_spaces?oldid=1119698122&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Tensor_product_of_Hilbert_spaces |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Tensor_product_(disambiguation) |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Quantum_state dbr:List_of_probabilistic_proofs_of_non-probabilistic_theorems dbr:Oscillator_representation dbr:Frobenius_inner_product dbr:Permanent_(mathematics) dbr:Fock_state dbr:Fock_space dbr:Hilbert–Schmidt_operator dbr:Product_(mathematics) dbr:Hilbert_space dbr:Tensor dbr:Tensor_product dbr:Tensor_product_(disambiguation) dbr:Topological_tensor_product dbr:Koopman–von_Neumann_classical_mechanics dbr:List_of_topologies dbr:Quantum_mutual_information |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Tensor_product_of_Hilbert_spaces |