Compact operator on Hilbert space (original) (raw)
数学の関数解析学の分野において、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素（ヒルベルトくうかんじょうのコンパクトさようそ、英: Compact operator on Hilbert space）は、行列の直接的な拡張である。すなわち、ヒルベルト空間において、それらはまさしく一様作用素位相における有限ランク作用素の閉包である。したがって、行列理論で得られる結果はしばしば同様の議論によってコンパクト作用素へと拡張することが出来る。対照的に、無限次元空間上の一般的な作用素の研究には、しばしば異なる手法が必要となる。 例えば、バナッハ空間上のコンパクト作用素のスペクトル理論は、行列のジョルダン標準形と非常によく似た形式を取る。ヒルベルト空間の文脈では、正方行列がユニタリ対角化可能であるための必要十分条件は、それが正規作用素であることである。ヒルベルト空間上の正規作用素に対しても、対応する結果が得られる（より一般に、コンパクト性の仮定は除くことも出来る。しかし、上述のように、用いられる手法はより特殊なものとなる）。 この記事では、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素に関する結果を紹介する。コンパクト作用素のサブクラスを考える前に、一般的な性質について述べる。
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| dbo:abstract | Στη συναρτησιακή ανάλυση, συμπαγείς τελεστές σε χώρους Hilbert είναι μια άμεση επέκταση των πινάκων: στους χώρους Hilbert, είναι ακριβώς το περίβλημα στην . Ως τέτοια, αποτελέσματα από τη μπορούν ορισμένες φορές να επεκταθούν σε συμπαγείς τελεστές χρησιμοποιώντας παραπλήσιους ισχυρισμούς. Σε αντίθεση, η μελέτη γενικών τελεστών σε απειροδιάστατους χώρους συχνά απαιτεί μια πραγματικά διαφορετική προσέγγιση. Για παράδειγμα, η σε παίρνει μια μορφή αρκετά παραπλήσια με την των πινάκων. Στη γλώσσα των χώρων Hilbert, ένας τετραγωνικός πίνακας είναι ορθομοναδιαία διαγωνιοποιήσιμος αν και μόνο αν είναι κανονικός τελεστής. Ένα αντίστοιχο αποτέλεσμα υπάρχει για κανονικούς συμπαγείς τελεστές σε χώρους Hilbert. (Πιο γενικά, η υπόθεση της συμπάγειας μπορεί να αφαιρεθεί. Όμως, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται είναι λιγότερο συνήθης.) Αυτό το λήμμα θα αναφέρει ορισμένα αποτελέσματα για συμπαγείς τελεστές σε χώρους Hilbert, ξεκινώντας με τις γενικές ιδιότητες προτού θεωρήσει υποκλάσεις των συμπαγών τελεστών. (el) In the mathematical discipline of functional analysis, the concept of a compact operator on Hilbert space is an extension of the concept of a matrix acting on a finite-dimensional vector space; in Hilbert space, compact operators are precisely the closure of finite-rank operators (representable by finite-dimensional matrices) in the topology induced by the operator norm. As such, results from matrix theory can sometimes be extended to compact operators using similar arguments. By contrast, the study of general operators on infinite-dimensional spaces often requires a genuinely different approach. For example, the spectral theory of compact operators on Banach spaces takes a form that is very similar to the Jordan canonical form of matrices. In the context of Hilbert spaces, a square matrix is unitarily diagonalizable if and only if it is normal. A corresponding result holds for normal compact operators on Hilbert spaces. More generally, the compactness assumption can be dropped. As stated above, the techniques used to prove results, e.g., the spectral theorem, in the non-compact case are typically different, involving operator-valued measures on the spectrum. Some results for compact operators on Hilbert space will be discussed, starting with general properties before considering subclasses of compact operators. (en) 数学の関数解析学の分野において、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素（ヒルベルトくうかんじょうのコンパクトさようそ、英: Compact operator on Hilbert space）は、行列の直接的な拡張である。すなわち、ヒルベルト空間において、それらはまさしく一様作用素位相における有限ランク作用素の閉包である。したがって、行列理論で得られる結果はしばしば同様の議論によってコンパクト作用素へと拡張することが出来る。対照的に、無限次元空間上の一般的な作用素の研究には、しばしば異なる手法が必要となる。 例えば、バナッハ空間上のコンパクト作用素のスペクトル理論は、行列のジョルダン標準形と非常によく似た形式を取る。ヒルベルト空間の文脈では、正方行列がユニタリ対角化可能であるための必要十分条件は、それが正規作用素であることである。ヒルベルト空間上の正規作用素に対しても、対応する結果が得られる（より一般に、コンパクト性の仮定は除くことも出来る。しかし、上述のように、用いられる手法はより特殊なものとなる）。 この記事では、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素に関する結果を紹介する。コンパクト作用素のサブクラスを考える前に、一般的な性質について述べる。 (ja) |
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| dbp:mathStatement | If there is an injective compact operator in ; then the operators can be simultaneously diagonalized. (en) Suppose all the operators in are compact. Then every closed non-zero -invariant sub-space has a common eigenvector for . (en) If H a finite-dimensional Hilbert space, and a commutative set of operators, each of which is diagonalisable; then the operators can be simultaneously diagonalized. (en) If all the operators in are compact then the operators can be simultaneously diagonalized. (en) |
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| rdfs:label | Συμπαγής τελεστής σε χώρο Hilbert (el) Compact operator on Hilbert space (en) ヒルベルト空間上のコンパクト作用素 (ja) |
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