Singular value decomposition (original) (raw)
Eine Singulärwertzerlegung (engl. Singular Value Decomposition; abgekürzt SWZ oder SVD) einer Matrix bezeichnet deren Darstellung als Produkt dreier spezieller Matrizen. Daraus kann man die Singulärwerte der Matrix ablesen. Diese charakterisieren, ähnlich den Eigenwerten, Eigenschaften der Matrix. Singulärwertzerlegungen existieren für jede Matrix – auch für nichtquadratische Matrizen.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En àlgebra lineal, la descomposició en valors singulars (DVS) és una descomposició de matrius d'una matriu real o complexa, amb gran nombre d'aplicacions en el processament de senyals i l'estadística. Formalment, la descomposició en valors singulars d'una matriu M real o complexa de dimensió m×n és una factorització de la forma on U és una matriu unitària de dimensió m×m real o complexa, Σ és una matriu diagonal rectangular de dimensió m×n amb entrades reals no-negatives a la diagonal, i V* (la matriu transposada conjugada de V) és una matriu unitària real o complexa de dimensió n×n. Les entrades de la diagonal Σi,i de Σ són conegudes com els valors singulars de M. Les m columnes de U i les n columnes de V s'anomenen vectors singulars per l'esquerra i vectors singulars per la dreta de M, respectivament. La descomposició en valors singulars i la descomposició espectral estan íntimament lligades. De fet: * Els vectors singulars per l'esquerra de M són vectors propis de MM*. * Els vectors singulars per la dreta de M són vectors propis de M*M. * Els valors singulars no-nuls de M (que hom troba a les entrades de la diagonal de Σ) són les arrels quadrades dels valors propis tant de M*M com de MM*. Algunes aplicacions de la DVS són el càlcul de la pseudoinversa d'una matriu, l'ajust de dades pel mètode dels mínims quadrats, aproximacions de matrius, i la determinació del rang, la imatge i el nucli d'una matriu. (ca) Singulární rozklad (zkratkou SVD podle anglického názvu Singular Value Decomposition) matice je rozklad komplexní nebo reálné matice na maticový součin . Přitom je reálná nebo komplexní unitární matice o rozměrech , je reálná nebo komplexní unitární matice a je matice nulová až na případná nezáporná čísla na hlavní diagonále; čísla na její hlavní diagonále se označují jako singulární hodnoty matice . Hvězdička označuje , tedy transponovanou matici komplexně sdružených prvků. Požadujeme-li, jak je obvyklé, aby singulární hodnoty byly seřazeny sestupně, je matice určena jednoznačně, naopak matice a jednoznačné být nemusejí. Singulární rozklad vždy existuje a používá se k řadě teoretických i praktických účelů. Lze ho chápat také jako zobecnění Schurova rozkladu na matice obecného tvaru. Nevýhodou je, že výpočetní náročnost konstrukce singulárního rozkladu roste se třetí mocninou rozměru matic. O vypracování teorie singulárních hodnot se zasloužili matematici Eugenio Beltrami (1873), Camille Jordan (1874), James Joseph Sylvester (1889), Erhard Schmidt (1907), Émile Picard (1910) a Eckart a Young (1936). První algoritmus SVD rozkladu publikovali a William Kahan (1965), jeho vylepšenou a dodnes často používanou variantu uveřejnili Golub a Christian Reinsch (1970). Geometricky existence singulárního rozkladu znamená, že každý lineární operátor mezi reálnými vektorovými prostory konečných dimenzí lze rozložit na rotaci vzorů (matice ), vynásobení (části) rotovaných vektorů nezápornými koeficienty (singulárními hodnotami) a opětnou rotaci (případně rotaci kombinovanou se zrcadlením) v prostoru obrazů (matice ). Anebo můžeme matice a interpretovat jako matice přechodu mezi bázemi a říci, že pro každý lineární operátor mezi reálnými konečněrozměrnými vektorovými prostory lze najít dvojici ortonormálních bází (v prostoru vzorů a v prostoru obrazů) tak, že daný operátor se v těchto bázích zapíše jako matice s nezápornými čísly na hlavní diagonále a nulami všude jinde, tj. i-tou složku vzoru v první bázi násobí i-tou singulární hodnotou, čímž získá i-tou složku zápisu obrazu ve druhé bázi. (cs) Στη γραμμική άλγεβρα , η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές είναι μία παραγοντοποίηση ενός πίνακα με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία, με πολλές χρήσιμες εφαρμογές στη θεωρία σημάτων και τη στατιστική. Η ανάλυση ενός m×n πίνακα M, με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία, σε ιδιάζουσες τιμές είναι μια παραγοντοποίηση της μορφής όπου U είναι ένας m×m πραγματικός ή μιγαδικός , Σ ένας m×n με μη αρνητικές τιμές στην διαγώνιο και V* (ο συζυγής ανάστροφος του V, ή απλά ο ανάστροφος του V αν ο V είναι πραγματικός) ένας n×n πραγματικός ή μιγαδικός . Τα διαγώνια στοιχεία Σi,i του Σ είναι γνωστά ως του M. Οι m στήλες του U και οι n στήλες του V ονομάζονται αριστερά-ιδιάζοντα διανύσματα και δεξιά-ιδιάζοντα διανύσματα του Μ, αντίστοιχα. Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές και η είναι στενά συνδεδεμένες. Δηλαδή: * Τα αριστερά-ιδιάζοντα διανύσματα του M είναι τα ιδιοδιανύσματα του MM*. * Τα δεξιά-ιδιάζοντα διανύσματα του M είναι τα ιδιοδιανύσματα του M*M. * Οι μη-μηδενικές ιδιάζουσες τιμές του M (που εμφανίζονται στις διαγώνιες θέσεις του Σ) είναι οι τετραγωνικές ρίζες των μη μηδενικών ιδιοτιμών του M*M και του MM*. Εφαρμογές που χρησιμοποιούν την ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές περιλαμβάνουν τον υπολογισμό του ψευδοαντιστρόφου , τη προσαρμογή δεδομένων με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, τις προσεγγίσεις πινάκων και την εύρεση της βαθμίδας, του χώρου των στηλών και του μηδενοχώρου ενός πίνακα. (el) تفريق القمية المنفردة في الجبر الخطي (SVD) هو عملية تفكيك مصفوفة حقيقية أو مركبة إلى عوامل، وتعتبر تعميم لتجزيء القيمة الذاتية لمصفوفة موجبة شبه معرفة (على سبيل المثال مصفوفة متماثلة ذات قيم ذاتية موجبة) إلى أي مصفوفة m*n من خلال تمديد التجزيء القطبي. تصف القيم المفردة خصائص معينة للمصفوفة كقيمها الذاتية ويمكن حسابها لجميع المصفوفات، حتى لو لم تكن مربعة. تفريق القيمة المنفردة SVD لمصفوفة حقيقية هو تجزيئها إلى عوامل ،حيث: هو مصفوفة وحدة m*m مصفوفة m*n مستطيلة قطرية ذات قيم غير سالبه وارقام قطرية حقيقية. مصفوفة وحدة n*n تعرف المدخلات القطرية للمصفوفة Σ بالقيم المفردة. والعمودان في U , V يعرفان بالمتجهات المفردة اليسرى والمتجهات المفردة اليمنى للمصفوفة M. يمكن احتساب SVM من خلال الملاحظات التالية: (ar) En lineara algebro, la singulara valora malkomponaĵo aŭ singulara valora dekomponaĵo (SVD) estas ( faktorigo) de reela aŭ kompleksa matrico. Singulara valoro malkomponaĵo povas esti de ankaŭ ne-kvadrata matrico. Estu M estas m×n matrico kies elementoj estas de kampo K, kiu estas la kampo de reelaj nombroj aŭ la kampo de kompleksaj nombroj. Tiam ekzistas faktorigo de formo M = UΣV* kie U estas m×m unita matrico super K; Σ estas m×n diagonala matrico kun nenegativaj reelaj nombroj sur la ĉefdiagonalo;V estas n×n unita matrico super K;V* estas konjugita transpono de V. Por reela M, ankaŭ U kaj V estas reelaj, kaj konjugita transpono estas la samo kiel transpono. Komuna konvencio estas ordigi la diagonalajn elementojn Σi, i en malkreska ordo. En ĉi tiu okazo, la diagonala matrico Σ estas unike difinita per M, kvankam la matricoj U kaj V estas ne unikaj. La diagonalaj elementoj de Σ estas la de M. Ekzegezo de la malkomponaĵo povas esti ĉi tia: * La kolumnoj de V formas aron de enigaj aŭ analizantaa por M. Ili estas la ajgenvektoroj de M*M. * La kolumnoj de U formas aron de eligaj por M. Ili estas la ajgenvektoroj de MM*. * La diagonalaj valoroj en matrico Σ estas la skalaraj amplifaj koefivientoj, per kiu ĉiu respektiva enigo estas multiplikata por doni respektivan eligoj. Ili estas la kvadrataj radikoj de la ajgenoj de MM* kaj M*M kiu respektivas kun la samaj kolumnoj en U kaj V. (eo) Eine Singulärwertzerlegung (engl. Singular Value Decomposition; abgekürzt SWZ oder SVD) einer Matrix bezeichnet deren Darstellung als Produkt dreier spezieller Matrizen. Daraus kann man die Singulärwerte der Matrix ablesen. Diese charakterisieren, ähnlich den Eigenwerten, Eigenschaften der Matrix. Singulärwertzerlegungen existieren für jede Matrix – auch für nichtquadratische Matrizen. (de) En álgebra lineal, la descomposición en valores singulares (o DVS) de una matriz real o compleja es una factorización de la misma con muchas aplicaciones en estadística y otras disciplinas. (es) Dekomposisi nilai singular adalah suatu pemfaktoran matriks dengan mengurai suatu matriks ke dalam dua matriks uniter U dan V, dan sebuah matriks diagonal S yang berisi faktor skala yang disebut dengan nilai singular. Dekomposisi nilai singular dari matriks A dinyatakan sebagai Setiap nilai singular dalam S bersesuaian dengan suatu citra 2-dimensi yang dibangun oleh satu kolom dari U dan satu baris dari V. Citra hasil rekonstruksi adalah jumlah dari setiap citra parsial yang telah diubah skalanya menggunakan nilai singular yang bersesuaian dalam S. Kata kunci untuk memampatkan citra dengan metode ini adalah mengidentifikasi bahwa nilai singular terkecil dan citra yang bersesuaian dengan nilai singular ini tidak akan ikut membangun citra asli secara signifikan. Dengan mengabaikan nilai singular yang kecil bersama dengan kolom-kolom pada U dan baris-baris pada V yang telah difaktorkan oleh nilai singular ini, citra asli akan direkonstruksi dengan cukup tepat oleh suatu himpunan data yang jauh lebih kecil daripada matriks citra aslinya. (in) In linear algebra, the singular value decomposition (SVD) is a factorization of a real or complex matrix. It generalizes the eigendecomposition of a square normal matrix with an orthonormal eigenbasis to any matrix. It is related to the polar decomposition. Specifically, the singular value decomposition of an complex matrix M is a factorization of the form where U is an complex unitary matrix, is an rectangular diagonal matrix with non-negative real numbers on the diagonal, V is an complex unitary matrix, and is the conjugate transpose of V. Such decomposition always exists for any complex matrix. If M is real, then U and V can be guaranteed to be real orthogonal matrices; in such contexts, the SVD is often denoted The diagonal entries of are uniquely determined by M and are known as the singular values of M. The number of non-zero singular values is equal to the rank of M. The columns of U and the columns of V are called left-singular vectors and right-singular vectors of M, respectively. They form two sets of orthonormal bases u1, ..., um and v1, ..., vn , and if they are sorted so that the singular values with value zero are all in the highest-numbered columns (or rows), the singular value decomposition can be written as where is the rank of M. The SVD is not unique. It is always possible to choose the decomposition so that the singular values are in descending order. In this case, (but not U and V) is uniquely determined by M. The term sometimes refers to the compact SVD, a similar decomposition in which is square diagonal of size , where is the rank of M, and has only the non-zero singular values. In this variant, U is an semi-unitary matrix and is an semi-unitary matrix, such that Mathematical applications of the SVD include computing the pseudoinverse, matrix approximation, and determining the rank, range, and null space of a matrix. The SVD is also extremely useful in all areas of science, engineering, and statistics, such as signal processing, least squares fitting of data, and process control. (en) En mathématiques, le procédé d'algèbre linéaire de décomposition en (ou SVD, de l'anglais singular value decomposition) d'une matrice est un outil important de factorisation des matrices rectangulaires réelles ou complexes. Ses applications s'étendent du traitement du signal aux statistiques, en passant par la météorologie. Le théorème spectral énonce qu'une matrice normale peut être diagonalisée par une base orthonormée de vecteurs propres. On peut voir la décomposition en valeurs singulières comme une généralisation du théorème spectral à des matrices arbitraires, qui ne sont pas nécessairement carrées. (fr) In algebra lineare, la decomposizione ai valori singolari, detta anche SVD (dall'acronimo inglese di singular value decomposition), è una particolare fattorizzazione di una matrice basata sull'uso di autovalori e autovettori. Data una matrice reale o complessa di dimensione , si tratta di una scrittura del tipo: dove è una matrice unitaria di dimensioni , è una matrice diagonale rettangolare di dimensioni e è la trasposta coniugata di una matrice unitaria di dimensioni . Gli elementi di sono detti valori singolari di ; ognuna delle m colonne di è detta vettore singolare sinistro mentre ognuna delle n colonne di è detta vettore singolare destro. Si verifica che: * I vettori singolari di sinistra di sono gli autovettori di * I vettori singolari di destra di sono gli autovettori di * I valori singolari non nulli di (che si trovano sulla diagonale principale di ) sono le radici quadrate degli autovalori non nulli di e . (it) 특잇값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)는 행렬을 특정한 구조로 분해하는 방식으로, 신호 처리와 통계학 등의 분야에서 자주 사용된다. 특잇값 분해는 행렬의 을 임의의 직사각행렬에 대해 일반화한 것으로 볼 수 있다. 스펙트럼 이론을 이용하면 직교 정사각행렬을 고윳값을 기저로 하여 대각행렬로 분해할 수 있다. (ko) 特異値分解（とくいちぶんかい、英: singular value decomposition; SVD）とは線形代数学における複素数あるいは実数を成分とする行列に対する行列分解の一手法であり、Autonneによって導入された。悪条件方程式の数値解法で重宝するほか、信号処理や統計学の分野で用いられる。特異値分解は、行列に対するスペクトル定理の一般化とも考えられ、正方行列に限らず任意の形の行列を分解できる。 (ja) Rozkład według wartości osobliwych (rozkład według wartości szczególnych, dekompozycja głównych składowych, dekompozycja na wartości singularne, dekompozycja SVD, rozkład SVD, algorytm SVD (SVD – z ang. Singular Value Decomposition)) – pewien rozkład macierzy (dekompozycja) na iloczyn trzech specyficznych macierzy. Jest to metoda matematyczna stosowana m.in. w analizie statystycznej służąca do redukcji wymiaru macierzy. Posiada wiele zastosowań np. przy przetwarzaniu obrazów i sygnałów, w robotyce i automatyce. (pl) De singulierewaardenontbinding (SWO; Engels: singular value decomposition, SVD) is een belangrijk begrip uit de lineaire algebra en numerieke wiskunde. De singuliere waarden beschrijven eigenschappen van een willekeurige matrix, analoog aan de eigenwaarden van een vierkante matrix. De SWO wordt onder meer gebruikt bij de studie van lineaire afbeeldingen, het bepalen van normen van matrices, het berekenen van de of pseudo-inverse van een willekeurige matrix en de kleinstekwadratenoplossing van een willekeurig stelsel van lineaire vergelijkingen. (nl) Inom linjär algebra är singulärvärdesuppdelning (SVD), ibland kallat singulärvärdesfaktorisering eller singulärvärdesdekomposition, en sorts matrisfaktorisering. Alla reella och komplexa matriser kan singulärvärdefaktoriseras. (sv) Em álgebra linear, a decomposição em valores singulares ou singular value decomposition (SVD) é a fatoração de uma matriz real ou complexa, com diversas aplicações importantes em processamento de sinais e estatística. Formalmente, a decomposição em valores singulares de uma matriz m×n real ou complexa M é uma fatoração ou fatorização na forma: onde U é uma matriz unitária m×m real ou complexa, Σ é uma matriz retangular diagonal m×n com números reais não-negativos na diagonal, e V* (a conjugada transposta de V) é uma matriz unitária n×n real ou complexa. As entradas diagonais Σi,i de Σ são os chamados valores singulares de M. As m colunas de U e as n colunas de V são os chamados vetores singulares à esquerda e vetores singulares à direita de M, respetivamente. A decomposição em valores singulares e a decomposição em autovalores são intimamente relacionadas. Mais especificamente: * Os vetores singulares à esquerda de M são autovetores de * Os vetores singulares à direita de M são autovetores de * Os valores singulares não-nulos de M (ao longo da diagonal de Σ) são as raízes quadradas dos autovalores não-nulos de ou Dentre as aplicações que envolvem a SVD estão o cálculo da pseudoinversa, o ajuste (fitting) de dados por mínimos quadrados, aproximação de matrizes, e a determinação do posto, imagem e núcleo de uma matriz. (pt) Сингуля́рное разложе́ние — определённого типа разложение прямоугольной матрицы, имеющее широкое применение, в силу своей наглядной геометрической интерпретации, при решении многих прикладных задач.Переформулировка сингулярного разложения, так называемое разложение Шмидта, имеет приложения в квантовой теории информации, например, в запутанности. Сингулярное разложение матрицы позволяет вычислять сингулярные числа данной матрицы, а также левые и правые сингулярные векторы матрицы : * левые сингулярные векторы матрицы — это собственные векторы матрицы ; * правые сингулярные векторы матрицы — это собственные векторы матрицы . Где — эрмитово-сопряжённая матрица к матрице , для вещественной матрицы . Сингулярные числа матрицы не следует путать с собственными числами той же матрицы. Сингулярное разложение является удобным при вычислении ранга матрицы, ядра матрицы и псевдообратной матрицы. Сингулярное разложение также используется для приближения матриц матрицами заданного ранга. (ru) Сингуля́рний ро́зклад ма́триці (сингулярне представлення матриці чи англ. singular-value decomposition, SVD) — один з важливих методів розкладу матриці з дійсними або комплексними числами. Є узагальненням власного розкладу матриці невід'ємно визначеної нормальної матриці (наприклад, симетричної матриці з додатними власними значеннями) на матрицю розміру як узагальнення полярного розкладу. Формально, сингулярний розклад матриці розміру , яка складена з дійсних або комплексних чисел, буде розкладанням на множники у вигляді , де — матриця розміру буде дійсною або комплексною унітарною матрицею, буде -прямокутною діагональною матрицею з не від'ємними дійсними числами на діагоналі, і буде дійсною або комплексною унітарною матрицею розміру . Діагональні елементи матриці відомі як сингулярні значення матриці . Стовпчики та стовпчики називаються ліво-сингулярними векторами та право-сингулярними векторами матриці , відповідно. Сингулярний розклад матриці можна обчислити за допомогою наступних спостережень: * Ліво-сингулярні вектори M є множиною ортонормованих головних векторів MM∗. * Право-сингулярні вектори M є множиною ортонормованих головних векторів M∗M. * Не нульові сингулярні значення M (знаходяться на діагоналі Σ) є квадратними коренями не нульових головних значень як M∗M, так і MM∗. Сингулярний розклад матриці застосовується в лінійній алгебрі для обчислення псевдоінверсії, наближення матриці, обчислення ядра або рангу матриці та інше. (uk) 奇异值分解（singular value decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或厄米矩陣基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Singular-Value-Decomposition.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/topicsinmatrixan0000horn http://brunnur.vedur.is/pub/halldor/TEXT/eofsvd.html https://doi.org/10.1109/TCBB.2014.2382127 http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary%3Fdoi=10.1.1.23.1831 http://apps.nrbook.com/empanel/index.html%3Fpg=65 http://engineerjs.com/doc/ejs/engine/linalg-1/_svd.html http://public.lanl.gov/mewall/kluwer2002.html https://archive.org/details/foundationsofmul00same https://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Singular-Value-Decomposition.html |
| dbo:wikiPageID | 142207 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 83223 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1120614784 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Camille_Jordan dbr:Carl_Eckart dbr:Product_topology dbr:Quantum_entanglement dbr:Schmidt_decomposition dbr:Ensemble_forecasting dbr:Modal_analysis dbr:Nearest_neighbor_search dbr:Numerical_weather_prediction dbr:Léon_Autonne dbr:Partial_isometry dbr:Time_series dbr:Semi-orthogonal_matrix dbr:Bilinear_form dbr:Pauli_matrices dbr:Curse_of_dimensionality dbr:Defective_matrix dbr:Definite_matrix dbr:Del dbr:Integral_operator dbr:Invariant_(mathematics) dbr:Inverse_problem dbr:Jacobi_eigenvalue_algorithm dbr:Multiplicative_inverse dbr:Compact_space dbr:Complex_number dbr:Conjugate_transpose dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Matrix_norm dbr:Ervand_Kogbetliantz dbr:Generalized_singular_value_decomposition dbr:Low-rank_approximation dbr:Operator_norm dbr:Orthonormal dbr:Vector_norm dbr:Symmetric_matrix dbr:Semi-minor_axis dbr:Eigendecomposition_of_a_matrix dbr:Eigenvalue_algorithm dbr:Eigenvector dbr:Eigenvectors dbr:Ellipse dbr:Ellipsoid dbr:Empirical_orthogonal_functions dbr:Endomorphism dbr:Engineering dbr:Function_composition dbr:GNU_Scientific_Library dbr:Gale_J._Young dbr:Gene_H._Golub dbr:Givens_rotation dbr:Bounded_operator dbr:Correspondence_analysis dbr:Orthogonal_Procrustes_problem dbr:Orthogonal_basis dbr:Recommender_systems dbr:Linear_algebra dbr:Magnus_Hestenes dbr:Signal_processing dbr:Statistics dbr:Compact_operator_on_Hilbert_space dbr:Complete_set_of_invariants dbr:Émile_Picard dbr:Householder_transformation dbr:Identity_matrix dbr:Orthonormal_basis dbr:Frobenius_norm dbr:Moore–Penrose_inverse dbr:Pattern_recognition dbr:Total_least_squares dbr:Linear_least_squares_(mathematics) dbc:Matrix_theory dbr:Transformation_(geometry) dbr:Wahba's_problem dbr:Wavelet_compression dbr:William_Kahan dbr:Divide-and-conquer_eigenvalue_algorithm dbr:Gabor_filter dbr:Column_space dbr:HOSVD-based_canonical_form_of_TP_functions_and_qLPV_models dbr:K-SVD dbr:Lanczos_algorithm dbr:Latent_semantic_analysis dbr:Least_squares dbr:Locality-sensitive_hashing dbr:Singular_value dbr:Square_matrix dbc:Linear_algebra dbr:Erhard_Schmidt dbr:Euclidean_space dbr:Eugenio_Beltrami dbr:Extreme_value_theorem dbr:Fourier_analysis dbr:Non-linear_iterative_partial_least_squares dbr:Normal_matrix dbr:Outbreak dbr:Dimensionality_reduction dbr:Disease_surveillance dbr:Hilbert–Schmidt_operator dbr:Iterative_method dbr:Kabsch_algorithm dbr:Principal_component_analysis dbr:Process_control dbr:List_of_Fourier-related_transforms dbr:Matrix_decomposition dbr:Machine_epsilon dbr:Principal_axis_theorem dbr:QR_algorithm dbr:QR_decomposition dbr:HOSVD dbr:Hermitian_matrix dbr:James_Joseph_Sylvester dbc:Numerical_linear_algebra dbc:Functional_analysis dbr:Kernel_(linear_algebra) dbr:Kernel_(matrix) dbr:LAPACK dbr:Lagrange_multipliers dbr:Bidiagonal_matrix dbr:Big_O_notation dbr:Big_data dbc:Matrix_decompositions dbc:Singular_value_decomposition dbr:Cokernel dbr:Higher-order_singular_value_decomposition dbr:Homogeneous_linear_equation dbr:Tensor_product_model_transformation dbr:Tikhonov_regularization dbr:Trace_class dbr:Tucker_decomposition dbr:Diagonalizable_matrix dbr:Differential_geometry dbr:Digital_signal_processing dbr:Borel_functional_calculus dbr:Polar_decomposition dbr:Positive-definite_matrix dbr:Spectral_theorem dbr:Rounding_error dbr:Ky_Fan dbr:Orthogonal_matrix dbr:Canonical_correlation dbr:Canonical_form dbr:Real_number dbr:Self-adjoint_operator dbr:Multilinear_principal_component_analysis dbr:Smith_normal_form dbr:Spike-triggered_average dbr:Scaling_(geometry) dbr:Shape_analysis_(digital_geometry) dbr:Unitary_matrix dbr:Schatten_norm dbr:Tensor_rank_decomposition dbr:Diagonalizable dbr:Image_processing dbr:Latent_semantic_indexing dbr:Linear_transformation dbr:Outer_product dbr:Finite-rank_operator dbr:Quantum_information dbr:Multilinear_subspace_learning dbr:Multiplication_operator dbr:TP_model_transformation_in_control_theory dbr:Moore–Penrose_pseudoinverse dbr:Rank–nullity_theorem dbr:Two-dimensional_singular-value_decomposition dbr:Von_Neumann's_trace_inequality dbr:LQ_decomposition dbr:Basis_vectors dbr:Scalar_product dbr:Scaling_matrix dbr:Householder_reflection dbr:Orthonormal_vectors dbr:Rotation_(geometry) dbr:Radial_basis_functions dbr:Eigendecomposition dbr:Eigenvalue_decomposition dbr:Eigenvalues dbr:Range_of_a_matrix dbr:Rank_of_a_matrix dbr:Rectangular_diagonal_matrix dbr:Reflection_(geometry) dbr:Singular_values dbr:Null_space dbr:Mode-k_multiplication dbr:Mode_shape dbr:Unitary_transform dbr:File:Reduced_Singular_Value_Decompositions.svg dbr:File:Singular-Value-Decomposition.svg dbr:File:Singular_value_decomposition.gif dbr:File:Singular_value_decomposition_visualisation.svg dbr:Jacobi_orthogonalization |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:!! dbt:' dbt:Anchor dbt:Citation dbt:Citation_needed dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Clarify dbt:Cn dbt:Columns-list dbt:Font dbt:Harv dbt:Harvtxt dbt:Main dbt:Math dbt:Mvar dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Sub dbt:Use_dmy_dates dbt:Harvnb dbt:Ubli dbt:Functional_Analysis dbt:SpectralTheory dbt:Numerical_linear_algebra |
| dct:subject | dbc:Matrix_theory dbc:Linear_algebra dbc:Numerical_linear_algebra dbc:Functional_analysis dbc:Matrix_decompositions dbc:Singular_value_decomposition |
| rdf:type | yago:WikicatBilinearForms yago:WikicatMatrices yago:WikicatMatrixDecompositions yago:Abstraction100002137 yago:Algebra106012726 yago:Arrangement107938773 yago:Array107939382 yago:Cognition100023271 yago:Content105809192 yago:Decomposition106013471 yago:Discipline105996646 yago:Form106290637 yago:Group100031264 yago:KnowledgeDomain105999266 yago:LanguageUnit106284225 yago:Mathematics106000644 yago:Matrix108267640 yago:Part113809207 yago:PsychologicalFeature100023100 yago:PureMathematics106003682 yago:Relation100031921 yago:Word106286395 yago:Science105999797 yago:VectorAlgebra106013298 |
| rdfs:comment | Eine Singulärwertzerlegung (engl. Singular Value Decomposition; abgekürzt SWZ oder SVD) einer Matrix bezeichnet deren Darstellung als Produkt dreier spezieller Matrizen. Daraus kann man die Singulärwerte der Matrix ablesen. Diese charakterisieren, ähnlich den Eigenwerten, Eigenschaften der Matrix. Singulärwertzerlegungen existieren für jede Matrix – auch für nichtquadratische Matrizen. (de) En álgebra lineal, la descomposición en valores singulares (o DVS) de una matriz real o compleja es una factorización de la misma con muchas aplicaciones en estadística y otras disciplinas. (es) 특잇값 분해(Singular Value Decomposition, SVD)는 행렬을 특정한 구조로 분해하는 방식으로, 신호 처리와 통계학 등의 분야에서 자주 사용된다. 특잇값 분해는 행렬의 을 임의의 직사각행렬에 대해 일반화한 것으로 볼 수 있다. 스펙트럼 이론을 이용하면 직교 정사각행렬을 고윳값을 기저로 하여 대각행렬로 분해할 수 있다. (ko) 特異値分解（とくいちぶんかい、英: singular value decomposition; SVD）とは線形代数学における複素数あるいは実数を成分とする行列に対する行列分解の一手法であり、Autonneによって導入された。悪条件方程式の数値解法で重宝するほか、信号処理や統計学の分野で用いられる。特異値分解は、行列に対するスペクトル定理の一般化とも考えられ、正方行列に限らず任意の形の行列を分解できる。 (ja) Rozkład według wartości osobliwych (rozkład według wartości szczególnych, dekompozycja głównych składowych, dekompozycja na wartości singularne, dekompozycja SVD, rozkład SVD, algorytm SVD (SVD – z ang. Singular Value Decomposition)) – pewien rozkład macierzy (dekompozycja) na iloczyn trzech specyficznych macierzy. Jest to metoda matematyczna stosowana m.in. w analizie statystycznej służąca do redukcji wymiaru macierzy. Posiada wiele zastosowań np. przy przetwarzaniu obrazów i sygnałów, w robotyce i automatyce. (pl) De singulierewaardenontbinding (SWO; Engels: singular value decomposition, SVD) is een belangrijk begrip uit de lineaire algebra en numerieke wiskunde. De singuliere waarden beschrijven eigenschappen van een willekeurige matrix, analoog aan de eigenwaarden van een vierkante matrix. De SWO wordt onder meer gebruikt bij de studie van lineaire afbeeldingen, het bepalen van normen van matrices, het berekenen van de of pseudo-inverse van een willekeurige matrix en de kleinstekwadratenoplossing van een willekeurig stelsel van lineaire vergelijkingen. (nl) Inom linjär algebra är singulärvärdesuppdelning (SVD), ibland kallat singulärvärdesfaktorisering eller singulärvärdesdekomposition, en sorts matrisfaktorisering. Alla reella och komplexa matriser kan singulärvärdefaktoriseras. (sv) 奇异值分解（singular value decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或厄米矩陣基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。 (zh) تفريق القمية المنفردة في الجبر الخطي (SVD) هو عملية تفكيك مصفوفة حقيقية أو مركبة إلى عوامل، وتعتبر تعميم لتجزيء القيمة الذاتية لمصفوفة موجبة شبه معرفة (على سبيل المثال مصفوفة متماثلة ذات قيم ذاتية موجبة) إلى أي مصفوفة m*n من خلال تمديد التجزيء القطبي. تصف القيم المفردة خصائص معينة للمصفوفة كقيمها الذاتية ويمكن حسابها لجميع المصفوفات، حتى لو لم تكن مربعة. تفريق القيمة المنفردة SVD لمصفوفة حقيقية هو تجزيئها إلى عوامل ،حيث: هو مصفوفة وحدة m*m مصفوفة m*n مستطيلة قطرية ذات قيم غير سالبه وارقام قطرية حقيقية. مصفوفة وحدة n*n يمكن احتساب SVM من خلال الملاحظات التالية: (ar) En àlgebra lineal, la descomposició en valors singulars (DVS) és una descomposició de matrius d'una matriu real o complexa, amb gran nombre d'aplicacions en el processament de senyals i l'estadística. Formalment, la descomposició en valors singulars d'una matriu M real o complexa de dimensió m×n és una factorització de la forma La descomposició en valors singulars i la descomposició espectral estan íntimament lligades. De fet: (ca) Singulární rozklad (zkratkou SVD podle anglického názvu Singular Value Decomposition) matice je rozklad komplexní nebo reálné matice na maticový součin . Přitom je reálná nebo komplexní unitární matice o rozměrech , je reálná nebo komplexní unitární matice a je matice nulová až na případná nezáporná čísla na hlavní diagonále; čísla na její hlavní diagonále se označují jako singulární hodnoty matice . Hvězdička označuje , tedy transponovanou matici komplexně sdružených prvků. Požadujeme-li, jak je obvyklé, aby singulární hodnoty byly seřazeny sestupně, je matice určena jednoznačně, naopak matice a jednoznačné být nemusejí. Singulární rozklad vždy existuje a používá se k řadě teoretických i praktických účelů. Lze ho chápat také jako zobecnění Schurova rozkladu na matice obecného tva (cs) Στη γραμμική άλγεβρα , η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές είναι μία παραγοντοποίηση ενός πίνακα με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία, με πολλές χρήσιμες εφαρμογές στη θεωρία σημάτων και τη στατιστική. Η ανάλυση ενός m×n πίνακα M, με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία, σε ιδιάζουσες τιμές είναι μια παραγοντοποίηση της μορφής Η ανάλυση σε ιδιάζουσες τιμές και η είναι στενά συνδεδεμένες. Δηλαδή: (el) En lineara algebro, la singulara valora malkomponaĵo aŭ singulara valora dekomponaĵo (SVD) estas ( faktorigo) de reela aŭ kompleksa matrico. Singulara valoro malkomponaĵo povas esti de ankaŭ ne-kvadrata matrico. Estu M estas m×n matrico kies elementoj estas de kampo K, kiu estas la kampo de reelaj nombroj aŭ la kampo de kompleksaj nombroj. Tiam ekzistas faktorigo de formo M = UΣV* kie U estas m×m unita matrico super K; Σ estas m×n diagonala matrico kun nenegativaj reelaj nombroj sur la ĉefdiagonalo;V estas n×n unita matrico super K;V* estas konjugita transpono de V. (eo) En mathématiques, le procédé d'algèbre linéaire de décomposition en (ou SVD, de l'anglais singular value decomposition) d'une matrice est un outil important de factorisation des matrices rectangulaires réelles ou complexes. Ses applications s'étendent du traitement du signal aux statistiques, en passant par la météorologie. (fr) Dekomposisi nilai singular adalah suatu pemfaktoran matriks dengan mengurai suatu matriks ke dalam dua matriks uniter U dan V, dan sebuah matriks diagonal S yang berisi faktor skala yang disebut dengan nilai singular. Dekomposisi nilai singular dari matriks A dinyatakan sebagai Setiap nilai singular dalam S bersesuaian dengan suatu citra 2-dimensi yang dibangun oleh satu kolom dari U dan satu baris dari V. Citra hasil rekonstruksi adalah jumlah dari setiap citra parsial yang telah diubah skalanya menggunakan nilai singular yang bersesuaian dalam S. (in) In linear algebra, the singular value decomposition (SVD) is a factorization of a real or complex matrix. It generalizes the eigendecomposition of a square normal matrix with an orthonormal eigenbasis to any matrix. It is related to the polar decomposition. The SVD is not unique. It is always possible to choose the decomposition so that the singular values are in descending order. In this case, (but not U and V) is uniquely determined by M. (en) In algebra lineare, la decomposizione ai valori singolari, detta anche SVD (dall'acronimo inglese di singular value decomposition), è una particolare fattorizzazione di una matrice basata sull'uso di autovalori e autovettori. Data una matrice reale o complessa di dimensione , si tratta di una scrittura del tipo: dove è una matrice unitaria di dimensioni , è una matrice diagonale rettangolare di dimensioni e è la trasposta coniugata di una matrice unitaria di dimensioni . (it) Em álgebra linear, a decomposição em valores singulares ou singular value decomposition (SVD) é a fatoração de uma matriz real ou complexa, com diversas aplicações importantes em processamento de sinais e estatística. Formalmente, a decomposição em valores singulares de uma matriz m×n real ou complexa M é uma fatoração ou fatorização na forma: A decomposição em valores singulares e a decomposição em autovalores são intimamente relacionadas. Mais especificamente: (pt) Сингуля́рний ро́зклад ма́триці (сингулярне представлення матриці чи англ. singular-value decomposition, SVD) — один з важливих методів розкладу матриці з дійсними або комплексними числами. Є узагальненням власного розкладу матриці невід'ємно визначеної нормальної матриці (наприклад, симетричної матриці з додатними власними значеннями) на матрицю розміру як узагальнення полярного розкладу. Сингулярний розклад матриці можна обчислити за допомогою наступних спостережень: (uk) Сингуля́рное разложе́ние — определённого типа разложение прямоугольной матрицы, имеющее широкое применение, в силу своей наглядной геометрической интерпретации, при решении многих прикладных задач.Переформулировка сингулярного разложения, так называемое разложение Шмидта, имеет приложения в квантовой теории информации, например, в запутанности. Сингулярное разложение матрицы позволяет вычислять сингулярные числа данной матрицы, а также левые и правые сингулярные векторы матрицы : Где — эрмитово-сопряжённая матрица к матрице , для вещественной матрицы . (ru) |
| rdfs:label | Singular value decomposition (en) تفريق القيمة المنفردة (ar) مجزئ القيمة المفردة (ar) Descomposició en valors singulars (ca) Singulární rozklad (cs) Singulärwertzerlegung (de) Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές (el) Singulara valora malkomponaĵo (eo) Descomposición en valores singulares (es) Penguraian nilai singular (in) Décomposition en valeurs singulières (fr) Decomposizione ai valori singolari (it) 特異値分解 (ja) 특잇값 분해 (ko) Rozkład według wartości osobliwych (pl) Singulierewaardenontbinding (nl) Decomposição em valores singulares (pt) Singulärvärdesuppdelning (sv) Сингулярное разложение (ru) Сингулярний розклад матриці (uk) 奇异值分解 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Singular value decomposition yago-res:Singular value decomposition wikidata:Singular value decomposition wikidata:Singular value decomposition dbpedia-ar:Singular value decomposition dbpedia-ar:Singular value decomposition dbpedia-bg:Singular value decomposition dbpedia-ca:Singular value decomposition dbpedia-cs:Singular value decomposition dbpedia-de:Singular value decomposition dbpedia-el:Singular value decomposition dbpedia-eo:Singular value decomposition dbpedia-es:Singular value decomposition dbpedia-fa:Singular value decomposition dbpedia-fi:Singular value decomposition dbpedia-fr:Singular value decomposition dbpedia-he:Singular value decomposition dbpedia-id:Singular value decomposition dbpedia-it:Singular value decomposition dbpedia-ja:Singular value decomposition dbpedia-ko:Singular value decomposition dbpedia-nl:Singular value decomposition dbpedia-pl:Singular value decomposition dbpedia-pt:Singular value decomposition dbpedia-ru:Singular value decomposition dbpedia-simple:Singular value decomposition dbpedia-sv:Singular value decomposition dbpedia-uk:Singular value decomposition dbpedia-zh:Singular value decomposition https://global.dbpedia.org/id/2ffdq |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Singular_value_decomposition?oldid=1120614784&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Reduced_Singular_Value_Decompositions.svg wiki-commons:Special:FilePath/Singular-Value-Decomposition.svg wiki-commons:Special:FilePath/Singular_value_decomposition.gif wiki-commons:Special:FilePath/Singular_value_decomposition_visualisation.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Singular_value_decomposition |
| is dbo:knownFor of | dbr:Carl_Eckart dbr:Ky_Fan |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:SVD |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:SVD_(mathematics) dbr:SV_decomposition dbr:Eckard-Young_theorem dbr:Tensor_SVD dbr:Ky_Fan_norm dbr:Singular-value_decomposition dbr:Singular_Value_Decomposition dbr:Matrix_approximation dbr:Eckard–Young_theorem dbr:Eckart-Young_theorem dbr:Eckart–Young_theorem dbr:Singular-Value_Decomposition dbr:Truncated_singular_value_decomposition |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Carl_Eckart dbr:Carrot2 dbr:Programming_with_Big_Data_in_R dbr:Row_and_column_spaces dbr:Schmidt_decomposition dbr:Ensemble_forecasting dbr:Nearest_neighbor_search dbr:Non-linear_least_squares dbr:Numerical_linear_algebra dbr:Numerical_weather_prediction dbr:Precoding dbr:Probabilistic_latent_semantic_analysis dbr:SVD_(mathematics) dbr:SV_decomposition dbr:Determinant dbr:Perspective-n-Point dbr:Curse_of_dimensionality dbr:Vector_field_reconstruction dbr:EISPACK dbr:Independent_component_analysis dbr:Inverse_kinematics dbr:List_of_numerical_analysis_topics dbr:Numerical_methods_for_linear_least_squares dbr:Anderson_acceleration dbr:Math.NET_Numerics dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Matrix_norm dbr:SLEPc dbr:Ervand_Kogbetliantz dbr:Essential_matrix dbr:Estimation_of_signal_parameters_via_rotational_invariance_techniques dbr:Generalized_pencil-of-function_method dbr:Generalized_singular_value_decomposition dbr:Genetic_code dbr:Low-rank_approximation dbr:Open_Mind_Common_Sense dbr:Multivariate_analysis_of_covariance dbr:Operator_theory dbr:Quaternion_estimator_algorithm dbr:Eigendecomposition_of_a_matrix dbr:Ellipsoid dbr:Gene_H._Golub dbr:Concept_search dbr:Confidence_region dbr:Correspondence_analysis dbr:Laguerre_transformations dbr:Orthogonal_Procrustes_problem dbr:Orthogonalization dbr:Apache_Spark dbr:Life_expectancy dbr:Maamar_Bettayeb dbr:Compact_operator dbr:Comparison_of_linear_algebra_libraries dbr:Computational_complexity_of_mathematical_operations dbr:Feature_learning dbr:Kernel-phase dbr:Moore–Penrose_inverse dbr:Partial_least_squares_regression dbr:Principal_component_regression dbr:Proper_orthogonal_decomposition dbr:Template_Numerical_Toolkit dbr:Total_least_squares dbr:Matrix_completion dbr:Matrix_factorization_(recommender_systems) dbr:Matthew_Brand dbr:CORDIC dbr:Wahba's_problem dbr:Distributional_semantics dbr:Dual_norm dbr:K-SVD dbr:Landweber_iteration dbr:Latent_semantic_analysis dbr:Latent_semantic_structure_indexing dbr:Linear_predictor_function dbr:Locality-sensitive_hashing dbr:Schur_decomposition dbr:Singular_spectrum_analysis dbr:Singular_value dbr:Dynamic_mode_decomposition dbr:Eckard-Young_theorem dbr:Euclidean_distance_matrix dbr:Eugenio_Beltrami dbr:Filmweb dbr:Angles_between_flats dbr:Normal_matrix dbr:Numerical_analysis dbr:Diagonal_matrix dbr:Dimensionality_reduction dbr:Direct_linear_transformation dbr:Gram_matrix dbr:Hankel_matrix dbr:Hilbert_spectrum dbr:History_of_numerical_weather_prediction dbr:Kabsch_algorithm dbr:Lee–Carter_model dbr:Principal_component_analysis dbr:Principal_axis_theorem dbr:Projection_(linear_algebra) dbr:QR_algorithm dbr:QR_decomposition dbr:Random_phase_approximation dbr:Rank_(linear_algebra) dbr:Rayleigh–Ritz_method dbr:Regularization_(mathematics) dbr:Robust_principal_component_analysis dbr:Atmospheric_sounding dbr:Attitude_control dbr:Invertible_matrix dbr:JAMA_(numerical_linear_algebra_library) dbr:Joel_Tropp dbr:LAPACK dbr:Biclustering dbr:Bidiagonal_matrix dbr:Bidiagonalization dbr:Biplot dbr:Block_matrix_pseudoinverse dbr:Symplectic_matrix dbr:Collaborative_filtering dbr:Eigenface dbr:Eigensystem_realization_algorithm dbr:Eight-point_algorithm dbr:Higher-order_singular_value_decomposition dbr:Triangulation_(computer_vision) dbr:Woodbury_matrix_identity dbr:Rank_factorization dbr:Surprisal_analysis dbr:Regularization_by_spectral_filtering dbr:DnAnalytics dbr:Autoencoder dbr:CUR_matrix_approximation dbr:Point-set_registration dbr:Polar_decomposition dbr:Polynomial_greatest_common_divisor dbr:Spectral_theorem dbr:Fidelity_of_quantum_states dbr:Frequency_domain_decomposition dbr:Tensor_SVD dbr:Kronecker_product dbr:Ky_Fan dbr:OjAlgo dbr:Optical_aberration dbr:Orthogonal_matrix dbr:Canonical_correlation dbr:Canonical_form dbr:Cartan_decomposition dbr:Christian_Reinsch dbr:Tissot's_indicatrix dbr:MIMO dbr:Model_order_reduction dbr:SVD dbr:Smith_normal_form dbr:Spectral_density_estimation dbr:Vector_space_model dbr:RRQR_factorization dbr:Tensor_rank_decomposition dbr:List_of_systems_scientists dbr:Unsupervised_learning dbr:Pseudo-determinant dbr:Finite-rank_operator dbr:Manipulability_ellipsoid dbr:Procrustes_analysis dbr:MovieLens dbr:Multiscale_geometric_analysis dbr:Multivariate_analysis_of_variance dbr:Procrustes_transformation dbr:Phylogenetic_invariants dbr:Signal_separation dbr:Video_super-resolution dbr:Nonlinear_dimensionality_reduction dbr:Outline_of_linear_algebra dbr:Time-evolving_block_decimation dbr:System_of_linear_equations dbr:Topic_model dbr:Sparse_dictionary_learning dbr:Ky_Fan_norm dbr:Singular-value_decomposition dbr:Singular_Value_Decomposition dbr:Matrix_approximation dbr:Eckard–Young_theorem dbr:Eckart-Young_theorem dbr:Eckart–Young_theorem dbr:Singular-Value_Decomposition dbr:Truncated_singular_value_decomposition |
| is dbp:knownFor of | dbr:Carl_Eckart dbr:Ky_Fan |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Singular_value_decomposition |
