Homothety (original) (raw)
Una homotècia és una transformació geomètrica del pla o de l'espai en la qual es compleixen dues condicions: cada punt i la seva imatge estan alineats amb un punt fix O anomenat centre d'homotècia i s'estableix una relació constant λ entre els segments que uneixen el centre d'homotècia amb cada punt i la seva imatge. En una homotècia hi ha una relació de semblança entre l'objecte original i el transformat. L'homotècia de centre en el punt O i raó λ queda definida per la fórmula: hO,λ(X) = O + λ(X - O).
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| dbo:abstract | Una homotècia és una transformació geomètrica del pla o de l'espai en la qual es compleixen dues condicions: cada punt i la seva imatge estan alineats amb un punt fix O anomenat centre d'homotècia i s'estableix una relació constant λ entre els segments que uneixen el centre d'homotècia amb cada punt i la seva imatge. En una homotècia hi ha una relació de semblança entre l'objecte original i el transformat. L'homotècia de centre en el punt O i raó λ queda definida per la fórmula: hO,λ(X) = O + λ(X - O). (ca) Stejnolehlost je homotetie, která má jediný samodružný bod, střed stejnolehlosti. Všechny přímky spojující vzory a jejich obrazy se protínají v jediném bodě - středu stejnolehlosti. Kromě něj je určena reálným číslem různým od nuly a jedné, tzv. koeficientem stejnolehlosti. Je-li S střed stejnolehlosti a λ její koeficient, pak pro každý vzor X a jeho obraz X´ platí: . (cs) التحاكي (بالإنجليزية: Homothetic transformation) هو عملية نقل رياضي لفضاء ما، بحيث ينقل كل خط إلى خط مواز. كل توسع يشكل زمر في الفضاء الاقليدي أو الفضاء التآلفي. من أشهر الأمثلة للتوسع هي الانزلاق، والدالة المتطابقة. في الهندسة الأقليدية، نسبة التكبير هي قيمة مفردة c والتي تستعمل لحساب نسبة التوسع من خلال ضرب كل قيمة بها. وتسمى أيضا: معامل التوسيع أو نسبة الشبه. ويمكن تسمية عملية النقل هذه . وبشكل أعم، فيمكن ل c أن تكون سالبة، وفي هذه الحالة، تضرب كل المقادير بـ كما تقوم بعكس كل النقاط بالنسبة لنقطة ثابتة. لشرح المبدأ بمعادلة، فافترض وجود مركز أو مصدر c وعدد حقيقي (ممكن أن يكون سالبا). فإن التحاكي تنقل كل نقطة M إلى نقطة أخرى بحيث: التحاكي هو عملية نقل تآلفي وبنفس الوقت هي عملية نقل تشابه حيث تضاعف كل المسافات بـ وكل المساحات بـ . أما إذا كانت نقطة المصدر هي نفسها نقطة المركز، فتعد كنقل خطي. (ar) Eine zentrische Streckung ist in der Geometrie eine Abbildung, die alle Strecken in einem bestimmten, gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert, wobei die Bildstrecken jeweils zu den ursprünglichen Strecken parallel sind. Zentrische Streckungen sind spezielle Ähnlichkeitsabbildungen, in der synthetischen Geometrie nennt man sie auch Homothetien. (de) Ομοιοθεσία είναι ο γεωμετρικός στον οποίον υπάρχει ένα χαρακτηριστικό σημείο που λέγεται κέντρο της ομοιοθεσίας και ένας χαρακτηριστικός πραγματικός αριθμός που λέγεται λόγος της ομοιοθεσίας. Κάθε διάνυσμα που ορίζεται με αρχή το κέντρο και πέρας ένα τελικό σημείο ισούται με το βαθμωτό γινόμενο του λόγου με το διάνυσμα με αρχή το κέντρο και πέρας το αντίστοιχο αρχικό σημείο. Πρακτικά η ομοιοθεσία είναι μεγέθυνση με ακίνητο το κέντρο αν ο λόγος είναι μεγαλύτερος του ένα, σμίκρυνση αν ο λόγος είναι θετικός μικρότερος του 1. Αν ο λόγος είναι αρνητικός, τότε το αποτέλεσμα είναι περιστροφή 180° γύρω από το κέντρο, και έπειτα μεγέθυνση ή σμίκρυνση όπως παραπάνω. (el) Homotetio (el grekia lingvo: homotetia) kun centro r kaj kun nenula skalo k estas geometria bildigo kiu estas difinata: En specifa situacio: nombro k nomiĝas ankaŭ homotetia koeficiento. Du figuroj Fa kaj Fb estas homotetia, tiam ekzistas homotetio H kun punkto r kaj nenula skalo k, ke transformas figuro Fa al figuro Fb. (eo) In mathematics, a homothety (or homothecy, or homogeneous dilation) is a transformation of an affine space determined by a point S called its center and a nonzero number k called its ratio, which sends point to a point by the rule for a fixed number . Using position vectors: . In case of (Origin): , which is a uniform scaling and shows the meaning of special choices for : for one gets the identity mapping,for one gets the reflection at the center, For one gets the inverse mapping defined by . In Euclidean geometry homotheties are the similarities that fix a point and either preserve (if ) or reverse (if ) the direction of all vectors. Together with the translations, all homotheties of an affine (or Euclidean) space form a group, the group of dilations or homothety-translations. These are precisely the affine transformations with the property that the image of every line g is a line parallel to g. In projective geometry, a homothetic transformation is a similarity transformation (i.e., fixes a given elliptic involution) that leaves the line at infinity pointwise invariant. In Euclidean geometry, a homothety of ratio multiplies distances between points by , areas by and volumes by . Here is the ratio of magnification or dilation factor or scale factor or similitude ratio. Such a transformation can be called an enlargement if the scale factor exceeds 1. The above-mentioned fixed point S is called homothetic center or center of similarity or center of similitude. The term, coined by French mathematician Michel Chasles, is derived from two Greek elements: the prefix homo- (όμο), meaning "similar", and thesis (Θέσις), meaning "position". It describes the relationship between two figures of the same shape and orientation. For example, two Russian dolls looking in the same direction can be considered homothetic. Homotheties are used to scale the contents of computer screens; for example, smartphones, notebooks, and laptops. (en) Homotezia planoaren edo espazioaren eraldaketa geometrikoa da, non bi baldintza betetzen diren: puntu bakoitza eta bere irudia homotezia-zentroa deituriko O puntu finko batekin lerrokatzen dira, eta λ erlazio konstantea ezartzen da homotezia-zentroa puntu bakoitzarekin eta bere irudiarekin lotzen duten segmentuen artean. Homotezian jatorrizko objektuaren eta eraldatuaren arteko antzekotasun erlazioa dago. O puntuan zentroa eta λ arrazoia dituen homotezia formula honekin definitzen da: h O, λ (X) = O + λ (X - O). (eu) Una homotecia es una transformación geométrica que puede entenderse como un caso particular de homología, con eje impropio y centro el de la propia homología. (es) Une homothétie est une transformation géométrique par agrandissement ou réduction ; autrement dit, une reproduction avec . Elle se caractérise par son centre, point invariant, et un rapport qui est un nombre réel. Par l'homothétie de centre O et de rapport k, le point M est transformé en un point N tel que En d'autres termes, l'homothétie laisse O fixe et envoie le point M sur un point N situé sur la droite (OM) par un agrandissement ou une réduction de rapport k.Par exemple, deux poupées russes regardant dans la même direction peuvent être vues comme homothétiques. Les homothéties de rapport non nul sont des cas particuliers de similitudes : elles multiplient les distances par la valeur absolue de leur rapport et préservent les angles. Introduite en géométrie classique, la notion d'homothétie se généralise aux cadres des espaces vectoriels ou des espaces affines. L'ensemble des homothéties vectorielles de rapport non nul, muni de la composition, forme un groupe appelé groupe des homothéties, et l'ensemble des homothéties affines de rapport non nul et des translations muni de la composition forme également un groupe, appelé groupe des homothéties-translations. Le terme d’homothétie, dû au mathématicien français Michel Chasles, est composé de deux éléments d'origine grecque : le préfixe homo- (ὁμός), « semblable », et thesis (θέσις), « position ». Il traduit la correspondance entre deux figures de même forme et de même orientation. (fr) Dalam geometri, khususnya transformasi geometri, dilatasi adalah suatu objek dua dimensi yang memperbesar atau memperkecil ukuran tanpa harus mengubah bentuk objek. Setiap objek sebelum dan sesudah dilatasi akan serupa dengan satu sama lain. Misalnya, sebuah persegi dengan panjang sisinya adalah 3 satuan. Persegi tersebut dapat didilatasi menjadi 9 satuan, tetapi bentuk persegi tidak berubah. Contoh lainnya dapat dilihat pada gambar di samping. adalah segilima. Untuk dilasi , maka diperoleh ukuran yang lebih besar dari , yaitu . (in) 아핀 기하학에서 중심 닮음 변환(中心-變換, 영어: homothety 호모세티[*])은 주어진 점에 대한 방향을 보존하거나 반전시키되 이 점과의 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 함수이다. 이는 유클리드 공간 위에서만 유효한 정의이나, 임의의 아핀 공간 위에까지 확장될 수 있다. 주어진 아핀 공간 위의 중심 닮음 변환과 평행 이동은 함수의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이는 모든 직선을 이에 평행하는 직선으로 대응시키는 전단사 함수들의 군과 같다. (ko) In de euclidische meetkunde is een homothetie, van het Oudgriekse ὃμος, hómos, gelijk en τίθημι, tithèmi, plaatsen, of vermenigvuldiging een afbeelding die vanuit een vast punt, het centrum van de vermenigvuldiging, alle afstanden in een vaste verhouding verandert. Die verhouding mag zowel positief als negatief zijn. Het origineel en het beeld, ook wel produktfiguur, heten gelijkstandige figuren. Gelijkstandige figuren zijn gelijkvormig. De definitie van verschalen is ruimer dan die van het uitvoeren van een homothetie. Een homothetie beeldt bijvoorbeeld elke rechte lijn af op een daarmee evenwijdige rechte lijn. Gelijkvormige figuren, die ten opzichte van elkaar iets geroteerd liggen, kunnen niet met een homothetie in elkaar worden overgevoerd. (nl) In matematica, in particolare in geometria, un'omotetia (composto dai termini greci omos, "simile" e tìthemi, "pongo") è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae gli oggetti, mantenendo invariati gli angoli ossia la forma (nel senso intuitivo del termine). L'uso di tale termine è relativamente nuovo, figurando la prima volta con Michel Chasles nel 1827. (it) Jednokładność, homotetia (gr. ὁμοίως + θέσεις = pokrewieństwo) o środku i niezerowej skali – odwzorowanie geometryczne prostej, płaszczyzny lub przestrzeni, określone następująco: Z definicji w szczególności wynika, że: Liczba nazywana jest także stosunkiem jednokładności. Dla jednokładność jest odwzorowaniem tożsamościowym, dla jednokładność jest symetrią środkową o środku Każda jednokładność jest podobieństwem o skali Dwie figury i są jednokładne, gdy istnieje punkt i niezerowa skala takie, że jednokładność przekształca figurę na figurę Ważną własnością jednokładności jest to, że dowolne podobieństwo na płaszczyźnie, w przestrzeni itd. jest złożeniem pewnej izometrii i pewnej jednokładności. Zbiór jednokładności o wspólnym środku jest grupą, przy tym * złożenie jednokładności jest jednokładnością * jednokładnością odwrotną do jest * jednością grupy jest tożsamość W przypadku złożenia dwóch jednokładności o dowolnych środkach zachodzą dwie możliwości: * jeśli to jest translacją tzn. translacją o wektor * jeśli to jest jednokładnością Ponadto dla jednokładności i translacji o wektor zachodzi: * złożenie jest jednokładnością * złożenie jest jednokładnością Oznacza to, że zbiór jednokładności wraz ze zbiorem translacji tworzy grupę przekształceń geometrycznych. Jest ona izomorficzna z grupą dylatacji. (pl) Гомоте́тия (от др.-греч. ὁμός «одинаковый» + θετος «расположенный») — преобразование плоскости (или 3-мерного пространства), заданное центром O и коэффициентом , переводящее каждую точку в точку такую, что . При этом центр остаётся на месте. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через . (ru) Homotetia é a ampliação ou a redução de distâncias e áreas a partir de um ponto fixo. Na homotetia as proporções são preservadas. Uma homotetia é definida pelo seu centro O e pela razão k de homotetia e é a aplicação afim tal que a cada ponto P faz corresponder o ponto P' tal que: O termo é devido ao matemático francês Michel Chasles, em 1827, derivado do grego como composto de homo (similar) e tetia (posição). Uma homotetia preserva: * os ângulos, * as razões entre os segmentos de reta e * o paralelismo. (pt) Гомоте́тія — перетворення, за якого кожній точці площини (простору) ставиться відповідно інша точка (образ даної), що лежить на прямій, яка з'єднує дану точку з якоюсь фіксованою точкою (центром). Гомотетією з центром і коефіцієнтом називають (або простору), що переводить точку X в точку X' таким чином, що . Гомотетію з центром О і коефіцієнтом k часто позначають через . Засновником гомотетії є Джон Френк Адамс. (uk) 在数学中，位似变换是仿射空间上的一种变换，由一点S和一个非零常数λ决定。S称为位似中心，而λ称为位似比。位似变换的作用是 也就是说，令S点不变，把任意点M映射到N，使得向量SN和向量SM在一条直线上，而比例为λ。在欧氏几何中，位似变换就是固定一点的相似变换，当时保持所有向量方向，而当时逆转所有向量方向。仿射空间上的所有的位似变换与平移变换一起，构成一个群，称为伸缩群或者位似-平移群。这个群是由所有把任意直线变为与其平行的直线的仿射变换构成的。 (zh) |
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(cs) Eine zentrische Streckung ist in der Geometrie eine Abbildung, die alle Strecken in einem bestimmten, gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert, wobei die Bildstrecken jeweils zu den ursprünglichen Strecken parallel sind. Zentrische Streckungen sind spezielle Ähnlichkeitsabbildungen, in der synthetischen Geometrie nennt man sie auch Homothetien. (de) Ομοιοθεσία είναι ο γεωμετρικός στον οποίον υπάρχει ένα χαρακτηριστικό σημείο που λέγεται κέντρο της ομοιοθεσίας και ένας χαρακτηριστικός πραγματικός αριθμός που λέγεται λόγος της ομοιοθεσίας. Κάθε διάνυσμα που ορίζεται με αρχή το κέντρο και πέρας ένα τελικό σημείο ισούται με το βαθμωτό γινόμενο του λόγου με το διάνυσμα με αρχή το κέντρο και πέρας το αντίστοιχο αρχικό σημείο. Πρακτικά η ομοιοθεσία είναι μεγέθυνση με ακίνητο το κέντρο αν ο λόγος είναι μεγαλύτερος του ένα, σμίκρυνση αν ο λόγος είναι θετικός μικρότερος του 1. Αν ο λόγος είναι αρνητικός, τότε το αποτέλεσμα είναι περιστροφή 180° γύρω από το κέντρο, και έπειτα μεγέθυνση ή σμίκρυνση όπως παραπάνω. (el) Homotetio (el grekia lingvo: homotetia) kun centro r kaj kun nenula skalo k estas geometria bildigo kiu estas difinata: En specifa situacio: nombro k nomiĝas ankaŭ homotetia koeficiento. Du figuroj Fa kaj Fb estas homotetia, tiam ekzistas homotetio H kun punkto r kaj nenula skalo k, ke transformas figuro Fa al figuro Fb. (eo) Homotezia planoaren edo espazioaren eraldaketa geometrikoa da, non bi baldintza betetzen diren: puntu bakoitza eta bere irudia homotezia-zentroa deituriko O puntu finko batekin lerrokatzen dira, eta λ erlazio konstantea ezartzen da homotezia-zentroa puntu bakoitzarekin eta bere irudiarekin lotzen duten segmentuen artean. Homotezian jatorrizko objektuaren eta eraldatuaren arteko antzekotasun erlazioa dago. O puntuan zentroa eta λ arrazoia dituen homotezia formula honekin definitzen da: h O, λ (X) = O + λ (X - O). (eu) Una homotecia es una transformación geométrica que puede entenderse como un caso particular de homología, con eje impropio y centro el de la propia homología. (es) Dalam geometri, khususnya transformasi geometri, dilatasi adalah suatu objek dua dimensi yang memperbesar atau memperkecil ukuran tanpa harus mengubah bentuk objek. Setiap objek sebelum dan sesudah dilatasi akan serupa dengan satu sama lain. Misalnya, sebuah persegi dengan panjang sisinya adalah 3 satuan. Persegi tersebut dapat didilatasi menjadi 9 satuan, tetapi bentuk persegi tidak berubah. Contoh lainnya dapat dilihat pada gambar di samping. adalah segilima. Untuk dilasi , maka diperoleh ukuran yang lebih besar dari , yaitu . (in) 아핀 기하학에서 중심 닮음 변환(中心-變換, 영어: homothety 호모세티[*])은 주어진 점에 대한 방향을 보존하거나 반전시키되 이 점과의 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 함수이다. 이는 유클리드 공간 위에서만 유효한 정의이나, 임의의 아핀 공간 위에까지 확장될 수 있다. 주어진 아핀 공간 위의 중심 닮음 변환과 평행 이동은 함수의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이는 모든 직선을 이에 평행하는 직선으로 대응시키는 전단사 함수들의 군과 같다. (ko) In matematica, in particolare in geometria, un'omotetia (composto dai termini greci omos, "simile" e tìthemi, "pongo") è una particolare trasformazione geometrica del piano o dello spazio, che dilata o contrae gli oggetti, mantenendo invariati gli angoli ossia la forma (nel senso intuitivo del termine). L'uso di tale termine è relativamente nuovo, figurando la prima volta con Michel Chasles nel 1827. (it) Гомоте́тия (от др.-греч. ὁμός «одинаковый» + θετος «расположенный») — преобразование плоскости (или 3-мерного пространства), заданное центром O и коэффициентом , переводящее каждую точку в точку такую, что . При этом центр остаётся на месте. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через . (ru) Homotetia é a ampliação ou a redução de distâncias e áreas a partir de um ponto fixo. Na homotetia as proporções são preservadas. Uma homotetia é definida pelo seu centro O e pela razão k de homotetia e é a aplicação afim tal que a cada ponto P faz corresponder o ponto P' tal que: O termo é devido ao matemático francês Michel Chasles, em 1827, derivado do grego como composto de homo (similar) e tetia (posição). Uma homotetia preserva: * os ângulos, * as razões entre os segmentos de reta e * o paralelismo. (pt) Гомоте́тія — перетворення, за якого кожній точці площини (простору) ставиться відповідно інша точка (образ даної), що лежить на прямій, яка з'єднує дану точку з якоюсь фіксованою точкою (центром). Гомотетією з центром і коефіцієнтом називають (або простору), що переводить точку X в точку X' таким чином, що . Гомотетію з центром О і коефіцієнтом k часто позначають через . Засновником гомотетії є Джон Френк Адамс. (uk) 在数学中，位似变换是仿射空间上的一种变换，由一点S和一个非零常数λ决定。S称为位似中心，而λ称为位似比。位似变换的作用是 也就是说，令S点不变，把任意点M映射到N，使得向量SN和向量SM在一条直线上，而比例为λ。在欧氏几何中，位似变换就是固定一点的相似变换，当时保持所有向量方向，而当时逆转所有向量方向。仿射空间上的所有的位似变换与平移变换一起，构成一个群，称为伸缩群或者位似-平移群。这个群是由所有把任意直线变为与其平行的直线的仿射变换构成的。 (zh) التحاكي (بالإنجليزية: Homothetic transformation) هو عملية نقل رياضي لفضاء ما، بحيث ينقل كل خط إلى خط مواز. كل توسع يشكل زمر في الفضاء الاقليدي أو الفضاء التآلفي. من أشهر الأمثلة للتوسع هي الانزلاق، والدالة المتطابقة. في الهندسة الأقليدية، نسبة التكبير هي قيمة مفردة c والتي تستعمل لحساب نسبة التوسع من خلال ضرب كل قيمة بها. وتسمى أيضا: معامل التوسيع أو نسبة الشبه. ويمكن تسمية عملية النقل هذه . وبشكل أعم، فيمكن ل c أن تكون سالبة، وفي هذه الحالة، تضرب كل المقادير بـ كما تقوم بعكس كل النقاط بالنسبة لنقطة ثابتة. (ar) In mathematics, a homothety (or homothecy, or homogeneous dilation) is a transformation of an affine space determined by a point S called its center and a nonzero number k called its ratio, which sends point to a point by the rule for a fixed number . Using position vectors: . In case of (Origin): , which is a uniform scaling and shows the meaning of special choices for : for one gets the identity mapping,for one gets the reflection at the center, For one gets the inverse mapping defined by . (en) Une homothétie est une transformation géométrique par agrandissement ou réduction ; autrement dit, une reproduction avec . Elle se caractérise par son centre, point invariant, et un rapport qui est un nombre réel. Par l'homothétie de centre O et de rapport k, le point M est transformé en un point N tel que En d'autres termes, l'homothétie laisse O fixe et envoie le point M sur un point N situé sur la droite (OM) par un agrandissement ou une réduction de rapport k.Par exemple, deux poupées russes regardant dans la même direction peuvent être vues comme homothétiques. (fr) In de euclidische meetkunde is een homothetie, van het Oudgriekse ὃμος, hómos, gelijk en τίθημι, tithèmi, plaatsen, of vermenigvuldiging een afbeelding die vanuit een vast punt, het centrum van de vermenigvuldiging, alle afstanden in een vaste verhouding verandert. Die verhouding mag zowel positief als negatief zijn. Het origineel en het beeld, ook wel produktfiguur, heten gelijkstandige figuren. Gelijkstandige figuren zijn gelijkvormig. De definitie van verschalen is ruimer dan die van het uitvoeren van een homothetie. (nl) Jednokładność, homotetia (gr. ὁμοίως + θέσεις = pokrewieństwo) o środku i niezerowej skali – odwzorowanie geometryczne prostej, płaszczyzny lub przestrzeni, określone następująco: Z definicji w szczególności wynika, że: Liczba nazywana jest także stosunkiem jednokładności. Dla jednokładność jest odwzorowaniem tożsamościowym, dla jednokładność jest symetrią środkową o środku Każda jednokładność jest podobieństwem o skali Dwie figury i są jednokładne, gdy istnieje punkt i niezerowa skala takie, że jednokładność przekształca figurę na figurę (pl) |
| rdfs:label | تحاك (ar) Homotècia (ca) Stejnolehlost (cs) Zentrische Streckung (de) Ομοιοθεσία (el) Homotetio (eo) Homotecia (es) Homotezia (eu) Dilatasi (geometri) (in) Homothety (en) Omotetia (it) Homothétie (fr) 중심 닮음 변환 (ko) Jednokładność (pl) Homothetie (meetkunde) (nl) Homotetia (pt) Гомотетия (ru) Гомотетія (uk) 位似变换 (zh) |
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