Invariant (mathematics) (original) (raw)
Invariant je v matematice nějaká vlastnost, která se transformacemi nemění.
| Property | Value |
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| dbo:abstract | En matemàtiques, un invariant és una propietat sostinguda per un tipus d'objectes matemàtics que no canvien davant de transformacions. Més formalment una entitat es considera invariant sota un conjunt de transformacions si la imatge transformada de l'entitat és indistingible de l'entitat original.La propietat de ser invariant es coneix com a invariància. El descobriment d'invariància és un pas important en el procés de classificació dels objectes matemàtics. La invariància s'utilitza en diverses àrees de les matemàtiques, com per exemple la geometria, la topologia i l'àlgebra. Algunes transformacions es defineixen amb una invariant, com per exemple els que es defineixen com les transformacions del pla que conserven els angles. El descobriment de l'invariant és un pas important en el procés de la classificació dels objectes matemàtics. (ca) Invariant je v matematice nějaká vlastnost, která se transformacemi nemění. (cs) في الرياضيات، اللامتغير هو أي خاصية تختص بها فئة من الكائنات الرياضية لا تتغير عند تطبيق تحوّل معيّن على هذه الكائنات. فئة الكائنات ونوع التحوّل عادة ما يحدّد في السياق المعيّن الذي يستعمل فيه المصطلح. كلا العبارتين «لامتغير تحت التحول» و«لامتغير بالنسبة للتحول» تستخدم عند الحديث عن اللاتغيّر. على سبيل المثال، الطول مقدار لامتغيّر عند أو الانزلاق أو الانعكاس في الفضاء الإقليدي. تعتبر اللامتغيرات مفهومًا هامًّا في جميع أفرع الرياضيات لتصنيف الكائنات الرياضية، فتستخدم في علوم الجبر والهندسة والطوبولوجيا والتوافقيّات. (ar) Invarianto estas valoro, kiu ne ŝanĝigas dum certaj operacioj aŭ transformo. Se en la argumentaro de iu funkcio f ekzistas ekvivalentrilato kaj tiu funkcio identas sur la eroj de tiu rilato (ne dependas de la elekto inter ekvivalentaj eroj), ĝi estas nomata invarianto (sub tiu ekvivalentrilato). La invarianteco estas ofte uzata por pruvi la ĝustecon de programadaj procezoj: Se valoro estas teorie invarianto, ĝis konstanteco en programa transformo devas esti pruvebla. Simpla ekzemplo estas, ke la diferenco de du nombroj devas resti egala, se oni malgrandigas ambaŭ je 1. (eo) In der Mathematik versteht man unter einer Invariante eine mit einem Objekt assoziierte Größe, die sich bei einer jeweils passenden Klasse von Modifikationen des Objektes nicht ändert. Invarianten sind ein wichtiges Hilfsmittel bei Klassifikationsproblemen: Objekte mit unterschiedlichen Invarianten sind wesentlich verschieden; gilt auch die Umkehrung, d. h., sind Objekte mit gleichen Invarianten im Wesentlichen identisch, so spricht man von einem vollständigen Satz von Invarianten oder von trennenden Invarianten. (de) In mathematics, an invariant is a property of a mathematical object (or a class of mathematical objects) which remains unchanged after operations or transformations of a certain type are applied to the objects. The particular class of objects and type of transformations are usually indicated by the context in which the term is used. For example, the area of a triangle is an invariant with respect to isometries of the Euclidean plane. The phrases "invariant under" and "invariant to" a transformation are both used. More generally, an invariant with respect to an equivalence relation is a property that is constant on each equivalence class. Invariants are used in diverse areas of mathematics such as geometry, topology, algebra and discrete mathematics. Some important classes of transformations are defined by an invariant they leave unchanged. For example, conformal maps are defined as transformations of the plane that preserve angles. The discovery of invariants is an important step in the process of classifying mathematical objects. (en) Invariante es algo que no cambia al aplicarle un conjunto de transformaciones.Así, en matemáticas, un objeto (función, conjunto, punto, ...) se dice invariante respecto de o bajo una transformación si permanece inalterado tras la acción de tal trasformación. El concepto de invariante es similar al de punto fijo.Más formalmente una entidad se considera invariante bajo un conjunto de transformaciones si la imagen transformada de la entidad es indistinguible de la original.La propiedad de ser invariante se conoce como invarianza o invariancia. * Un ejemplo fácil de invarianza es la distancia entre dos puntos en una recta, ésta no cambia al sumar una misma cantidad a ambos puntos; es decir es invariante bajo la suma, pero si los multiplicamos por una misma cantidad (excepto el 1) cambia la distancia; entonces no es invariante en la multiplicación. * La simetría también puede ser considerada una forma de invarianza. * Otro ejemplo interesante son los invariantes algebraicos que aparecen en álgebra lineal, cálculo tensorial y topología. (es) En mathématiques, le mot invariant possède suivant le contexte différentes significations (non équivalentes). Il est utilisé aussi bien en géométrie et en topologie qu'en analyse et en algèbre. (fr) In matematica un oggetto (funzione, insieme, punto, ...) si dice invariante rispetto o sotto una trasformazione se esso rimane inalterato dopo l'azione di tale trasformazione. Il concetto di invarianza è molto simile a quello di punto fisso. Altrimenti detto, dato un insieme con una relazione d'equivalenza, un invariante è una funzione che sia costante su ogni singola classe: il suo valore non dipende dal rappresentante scelto. Si dice anche che può scendere al quoziente. Tale definizione generalizza la precedente, cui ci si può riportare ponendo come relazione d'equivalenza "c'è una trasformazione che porta l'elemento nell'elemento ". In teoria delle categorie, ogni funtore definisce un invariante, ma non ogni invariante è funtoriale. In analisi complessa ci sono delle definizioni accessorie: un insieme si dice invariante in avanti sotto la mappa se , invariante all'indietro se e completamente invariante se è entrambe le cose. (it) 不変量（ふへんりょう、invariant）とは、数学的対象を特徴付ける別種の数学的対象のことである。一般に、不変量は数や多項式など、不変量同士の同型性判定がもとの対象の同型性判定より簡単であるものをとる。良い不変量とは、簡単に計算でき、かつなるべく強い同型性判別能力をもつものである。 (ja) 수학에서 불변량(不變量, invariant, 불변값)은 어떤 유형의 변형이 객체에 적용될 때 변경되지 않고 보존되는, 수학적 객체의 클래스에 의해서 계속 유지되는 속성을 가리킨다. 또한, 특정 클래스의 객체와 변환 유형은 해당 적용상에서 특정적으로 정의되므로, 이에 따라 불변량의 표현도 조금씩 다르게, 그리고 다양하게 표현될 수 있다. 예를 들면 불변량은 변하지 않는 고유한 값이기에 한편으로는 괴물군에서 존스 다항식처럼 동일한 매듭들에서 이들이 서로 다른 매듭들인지를 변별하는 수학적 특성이나 값을 가리킬 수도 있다. (ko) In de wiskunde is een eigenschap van een wiskundig object invariant als die eigenschap niet verandert wanneer het object transformaties van een bepaald type ondergaat. Zo'n invariante eigenschap wordt ook wel aangeduid als een invariant (van het object). De specifieke klasse van objecten en het type transformaties worden meestal aangegeven door de context waarin de term wordt gebruikt. De oppervlakte van een driehoek is bijvoorbeeld een invariant met betrekking tot isometrieën van het euclidische vlak. De uitdrukkingen "invariant onder" en "invariant voor" een transformatie worden beide gebruikt. Meer in het algemeen is een invariant met betrekking tot een equivalentierelatie een eigenschap die constant is voor elke equivalentieklasse. In het bijzonder kan een wiskundig object zelf invariant zijn onder transformaties van een bepaald type. (nl) Инвариа́нт — это свойство некоторого класса (множества) математических объектов, остающееся неизменным при определённого типа преобразованиях. (ru) Em matemática, invariante é algo que não se altera ao aplicar-se um conjunto de transformações. Mais formalmente uma entidade é considerada invariante sob um conjunto de transformações se a imagem transformada da entidade é indistinguível da entidade original.A propriedade de ser invariante se conhece como invariança ou invariância. Matemáticos dizem que uma grandeza é invariante "sob" uma transformação; alguns economistas dizem que é invariante "para" uma transformação. Mais genericamente, dado um conjunto X com uma relação de equivalência sobre ele, uma invariante é a função que é constante sobre classes equivalente: não depende sobre o elemento particular. Equivalentemente, reduz-se a uma função sobre o quociente . A definição de invariante da transformação é um caso especial disto, onde a relação equivalente é "há uma transformação que torna um no outro". Em teoria das categorias, toma-se objetos pelo isomorfismo; cada functor define um invariante, mas não cada invariante é functorial (por exemplo, o centro de um grupo não é functorial). Em aproximações computacionais, toma-se apresentações de objetos pelo isomorfismo, tais como apresentações de grupos ou conjuntos simples pelo homeomorfismo do espaço topológico subjacente. Em análise complexa, o conjunto é chamada invariante progressivo sob se , e invariante regressivo se . Um conjunto é completamente invariante sob se ele é tanto um invariante progressivo como regressivo sob . Um exemplo fácil de invariância é a distância entre dois pontos em uma reta, esta não se altera ao somar uma mesma quantidade a ambos os pontos; quer dizer que é invariante sob a soma, mas se os multiplicamos por uma mesma quantidade (exceto o 1), modifica-se a distância; então não é invariante na multiplicação. A simetria também pode ser considerada uma forma de invariância. (pt) Niezmiennik przekształcenia – cecha obiektu poddawanego danemu przekształceniu, która nie ulega zmianie. Np. pomnożenie przez liczbę wymierną różną od 0 nie zmienia wymierności dowolnej liczby rzeczywistej, więc wymierność jest niezmiennikiem dla dowolnej liczby rzeczywistej i operacji mnożenia przez liczbę wymierną. Wynika z tego, że nie można w skończenie wielu operacjach mnożenia przez liczby wymierne przekształcić liczby wymiernej w niewymierną i odwrotnie. Innym prostym, aczkolwiek mniej trywialnym przykładem jest tablica binarna z operacją polegającą na zmianie wartości w dokładnie dwóch komórkach (z zachowaniem binarnego charakteru tablicy, tzn. 1 zamieniane jest na 0 i odwrotnie). Wtedy parzystość sumy elementów tablicy jest niezmiennikiem, ponieważ parzystość sumy elementów w tablicy się nie zmienia (bo dowolne przekształcenie zmienia sumę o 2 lub o 0). Wynika z tego m.in. to, że nie możemy korzystając tylko z podanej operacji zamienić tablicy o nieparzystej liczbie elementów, złożonej z samych jedynek zamienić w tablicę tej samej wielkości wypełnioną zerami. Wniosek ten można rozszerzyć – wynika z tego też, że zbiór wszystkich tablic o danej liczbie elementów możemy podzielić na dwa podzbiory takie, że żadnej tablicy z jednego podzbioru nie da się przekształcić w którąś tablicę z drugiego zbioru. Niezmienniki przekształceń geometrycznych odegrały ważną rolę w propozycji Kleina uporządkowania geometrii (program erlangeński). (pl) En invariant är inom bland annat matematiken och informationstekniken en egenskap som inte förändras med avseende på någon avbildning. (sv) Інваріант — величина, яка не змінюється в результаті деяких операцій. (uk) |
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La invarianteco estas ofte uzata por pruvi la ĝustecon de programadaj procezoj: Se valoro estas teorie invarianto, ĝis konstanteco en programa transformo devas esti pruvebla. Simpla ekzemplo estas, ke la diferenco de du nombroj devas resti egala, se oni malgrandigas ambaŭ je 1. (eo) In der Mathematik versteht man unter einer Invariante eine mit einem Objekt assoziierte Größe, die sich bei einer jeweils passenden Klasse von Modifikationen des Objektes nicht ändert. Invarianten sind ein wichtiges Hilfsmittel bei Klassifikationsproblemen: Objekte mit unterschiedlichen Invarianten sind wesentlich verschieden; gilt auch die Umkehrung, d. h., sind Objekte mit gleichen Invarianten im Wesentlichen identisch, so spricht man von einem vollständigen Satz von Invarianten oder von trennenden Invarianten. (de) En mathématiques, le mot invariant possède suivant le contexte différentes significations (non équivalentes). Il est utilisé aussi bien en géométrie et en topologie qu'en analyse et en algèbre. (fr) 不変量（ふへんりょう、invariant）とは、数学的対象を特徴付ける別種の数学的対象のことである。一般に、不変量は数や多項式など、不変量同士の同型性判定がもとの対象の同型性判定より簡単であるものをとる。良い不変量とは、簡単に計算でき、かつなるべく強い同型性判別能力をもつものである。 (ja) 수학에서 불변량(不變量, invariant, 불변값)은 어떤 유형의 변형이 객체에 적용될 때 변경되지 않고 보존되는, 수학적 객체의 클래스에 의해서 계속 유지되는 속성을 가리킨다. 또한, 특정 클래스의 객체와 변환 유형은 해당 적용상에서 특정적으로 정의되므로, 이에 따라 불변량의 표현도 조금씩 다르게, 그리고 다양하게 표현될 수 있다. 예를 들면 불변량은 변하지 않는 고유한 값이기에 한편으로는 괴물군에서 존스 다항식처럼 동일한 매듭들에서 이들이 서로 다른 매듭들인지를 변별하는 수학적 특성이나 값을 가리킬 수도 있다. (ko) Инвариа́нт — это свойство некоторого класса (множества) математических объектов, остающееся неизменным при определённого типа преобразованиях. (ru) En invariant är inom bland annat matematiken och informationstekniken en egenskap som inte förändras med avseende på någon avbildning. (sv) Інваріант — величина, яка не змінюється в результаті деяких операцій. (uk) En matemàtiques, un invariant és una propietat sostinguda per un tipus d'objectes matemàtics que no canvien davant de transformacions. Més formalment una entitat es considera invariant sota un conjunt de transformacions si la imatge transformada de l'entitat és indistingible de l'entitat original.La propietat de ser invariant es coneix com a invariància. El descobriment d'invariància és un pas important en el procés de classificació dels objectes matemàtics. (ca) In mathematics, an invariant is a property of a mathematical object (or a class of mathematical objects) which remains unchanged after operations or transformations of a certain type are applied to the objects. The particular class of objects and type of transformations are usually indicated by the context in which the term is used. For example, the area of a triangle is an invariant with respect to isometries of the Euclidean plane. The phrases "invariant under" and "invariant to" a transformation are both used. More generally, an invariant with respect to an equivalence relation is a property that is constant on each equivalence class. (en) Invariante es algo que no cambia al aplicarle un conjunto de transformaciones.Así, en matemáticas, un objeto (función, conjunto, punto, ...) se dice invariante respecto de o bajo una transformación si permanece inalterado tras la acción de tal trasformación. El concepto de invariante es similar al de punto fijo.Más formalmente una entidad se considera invariante bajo un conjunto de transformaciones si la imagen transformada de la entidad es indistinguible de la original.La propiedad de ser invariante se conoce como invarianza o invariancia. (es) In matematica un oggetto (funzione, insieme, punto, ...) si dice invariante rispetto o sotto una trasformazione se esso rimane inalterato dopo l'azione di tale trasformazione. Il concetto di invarianza è molto simile a quello di punto fisso. In teoria delle categorie, ogni funtore definisce un invariante, ma non ogni invariante è funtoriale. In analisi complessa ci sono delle definizioni accessorie: un insieme si dice invariante in avanti sotto la mappa se , invariante all'indietro se e completamente invariante se è entrambe le cose. (it) In de wiskunde is een eigenschap van een wiskundig object invariant als die eigenschap niet verandert wanneer het object transformaties van een bepaald type ondergaat. Zo'n invariante eigenschap wordt ook wel aangeduid als een invariant (van het object). De specifieke klasse van objecten en het type transformaties worden meestal aangegeven door de context waarin de term wordt gebruikt. De oppervlakte van een driehoek is bijvoorbeeld een invariant met betrekking tot isometrieën van het euclidische vlak. De uitdrukkingen "invariant onder" en "invariant voor" een transformatie worden beide gebruikt. Meer in het algemeen is een invariant met betrekking tot een equivalentierelatie een eigenschap die constant is voor elke equivalentieklasse. (nl) Niezmiennik przekształcenia – cecha obiektu poddawanego danemu przekształceniu, która nie ulega zmianie. Np. pomnożenie przez liczbę wymierną różną od 0 nie zmienia wymierności dowolnej liczby rzeczywistej, więc wymierność jest niezmiennikiem dla dowolnej liczby rzeczywistej i operacji mnożenia przez liczbę wymierną. Wynika z tego, że nie można w skończenie wielu operacjach mnożenia przez liczby wymierne przekształcić liczby wymiernej w niewymierną i odwrotnie. Niezmienniki przekształceń geometrycznych odegrały ważną rolę w propozycji Kleina uporządkowania geometrii (program erlangeński). (pl) Em matemática, invariante é algo que não se altera ao aplicar-se um conjunto de transformações. Mais formalmente uma entidade é considerada invariante sob um conjunto de transformações se a imagem transformada da entidade é indistinguível da entidade original.A propriedade de ser invariante se conhece como invariança ou invariância. Matemáticos dizem que uma grandeza é invariante "sob" uma transformação; alguns economistas dizem que é invariante "para" uma transformação. A simetria também pode ser considerada uma forma de invariância. (pt) |
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