Isomorphism of categories (original) (raw)
Die Isomorphie von Kategorien ist eine Beziehung, die im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie zwischen zwei Kategorien bestehen kann. Zwei isomorphe Kategorien sind als im Wesentlichen dieselben anzusehen. Dieser Begriff erweist sich als sehr restriktiv und hat daher bei Weitem nicht die Bedeutung wie die Äquivalenz von Kategorien.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Die Isomorphie von Kategorien ist eine Beziehung, die im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie zwischen zwei Kategorien bestehen kann. Zwei isomorphe Kategorien sind als im Wesentlichen dieselben anzusehen. Dieser Begriff erweist sich als sehr restriktiv und hat daher bei Weitem nicht die Bedeutung wie die Äquivalenz von Kategorien. (de) In category theory, two categories C and D are isomorphic if there exist functors F : C → D and G : D → C which are mutually inverse to each other, i.e. FG = 1D (the identity functor on D) and GF = 1C. This means that both the objects and the morphisms of C and D stand in a one-to-one correspondence to each other. Two isomorphic categories share all properties that are defined solely in terms of category theory; for all practical purposes, they are identical and differ only in the notation of their objects and morphisms. Isomorphism of categories is a very strong condition and rarely satisfied in practice. Much more important is the notion of equivalence of categories; roughly speaking, for an equivalence of categories we don't require that be equal to , but only naturally isomorphic to , and likewise that be naturally isomorphic to . (en) En théorie des catégories, deux catégories et sont isomorphes s'il existe deux foncteurs F : → et G : → tels que l'un est inverse de l'autre, c'est-à-dire tels que FG = 1D (le foncteur identité de ) et GF = 1C. Cette notion, assez restrictive, peut être élargie en la notion d'équivalence de catégories. (fr) En teoría de categorías, dos categorías y son isomorfas si existen dos funtores y que son mutuamente inversos: (el funtor identidad en ) y . Esto significa que tanto para los objetos como para los morfismos de y existe una correspondencia uno a uno. Dos categorías isomorfas comparten todas las propiedades definidas a partir de la teoría de categorías (prácticamente son idénticas, difiriendo sólo en la notación de sus objetos y de sus morfismos). El isomorfismo de categorías es una condición muy fuerte y raramente se satisface. Es más importante la noción de equivalencia de categorías (en términos generales, para que se de una equivalencia de categorías no se requiere que , sólo naturalmente isomorfos a él. Lo mismo ocurre con ). (es) Изоморфизм категорий — взаимно-однозначное отношение между категориями, сохраняющее структуру объектов и морфизмов: категории и изоморфны, если существуют функторы и , которые являются обратными друг другу, то есть, (функтор тождественности на ) и .Две изоморфные категории разделяют все свойства, которые определены только в терминах теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями объектов и морфизмов. Изоморфизм категорий является очень сильным условием, которое редко удовлетворяется; в связи с этим чаще используется понятие эквивалентности категорий, для которого не требуется, чтобы был равен to , а лишь естественно изоморфен , и аналогично был естественно изоморфен . Функтор создаёт изоморфизм категорий тогда и только тогда, когда он биективен на объектах и на множестве морфизмов; благодаря этому критерию можно доказывать изоморфность категорий без построения обратного функтора . (ru) |
| dbo:wikiPageID | 489935 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 5459 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1102806046 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Module_(mathematics) dbr:Vector_space dbc:Equivalence_(mathematics) dbr:Natural_transformation dbr:Morphism dbr:Equivalence_of_categories dbr:Hom_set dbr:Bijective dbr:Functor dbr:Functor_category dbr:Automorphism dbc:Adjoint_functors dbr:Dual_(category_theory) dbr:Additive_functor dbr:Equivalence_relation dbr:Field_(mathematics) dbr:Isomorphism dbr:Ring_(mathematics) dbr:Group_(mathematics) dbr:Group_homomorphism dbr:Terminal_object dbr:Preadditive_category dbr:Boolean_algebra_(structure) dbr:Boolean_ring dbr:Group_representation dbr:Group_ring dbr:Category_of_abelian_groups dbr:Category_theory dbr:Symmetric_difference dbr:Slice_category dbr:Object_(category_theory) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Anchor dbt:Pb dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Slink dbt:Use_American_English |
| dcterms:subject | dbc:Equivalence_(mathematics) dbc:Adjoint_functors |
| rdfs:comment | Die Isomorphie von Kategorien ist eine Beziehung, die im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie zwischen zwei Kategorien bestehen kann. Zwei isomorphe Kategorien sind als im Wesentlichen dieselben anzusehen. Dieser Begriff erweist sich als sehr restriktiv und hat daher bei Weitem nicht die Bedeutung wie die Äquivalenz von Kategorien. (de) En théorie des catégories, deux catégories et sont isomorphes s'il existe deux foncteurs F : → et G : → tels que l'un est inverse de l'autre, c'est-à-dire tels que FG = 1D (le foncteur identité de ) et GF = 1C. Cette notion, assez restrictive, peut être élargie en la notion d'équivalence de catégories. (fr) In category theory, two categories C and D are isomorphic if there exist functors F : C → D and G : D → C which are mutually inverse to each other, i.e. FG = 1D (the identity functor on D) and GF = 1C. This means that both the objects and the morphisms of C and D stand in a one-to-one correspondence to each other. Two isomorphic categories share all properties that are defined solely in terms of category theory; for all practical purposes, they are identical and differ only in the notation of their objects and morphisms. (en) En teoría de categorías, dos categorías y son isomorfas si existen dos funtores y que son mutuamente inversos: (el funtor identidad en ) y . Esto significa que tanto para los objetos como para los morfismos de y existe una correspondencia uno a uno. Dos categorías isomorfas comparten todas las propiedades definidas a partir de la teoría de categorías (prácticamente son idénticas, difiriendo sólo en la notación de sus objetos y de sus morfismos). (es) Изоморфизм категорий — взаимно-однозначное отношение между категориями, сохраняющее структуру объектов и морфизмов: категории и изоморфны, если существуют функторы и , которые являются обратными друг другу, то есть, (функтор тождественности на ) и .Две изоморфные категории разделяют все свойства, которые определены только в терминах теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями объектов и морфизмов. (ru) |
| rdfs:label | Isomorphie von Kategorien (de) Isomorfismo de categorías (es) Isomorphisme de catégories (fr) Isomorphism of categories (en) Изоморфизм категорий (ru) |
| owl:sameAs | freebase:Isomorphism of categories wikidata:Isomorphism of categories dbpedia-de:Isomorphism of categories dbpedia-es:Isomorphism of categories dbpedia-fr:Isomorphism of categories dbpedia-ru:Isomorphism of categories https://global.dbpedia.org/id/4oM9v |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Isomorphism_of_categories?oldid=1102806046&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Isomorphism_of_categories |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Isomorphic_categories |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Subcategory dbr:Maschke's_theorem dbr:Equivalence_of_categories dbr:Partial_function dbr:Representation_theory_of_finite_groups dbr:Partially_ordered_set dbr:Discrete_group dbr:Isomorphism dbr:Universal_enveloping_algebra dbr:Ideal_(order_theory) dbr:Category_of_representations dbr:Category_of_rings dbr:Skeleton_(category_theory) dbr:Outline_of_category_theory dbr:Isomorphic_categories |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Isomorphism_of_categories |