Morphism (original) (raw)
في الرياضيات، المشاكلة (بالإنجليزية Morphism) هي تطبيق يحافظ على البنية بين بنتين رياضيتين اثنتين من نفس النوع.يظهر مفهوم التشاكلات في العديد من مجالات الرياضيات المعاصرة. في نظرية المجموعات التشاكلات هن الدوال، وفي الجبر الخطي هن التحويلات الخطية وفي نظرية الزمر هن تشاكلات الزمر وفي الطوبولوجيا هن الدوال المتصلة، وهكذا.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Morfismus je v matematice, zvláště v teorii kategorií, zobrazení jedné matematické struktury do jiné stejného typu, které zachovává příslušnou strukturu. Koncept morfismu se objevuje ve většině oborů současné matematiky; v teorii množin jsou morfismy zobrazení; v lineární algebře lineární transformace; v teorii grup ; v topologii spojité funkce, atd. Morfismus v teorii kategorií je obdobný koncept: zkoumané matematické objekty nemusí být jenom množiny, a vztahy mezi nimi mohou být jiné než zobrazení; morfismy mezi objekty dané kategorie se však musí chovat podobně jako zobrazení v tom smyslu, že musí umožňovat asociativní operaci podobnou skládání funkcí. Morfismus v teorie kategorií je abstrakcí homomorfismu. Studium morfismů a struktur (nazývaných „objekty“), na kterých jsou definovány, je hlavní náplní teorie kategorií. Velká část představ o morfismech a terminologie morfismů je převzata z konkrétních kategorií, kde objekty jsou prostě množiny s nějakou přídavnou strukturou a morfismy jsou funkce zachovávající strukturu. V teorii kategorií se morfismy někdy nazývají šipky (anglicky arrows). (cs) En matemàtiques, un morfisme o homomorfisme és, en general, una aplicació entre dos conjunts dotats d'una mateixa estructura algebraica, que és respectada per l'aplicació. Aquesta noció és un dels conceptes bàsics de la teoria de les categories, on se li dona una definició formal molt més àmplia. Així, un morfisme no és obligatòriament una funció, és simplement una relació entre dues classes que poden no ser conjunts. Els morfismes es poden classificar en: * un endomorfisme és un morfisme d'una estructura en si mateixa. * un isomorfisme és un morfisme entre dos conjunts dotats de la mateixa mena d'estructura, tal que existeix un morfisme en el sentit invers, tal que i són la identitat de les estructures. * un automorfisme és un isomorfisme d'una estructura en si mateixa. * un epimorfisme és un morfisme tal que per a tot parella de morfismes del tipus , si , llavors ha de ser . * un monomorfisme és un morfisme tal que per a tot parella de morfismes del tipus , si , llavors ha de ser . Direm que una aplicació lineal és un epimorfisme si és exhaustiva; que és unmonomorfisme si és injectiva; i que és un isomorfisme si és bijectiva. A més, si és unendomorfisme bijectiu, aleshores direm que és un automorfisme. Exemple: la identitat d'un conjunt és sempre un morfisme, que respecta l'estructura considerada. I és un automorfisme. (ca) في الرياضيات، المشاكلة (بالإنجليزية Morphism) هي تطبيق يحافظ على البنية بين بنتين رياضيتين اثنتين من نفس النوع.يظهر مفهوم التشاكلات في العديد من مجالات الرياضيات المعاصرة. في نظرية المجموعات التشاكلات هن الدوال، وفي الجبر الخطي هن التحويلات الخطية وفي نظرية الزمر هن تشاكلات الزمر وفي الطوبولوجيا هن الدوال المتصلة، وهكذا. (ar) In der Kategorientheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) betrachtet man sogenannte (abstrakte) Kategorien, die jeweils gegeben sind durch eine Klasse von Objekten und für je zwei Objekte und eine Klasse von Morphismen von nach (auch als Pfeile bezeichnet). Man schreibt: . Zu der Kategorie gehört noch eine partielle Verknüpfung der Morphismen, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss. Interpretiert man Mengen mit gleicher Struktur als Objekte und die Funktionen zwischen den zugrunde liegenden Mengen, die mit deren Struktur verträglich sind, als zugehörige Morphismen, so spricht man von einer konkreten Kategorie. Die Verknüpfung der Morphismen entspricht dann der gewöhnlichen Hintereinanderausführung von Funktionen. Es gibt aber auch ganz anders gebildete konkrete Kategorien, in denen Morphismen nicht als Funktionen zwischen den Objekten auftreten, etwa die Kategorie Toph, deren Objekte topologische Räume und deren Morphismen Homotopieklassen stetiger Funktionen sind, oder die Kategorie Rel, deren Objekte Mengen und deren Morphismen Relationen sind. (de) En varios campos de las matemáticas, se llaman morfismos (u homomorfismos) a las aplicaciones entre estructuras matemáticas que preservan la estructura interna. Por ejemplo, en teoría de conjuntos, los morfismos son las funciones entre conjuntos; en álgebra lineal, las transformaciones lineales; y en topología, las funciones continuas. En teoría de categorías, el morfismo es una noción más general; una categoría viene dada por dos tipos de datos: una clase de objetos y, para cada par de objetos X e Y, un conjunto de morfismos desde X a Y. Los morfismos son frecuentemente representados como flechas entre esos objetos. En el caso de una , X e Y son conjuntos de cierto tipo y un morfismo f es una función desde X a Y satisfaciendo alguna condición; este ejemplo origina la notación f: X → Y. Pero no toda categoría es concreta, por tanto estos no son los únicos tipos de morfismos. (es) In mathematics, particularly in category theory, a morphism is a structure-preserving map from one mathematical structure to another one of the same type. The notion of morphism recurs in much of contemporary mathematics. In set theory, morphisms are functions; in linear algebra, linear transformations; in group theory, group homomorphisms; in topology, continuous functions, and so on. In category theory, morphism is a broadly similar idea: the mathematical objects involved need not be sets, and the relationships between them may be something other than maps, although the morphisms between the objects of a given category have to behave similarly to maps in that they have to admit an associative operation similar to function composition. A morphism in category theory is an abstraction of a homomorphism. The study of morphisms and of the structures (called "objects") over which they are defined is central to category theory. Much of the terminology of morphisms, as well as the intuition underlying them, comes from concrete categories, where the objects are simply sets with some additional structure, and morphisms are structure-preserving functions. In category theory, morphisms are sometimes also called arrows. (en) En mathématiques, le terme « morphisme » désigne une notion fondamentale permettant de comparer et de relier des objets mathématiques entre eux. En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre. Plus généralement, la notion de morphisme est l'un des concepts de base en théorie des catégories ; ce n'est alors pas nécessairement une application, mais une « flèche » reliant deux « objets » ou « structures » qui ne sont pas nécessairement des ensembles. (fr) In matematica, per morfismo si intende in generale una astrazione di un processo che trasforma una struttura astratta in un'altra mantenendo alcune caratteristiche "strutturali" della prima. Va notato che non si esclude che un morfismo trasformi una struttura in se stessa (v.o. endomorfismo e automorfismo). Gli esempi più tangibili e utili di morfismi sono quelli nei quali il processo si esprime con una funzione o applicazione che trasforma un insieme sostegno di una prima struttura algebrica nell'insieme sostegno di una seconda struttura o in una sua parte conservando determinate caratteristiche strutturali. Più in concreto consideriamo una struttura algebrica S caratterizzata da alcune operazioni finitarie (ad es. un campo numerico): una applicazione che trasforma S in una struttura della stessa specie e mantiene la forma delle espressioni si dice omomorfismo tra le due strutture. Morfismi molto concreti sono quelli che riguardano strutture discrete tangibilmente costruibili: fondamentali tra questi sono i morfismi tra grafi, applicazioni che mantengono le relazioni di adiacenza. Collegati a questi vi sono i morfismi tra poliedri, casi particolari di morfismi tra configurazioni geometriche, strumenti di base per lo studio delle proprietà geometriche più "sostanziali" (v. gruppo di simmetria). Generalizzando questi ultimi si incontrano i morfismi che sussistono tra due strutture topologiche: questi sono le funzioni continue. La nozione di morfismo risulta quindi centrale nella matematica e in particolare per l'algebra astratta e per la geometria. Lo studio generale dei morfismi si colloca nella teoria delle categorie. (it) 수학에서 사상(寫像, 문화어: 살, 범사, 영어: morphism 모피즘[*])은 수학적 구조를 보존하는 함수의 개념을 추상화한 것이다.예를 들어 집합의 사상은 임의의 함수이며, 군의 사상은 군 준동형, 위상 공간의 사상은 연속 함수이다. 범주론은 대상과 사상으로 이루어진 범주를 연구하는 분야이다. 구체적 범주에서 대상은 집합 위에 특정한 구조가 주어진 것이고 사상은 그 구조를 보존하는 함수이나, 일반적인 범주에서 대상은 꼭 집합일 필요가 없고 사상은 단순히 대상들 사이의 '화살표'일 뿐이다. 사상이라는 용어는 영어 map에 대응하기도 하는데, 이 경우 맥락에 따라 함수(function)와 사상(morphism) 모두의 의미로 사용될 수 있다. (ko) 数学の多くの分野において、型射あるいは射（しゃ、英: morphism; モルフィズム）は、ある数学的構造を持つ数学的対象から別の数学的対象への「構造を保つ」写像の意味で用いられる（準同型）。この意味での射の概念は現代的な数学のあらゆる場所で繰り返し生じてくる。例えば集合論における射は写像であり、線型代数学における線型写像、群論における群準同型、位相空間論における連続写像、… といったようなものなどがそうである。 圏論における射はこのような概念を広く推し進め、しかしより抽象的に扱うものである。考える数学的対象は集合である必要はないし、それらの間の関係性である射は写像よりももっと一般の何ものかでありうる。 射の、そして射がその上で定義される構造（対象）を調べることは圏論の中核を成す。射に関する用語法の多くは、その直観的背景でもある（対象が単に付加構造を備えた集合で、射がその構造を保つ写像であるような圏）に由来するものとなっている。また圏論において、圏を図式と呼ばれる有向グラフによって見る立場から、射は有向辺あるいは矢印 (arrow) と呼ばれることもある。 (ja) In de wiskunde is een morfisme een abstractie die is afgeleid van structuurbewarende afbeeldingen tussen twee wiskundige structuren. De studie van morfismen en van de structuren (de zogenaamde objecten) waarover deze zijn gedefinieerd, staat centraal in de categorietheorie. Een groot deel van de terminologie met betrekking tot morfismen, alsmede de intuïtie die daaraan ten grondslag ligt, komt van concrete categorieën, waar de objecten verzamelingen zijn met enige aanvullende structuur, en morfismen afbeeldingen zijn die deze structuur bewaren. In het algemeen zijn morfismen niet noodzakelijkerwijs afbeeldingen, en de objecten waarop morfismen worden gedefinieerd niet per se verzamelingen. In plaats daarvan wordt een morfisme vaak beschouwd als een pijl die een object dat het domein wordt genoemd verbindt met een ander object dat het codomein wordt genoemd. Het begrip morfisme komt in veel gebieden van de hedendaagse wiskunde voor. In de verzamelingenleer zijn morfismen afbeeldingen, in de topologie continue functies, in de universele algebra homomorfismen en in de groepentheorie groepshomomorfismen. (nl) Inom kategoriteori, en abstrakt generalisering av många områden av matematiken, är morfismer eller morfier generaliseringar av funktioner. De har därför flera av de egenskaper som funktioner har, som att man kan bilda "sammansättningar" av morfismer på liknande sätt som funktionssammansättningar. I konkreta kategorier är också morfismer funktioner med vissa speciella egenskaper, men för kategorier i allmänhet behöver inte detta vara fallet. Några exempel på morfismer är homomorfier från kategorierna som studeras i (till exempel moduler, grupper och ringar), kontinuerliga funktioner mellan topologiska rum, element i en grupp då gruppen betraktas som en speciell slags kategori, kurvor i ett topologiskt rum (vilka bildar en gruppoid), och funktorer mellan små kategorier. (sv) Em muitos campos da matemática, morfismo se refere ao mapeamento de uma estrutura matemática a outra de forma que a estrutura é preservada. A noção de morfismo ocorre bastante na matemática contemporânea. Em álgebra, são transformações lineares, na teoria dos conjuntos são funções, na topologia são funções continuas e assim por diante. O estudo de morfismos e de estruturas ( chamadas objetos ) nas quais eles são definidos, é central a teoria das categorias. Grande parte da terminologia de morfismos, assim como a intuição subjacente, vem de categorias concretas, onde os objetos são simplesmente conjuntos com alguma estrutura adicional, e morfismos são funções preservadoras de estruturas. (pt) Морфізм — структурозберігальне відображення між двома математичними структурами.Тобто, відображення між множинами що зберігає структури (так що структури визначені для першої множини відображаються на еквівалентні структури в другій множині). Частковими випадками морфізму є: * гомоморфізм — зберігає алгебраїчні структури; * гомеоморфізм — зберігає топологічні структури; * дифеоморфізм — зберігає диференціальні структури. Наприклад: * в теорії множин морфізмами є функції, * в лінійній алгебрі — лінійні оператори, * в теорії груп — гомоморфізм груп, * в топології — неперервні функції. (uk) 态射（英語：Morphism）在数学中是指两个数学结构之间保持结构的一种映射。 许多当代数学领域中都有态射的身影。例如，在集合论中，态射就是函数；在群论中，它们是群同态；而在拓扑学中，它们是连续函数；在泛代数（universal algebra）的范围，态射通常就是同态。 对态射和它们定义于其间的结构（或对象）的抽象研究构成了范畴论的一部分。在范畴论中，态射不必是函数，而通常被视为两个对象（不必是集合）间的箭头。不像映射一个集合的元素到另外一个集合，它们只是表示域（domain）和陪域（codomain）间的某种关系。 尽管态射的本质是抽象的，多数人关于它们的直观（事实上包括大部分术语）来自于具体范畴的例子，在那里对象就是有附加结构的集合而态射就是保持这种结构的函数。 (zh) |
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(ko) 数学の多くの分野において、型射あるいは射（しゃ、英: morphism; モルフィズム）は、ある数学的構造を持つ数学的対象から別の数学的対象への「構造を保つ」写像の意味で用いられる（準同型）。この意味での射の概念は現代的な数学のあらゆる場所で繰り返し生じてくる。例えば集合論における射は写像であり、線型代数学における線型写像、群論における群準同型、位相空間論における連続写像、… といったようなものなどがそうである。 圏論における射はこのような概念を広く推し進め、しかしより抽象的に扱うものである。考える数学的対象は集合である必要はないし、それらの間の関係性である射は写像よりももっと一般の何ものかでありうる。 射の、そして射がその上で定義される構造（対象）を調べることは圏論の中核を成す。射に関する用語法の多くは、その直観的背景でもある（対象が単に付加構造を備えた集合で、射がその構造を保つ写像であるような圏）に由来するものとなっている。また圏論において、圏を図式と呼ばれる有向グラフによって見る立場から、射は有向辺あるいは矢印 (arrow) と呼ばれることもある。 (ja) Морфізм — структурозберігальне відображення між двома математичними структурами.Тобто, відображення між множинами що зберігає структури (так що структури визначені для першої множини відображаються на еквівалентні структури в другій множині). Частковими випадками морфізму є: * гомоморфізм — зберігає алгебраїчні структури; * гомеоморфізм — зберігає топологічні структури; * дифеоморфізм — зберігає диференціальні структури. Наприклад: * в теорії множин морфізмами є функції, * в лінійній алгебрі — лінійні оператори, * в теорії груп — гомоморфізм груп, * в топології — неперервні функції. (uk) 态射（英語：Morphism）在数学中是指两个数学结构之间保持结构的一种映射。 许多当代数学领域中都有态射的身影。例如，在集合论中，态射就是函数；在群论中，它们是群同态；而在拓扑学中，它们是连续函数；在泛代数（universal algebra）的范围，态射通常就是同态。 对态射和它们定义于其间的结构（或对象）的抽象研究构成了范畴论的一部分。在范畴论中，态射不必是函数，而通常被视为两个对象（不必是集合）间的箭头。不像映射一个集合的元素到另外一个集合，它们只是表示域（domain）和陪域（codomain）间的某种关系。 尽管态射的本质是抽象的，多数人关于它们的直观（事实上包括大部分术语）来自于具体范畴的例子，在那里对象就是有附加结构的集合而态射就是保持这种结构的函数。 (zh) En matemàtiques, un morfisme o homomorfisme és, en general, una aplicació entre dos conjunts dotats d'una mateixa estructura algebraica, que és respectada per l'aplicació. Aquesta noció és un dels conceptes bàsics de la teoria de les categories, on se li dona una definició formal molt més àmplia. Així, un morfisme no és obligatòriament una funció, és simplement una relació entre dues classes que poden no ser conjunts. Els morfismes es poden classificar en: Exemple: la identitat d'un conjunt és sempre un morfisme, que respecta l'estructura considerada. I és un automorfisme. (ca) Morfismus je v matematice, zvláště v teorii kategorií, zobrazení jedné matematické struktury do jiné stejného typu, které zachovává příslušnou strukturu. Koncept morfismu se objevuje ve většině oborů současné matematiky; v teorii množin jsou morfismy zobrazení; v lineární algebře lineární transformace; v teorii grup ; v topologii spojité funkce, atd. (cs) In der Kategorientheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) betrachtet man sogenannte (abstrakte) Kategorien, die jeweils gegeben sind durch eine Klasse von Objekten und für je zwei Objekte und eine Klasse von Morphismen von nach (auch als Pfeile bezeichnet). Man schreibt: . Zu der Kategorie gehört noch eine partielle Verknüpfung der Morphismen, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss. (de) En varios campos de las matemáticas, se llaman morfismos (u homomorfismos) a las aplicaciones entre estructuras matemáticas que preservan la estructura interna. Por ejemplo, en teoría de conjuntos, los morfismos son las funciones entre conjuntos; en álgebra lineal, las transformaciones lineales; y en topología, las funciones continuas. (es) In mathematics, particularly in category theory, a morphism is a structure-preserving map from one mathematical structure to another one of the same type. The notion of morphism recurs in much of contemporary mathematics. In set theory, morphisms are functions; in linear algebra, linear transformations; in group theory, group homomorphisms; in topology, continuous functions, and so on. (en) En mathématiques, le terme « morphisme » désigne une notion fondamentale permettant de comparer et de relier des objets mathématiques entre eux. En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre. (fr) In matematica, per morfismo si intende in generale una astrazione di un processo che trasforma una struttura astratta in un'altra mantenendo alcune caratteristiche "strutturali" della prima. Va notato che non si esclude che un morfismo trasformi una struttura in se stessa (v.o. endomorfismo e automorfismo). La nozione di morfismo risulta quindi centrale nella matematica e in particolare per l'algebra astratta e per la geometria. Lo studio generale dei morfismi si colloca nella teoria delle categorie. (it) In de wiskunde is een morfisme een abstractie die is afgeleid van structuurbewarende afbeeldingen tussen twee wiskundige structuren. De studie van morfismen en van de structuren (de zogenaamde objecten) waarover deze zijn gedefinieerd, staat centraal in de categorietheorie. Een groot deel van de terminologie met betrekking tot morfismen, alsmede de intuïtie die daaraan ten grondslag ligt, komt van concrete categorieën, waar de objecten verzamelingen zijn met enige aanvullende structuur, en morfismen afbeeldingen zijn die deze structuur bewaren. In het algemeen zijn morfismen niet noodzakelijkerwijs afbeeldingen, en de objecten waarop morfismen worden gedefinieerd niet per se verzamelingen. In plaats daarvan wordt een morfisme vaak beschouwd als een pijl die een object dat het domein wordt (nl) Em muitos campos da matemática, morfismo se refere ao mapeamento de uma estrutura matemática a outra de forma que a estrutura é preservada. A noção de morfismo ocorre bastante na matemática contemporânea. Em álgebra, são transformações lineares, na teoria dos conjuntos são funções, na topologia são funções continuas e assim por diante. (pt) Inom kategoriteori, en abstrakt generalisering av många områden av matematiken, är morfismer eller morfier generaliseringar av funktioner. De har därför flera av de egenskaper som funktioner har, som att man kan bilda "sammansättningar" av morfismer på liknande sätt som funktionssammansättningar. I konkreta kategorier är också morfismer funktioner med vissa speciella egenskaper, men för kategorier i allmänhet behöver inte detta vara fallet. (sv) |
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