Group ring (original) (raw)
Grupový okruh je termín z matematiky, přesněji z abstraktní algebry, kterým se označuje okruh a zároveň modul vytvořený daným způsobem z libovolné dané grupy a okruhu.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Grupový okruh je termín z matematiky, přesněji z abstraktní algebry, kterým se označuje okruh a zároveň modul vytvořený daným způsobem z libovolné dané grupy a okruhu. (cs) In algebra, a group ring is a free module and at the same time a ring, constructed in a natural way from any given ring and any given group. As a free module, its ring of scalars is the given ring, and its basis is the set of elements of the given group. As a ring, its addition law is that of the free module and its multiplication extends "by linearity" the given group law on the basis. Less formally, a group ring is a generalization of a given group, by attaching to each element of the group a "weighting factor" from a given ring. If the ring is commutative then the group ring is also referred to as a group algebra, for it is indeed an algebra over the given ring. A group algebra over a field has a further structure of a Hopf algebra; in this case, it is thus called a group Hopf algebra. The apparatus of group rings is especially useful in the theory of group representations. (en) En mathématiques, l'algèbre d'un groupe fini est un cas particulier d'algèbre d'un monoïde qui s'inscrit dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini. Une algèbre d'un groupe fini est la donnée d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension l'ordre du groupe et d'une base indexée par le groupe. La multiplication des éléments de la base est obtenue par la composition des index à l'aide de la loi du groupe, elle est prolongée sur toute la structure par linéarité. Une telle structure est une algèbre semi-simple, elle dispose de toute une théorie dont le théorème d'Artin-Wedderburn est le pilier. Cette approche apporte un nouvel angle d'analyse pour la représentation des groupes. Elle permet d'établir par exemple, le théorème de réciprocité de Frobenius, celui d'Artin ou par exemple le (en). (fr) 추상대수학에서 군환(群環, 영어: group ring 그룹링[*])은 군의 원소로 생성되는 자유 가군이다. 가군과 환의 구조를 가진다. (ko) 代数学において、与えられた群および環に対する群環（ぐんかん、英: group ring）は、与えられた群と環の構造を自然に用いて構成される。群環はそれ自身が、与えられた環を係数環とし与えられた群をとする自由加群であって、なおかつ与えられた群の演算を生成元の間の演算として「線型に」延長したものを積とする環を成す。俗に言えば、群環は与えられた群の与えられた環の元を「重み」とする形式和の全体である。与えられた環が可換であるとき、群環は与えられた環上の多元環（代数）の構造を持ち、群多元環（ぐんたげんかん、英: group algebra; 群代数）（あるいは短く群環）と呼ばれる。 群環は、特に有限群の表現論において重要な役割を果たす代数的構造である。無限群の群環はしばしば位相を加味した議論を必要とするため位相群の群環の項へ譲り、本項は主に有限群の群環を扱う。また、より一般の議論は群ホップ代数を見よ。 (ja) Групове кільце — кільце, що є водночас вільним модулем, яке можна побудувати за даним кільцем та даною групою. Неформально кажучи, групове кільце — це вільний модуль над кільцем , базис якого перебуває в бієктивній відповідності до елементів групи , множення базисних елементів визначається як множення елементів групи, а на інші елементи множення «поширюється за лінійністю». Апарат групових кілець особливо корисний у теорії представлень груп. (uk) 在抽象代數中，群環是從一個群 及交換環 構造出的環，通常記為 或 。其定義為： （換言之，這是由基底 張出的自由 -模） 其上的 -線性乘法運算由 給出。 對 -模的加法與上述乘法形成一個 -代數。乘法單位元素為 。 最常用的是 或 的群環。對於後者， 成為 的表示：；若 為有限群，則稱此表示為。正則表示與有限群的表示理論有密切的聯繫。 對於無窮階的群 ，迄今對群環的結構仍所知甚少。對於局部緊拓撲群，通常採用 或 對摺積構成的代數，較有利於研究群的拓撲性質及其表示。 (zh) Групповое кольцо — это кольцо, являющееся в то же время свободным модулем, которое можно построить по данному кольцу и данной группе. Неформально говоря, групповое кольцо — это свободный модуль над кольцом базис которого находится в биективном соответствии с элементами группы умножение базисных элементов определяется как умножение элементов группы, а на остальные элементы умножение «распространяется по линейности». Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп. (ru) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Group_ring_UMP.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://books.google.com/books/about/The_Algebraic_Structure_of_Group_Rings.html%3Fid=2xrSHX-rpGMC https://books.google.com/books%3Fid=7m9P9hM4pCQC&printsec=frontcover&dq=isbn:9781402002380&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwi20u2iwdDjAhULG80KHYM8DcQQ6AEIKjAA%23v=onepage&q&f=false https://books.google.com/books/about/Representation_Theory_of_Finite_Groups_a.html%3Fid=RKwjeZKMr8oC |
| dbo:wikiPageID | 349223 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageInterLanguageLink | dbpedia-de:Monoidring |
| dbo:wikiPageLength | 21702 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1100070294 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Root_of_unity dbr:Elementary_amenable_group dbr:Module_(mathematics) dbr:Monoid_ring dbr:Prime_ring dbr:Algebra_over_a_field dbr:List_of_mathematical_jargon dbr:Vector_space dbr:Incidence_algebra dbr:Integral_domain dbr:Jacobson_radical dbr:Quaternions dbc:Ring_theory dbr:Compact_support dbr:Complex_numbers dbr:Convolution dbc:Harmonic_analysis dbr:Maschke's_theorem dbr:General_linear_group dbr:Subring dbr:Endomorphism dbr:Contraposition dbr:Nilpotent dbr:Zero_divisor dbr:Hopf_algebra dbr:Ideal_(ring_theory) dbr:Idempotent_(ring_theory) dbr:Subgroup dbr:Matrix_ring dbr:Adjoint_functors dbr:Topological_group dbr:Irreducible_representation dbr:Irving_Kaplansky dbr:Laurent_polynomial dbr:Algebra dbr:Algebra_over_a_ring dbr:Cyclic_group dbr:Charles_W._Curtis dbr:Fourier_transform_on_finite_groups dbr:Kaplansky's_conjectures dbr:Length_function dbr:Product_of_rings dbr:Quaternion_group dbr:Quiver_(mathematics) dbr:Regular_representation dbr:Ring_(mathematics) dbr:Group_(mathematics) dbr:Group_homomorphism dbc:Representation_theory_of_groups dbr:Irving_Reiner dbr:Coxeter_group dbr:Abelian_group dbr:Character_theory dbr:Characteristic_(algebra) dbr:Support_(mathematics) dbr:Discrete_topology dbr:Torsion-free_group dbr:Modular_representation_theory dbr:Zero_divisors dbr:Polynomial_ring dbr:Class_function dbr:Filtered_algebra dbr:Free_group dbr:Free_module dbr:Group_Hopf_algebra dbr:Group_algebra_of_a_locally_compact_group dbr:Group_representation dbr:Group_of_units dbr:Real_vector_space dbr:Indicator_function dbr:Infinite_cyclic_group dbr:Category_algebra dbr:Category_of_groups dbr:Category_of_rings dbr:Category_theory dbr:Semisimple_ring dbr:Word_metric dbr:Finite_group dbr:Categorical_algebra dbr:Orderable_group dbr:Free_vector_space dbr:Basis_vector dbr:Center_of_a_group dbr:Left_adjoint dbr:Virtually_abelian_group dbr:Cofinitely dbr:File:Group_ring_UMP.svg |
| dbp:author | A. A. Bovdi (en) |
| dbp:id | G/g045220 (en) |
| dbp:title | Group algebra (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:About dbt:Expand_section dbt:ISBN dbt:Main dbt:Reflist dbt:Var dbt:Mapsto |
| dcterms:subject | dbc:Ring_theory dbc:Harmonic_analysis dbc:Representation_theory_of_groups |
| gold:hypernym | dbr:Module |
| rdf:type | dbo:Software |
| rdfs:comment | Grupový okruh je termín z matematiky, přesněji z abstraktní algebry, kterým se označuje okruh a zároveň modul vytvořený daným způsobem z libovolné dané grupy a okruhu. (cs) 추상대수학에서 군환(群環, 영어: group ring 그룹링[*])은 군의 원소로 생성되는 자유 가군이다. 가군과 환의 구조를 가진다. (ko) 代数学において、与えられた群および環に対する群環（ぐんかん、英: group ring）は、与えられた群と環の構造を自然に用いて構成される。群環はそれ自身が、与えられた環を係数環とし与えられた群をとする自由加群であって、なおかつ与えられた群の演算を生成元の間の演算として「線型に」延長したものを積とする環を成す。俗に言えば、群環は与えられた群の与えられた環の元を「重み」とする形式和の全体である。与えられた環が可換であるとき、群環は与えられた環上の多元環（代数）の構造を持ち、群多元環（ぐんたげんかん、英: group algebra; 群代数）（あるいは短く群環）と呼ばれる。 群環は、特に有限群の表現論において重要な役割を果たす代数的構造である。無限群の群環はしばしば位相を加味した議論を必要とするため位相群の群環の項へ譲り、本項は主に有限群の群環を扱う。また、より一般の議論は群ホップ代数を見よ。 (ja) Групове кільце — кільце, що є водночас вільним модулем, яке можна побудувати за даним кільцем та даною групою. Неформально кажучи, групове кільце — це вільний модуль над кільцем , базис якого перебуває в бієктивній відповідності до елементів групи , множення базисних елементів визначається як множення елементів групи, а на інші елементи множення «поширюється за лінійністю». Апарат групових кілець особливо корисний у теорії представлень груп. (uk) 在抽象代數中，群環是從一個群 及交換環 構造出的環，通常記為 或 。其定義為： （換言之，這是由基底 張出的自由 -模） 其上的 -線性乘法運算由 給出。 對 -模的加法與上述乘法形成一個 -代數。乘法單位元素為 。 最常用的是 或 的群環。對於後者， 成為 的表示：；若 為有限群，則稱此表示為。正則表示與有限群的表示理論有密切的聯繫。 對於無窮階的群 ，迄今對群環的結構仍所知甚少。對於局部緊拓撲群，通常採用 或 對摺積構成的代數，較有利於研究群的拓撲性質及其表示。 (zh) Групповое кольцо — это кольцо, являющееся в то же время свободным модулем, которое можно построить по данному кольцу и данной группе. Неформально говоря, групповое кольцо — это свободный модуль над кольцом базис которого находится в биективном соответствии с элементами группы умножение базисных элементов определяется как умножение элементов группы, а на остальные элементы умножение «распространяется по линейности». Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп. (ru) In algebra, a group ring is a free module and at the same time a ring, constructed in a natural way from any given ring and any given group. As a free module, its ring of scalars is the given ring, and its basis is the set of elements of the given group. As a ring, its addition law is that of the free module and its multiplication extends "by linearity" the given group law on the basis. Less formally, a group ring is a generalization of a given group, by attaching to each element of the group a "weighting factor" from a given ring. (en) En mathématiques, l'algèbre d'un groupe fini est un cas particulier d'algèbre d'un monoïde qui s'inscrit dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini. Une algèbre d'un groupe fini est la donnée d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension l'ordre du groupe et d'une base indexée par le groupe. La multiplication des éléments de la base est obtenue par la composition des index à l'aide de la loi du groupe, elle est prolongée sur toute la structure par linéarité. Une telle structure est une algèbre semi-simple, elle dispose de toute une théorie dont le théorème d'Artin-Wedderburn est le pilier. (fr) |
| rdfs:label | Grupový okruh (cs) Algèbre d'un groupe fini (fr) Group ring (en) 군환 (ko) 群環 (ja) Групповое кольцо (ru) Групове кільце (uk) 群環 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Group ring wikidata:Group ring dbpedia-cs:Group ring dbpedia-fr:Group ring dbpedia-he:Group ring dbpedia-ja:Group ring dbpedia-ko:Group ring dbpedia-ru:Group ring dbpedia-uk:Group ring dbpedia-zh:Group ring https://global.dbpedia.org/id/2Sh5k |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Group_ring?oldid=1100070294&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Group_ring_UMP.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Group_ring |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:KG-module dbr:Integral_group_ring dbr:Complex_group_ring |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Quaternion dbr:Epimorphism dbr:List_of_abstract_algebra_topics dbr:List_of_algebras dbr:Module_(mathematics) dbr:Monoid_ring dbr:System_of_imprimitivity dbr:Partial_group_algebra dbr:Partition_algebra dbr:Representation_theory dbr:Semi-simplicity dbr:Algebra_over_a_field dbr:Algebraic_K-theory dbr:Unit_(ring_theory) dbr:Depth_of_noncommutative_subrings dbr:Donald_S._Passman dbr:Double_coset dbr:Incidence_algebra dbr:Inder_Bir_Singh_Passi dbr:Injective_module dbr:Iwahori–Hecke_algebra dbr:Iwasawa_algebra dbr:Kurosh_problem dbr:L-theory dbr:List_of_group_theory_topics dbr:List_of_representation_theory_topics dbr:Witt_group dbr:*-algebra dbr:Crossed_module dbr:Maschke's_theorem dbr:Orientation_character dbr:Serial_module dbr:Quaternionic_representation dbr:Christopher_Deninger dbr:Glossary_of_algebraic_topology dbr:Glossary_of_representation_theory dbr:Braided_Hopf_algebra dbr:Monstrous_moonshine dbr:Conjugacy_class_sum dbr:Crossed_product dbr:Equivariant_map dbr:Order_(ring_theory) dbr:Ore_extension dbr:Macdonald_polynomials dbr:Stickelberger's_theorem dbr:Stone–von_Neumann_theorem dbr:Zero_divisor dbr:Frobenius_algebra dbr:Frobenius_reciprocity dbr:Frobenius–Schur_indicator dbr:Hajós's_theorem dbr:Hopf_algebra dbr:Normal_basis dbr:Polycyclic_group dbr:Principal_indecomposable_module dbr:Malcev_Lie_algebra dbr:Spectrum_of_a_ring dbr:Symplectic_vector_space dbr:Brumer–Stark_conjecture dbr:Domain_(ring_theory) dbr:G-module dbr:Hecke_algebra_of_a_finite_group dbr:Hecke_operator dbr:Laurent_polynomial dbr:Linear_group dbr:Local_ring dbr:Representation_theory_of_finite_groups dbr:Representation_theory_of_the_symmetric_group dbr:Nil-Coxeter_algebra dbr:Wall's_finiteness_obstruction dbr:Adolfas_Jucys dbr:Algimantas_Adolfas_Jucys dbr:Factor_system dbr:Brauer_algebra dbr:Brauer_tree dbr:Noncommutative_ring dbr:Cellular_algebra dbr:Central_series dbr:Direct_sum dbr:Faithful_representation dbr:Farrell–Jones_conjecture dbr:Formal_group_law dbr:Fourier_transform_on_finite_groups dbr:Graded_ring dbr:Isomorphism_of_categories dbr:Jucys–Murphy_element dbr:Kaplansky's_conjectures dbr:Kazhdan's_property_(T) dbr:Length_function dbr:Universal_enveloping_algebra dbr:Group_algebra dbr:Quaternion_group dbr:Quiver_(mathematics) dbr:Regular_representation dbr:Resolution_(algebra) dbr:Ring_(mathematics) dbr:Ring_theory dbr:Group_cohomology dbr:Atiyah_conjecture dbr:Coxeter_group dbr:The_Classical_Groups dbr:Augmentation_ideal dbr:Abstract_algebra dbr:Affine_Hecke_algebra dbr:Affine_braid_group dbr:Affine_monoid dbr:Birman–Wenzl_algebra dbr:Support_(mathematics) dbr:Surgery_theory dbr:Cohomological_dimension dbr:Eilenberg–Ganea_theorem dbr:Herbrand–Ribet_theorem dbr:Tensor_product_of_representations dbr:Tor_functor dbr:Whitehead_torsion dbr:Modular_representation_theory dbr:Reflection_theorem dbr:Split-biquaternion dbr:Arthur_Bartels dbr:Associative_algebra dbr:Augmentation_(algebra) dbr:Polynomial_ring dbr:Pontryagin_duality dbr:Split-complex_number dbr:Circulant_matrix dbr:Class_function dbr:Fibonacci_group dbr:Field_extension dbr:Filtered_algebra dbr:Free_abelian_group dbr:Free_independence dbr:Grothendieck_group dbr:Group_algebra_of_a_locally_compact_group dbr:Groupoid_algebra dbr:Induced_representation dbr:Category_algebra dbr:Category_of_representations dbr:Change_of_rings dbr:Semidirect_product dbr:Schur's_lemma dbr:Unitary_representation dbr:Surgery_exact_sequence dbr:Exp_algebra dbr:Ext_functor dbr:Symmetric_group dbr:Finitely_generated_algebra dbr:Finiteness_properties_of_groups dbr:Fitting_lemma dbr:Stable_module_category dbr:Separable_algebra dbr:Semisimple_module dbr:Semisimple_representation dbr:Yetter–Drinfeld_category dbr:Young_symmetrizer dbr:Peak_algebra dbr:Simple_module dbr:Representation_ring dbr:Shapiro's_lemma dbr:Ted_Hurley dbr:KG-module dbr:Integral_group_ring dbr:Complex_group_ring |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Group_ring |
