Kepler conjecture (original) (raw)
La Conjectura de Kepler és una conjectura ideada pel matemàtic i astrofísic alemany Johannes Kepler (1571-1630), el 1611. La conjectura diu que si apilem un conjunt d'esferes iguals, la densitat màxima es pot assolir amb una estructura piramidal de les esferes. Aquesta densitat equivaldria a un 74,04%.
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| dbo:abstract | La Conjectura de Kepler és una conjectura ideada pel matemàtic i astrofísic alemany Johannes Kepler (1571-1630), el 1611. La conjectura diu que si apilem un conjunt d'esferes iguals, la densitat màxima es pot assolir amb una estructura piramidal de les esferes. Aquesta densitat equivaldria a un 74,04%. (ca) في الرياضيات، حدسية كيبلر هي حدسية حول تعبئة الكرات في الفضاء الإقليدي.سميت هذه الحدسية هكذا نسبة لعالم الفلك الألماني يوهانس كيبلر والذي عاش في القرن السابع عشر ميلادي. تنص هذه الحدسية على أن لايوجد أي ترتيب لتعبئة كرات متساوية الحجم يكون ذو كثافة أكبر من كثافة التعبئة المتراصة في شكل هرم مسدس HCP، حيث تكون هذه الكثافة تساوي حوالي 74%. (ar) Die Keplersche Vermutung ist die von Johannes Kepler geäußerte Vermutung, dass bei der dichtesten Kugelpackung im dreidimensionalen euklidischen Raum keine Anordnung von gleich großen Kugeln eine größere mittlere Dichte aufweist als die kubisch-flächenzentrierte Packung und die hexagonale Packung. Beide Packungen haben die gleiche mittlere Dichte von etwas mehr als 74 Prozent. 1998 gab Thomas Hales bekannt, dass er einen Beweis für die Keplersche Vermutung gefunden habe. Der Computerbeweis überzeugte zunächst nicht alle Mathematiker. Durch den 2017 veröffentlichten formalen Beweis von Hales und Mitarbeitern gilt die Keplersche Vermutung als bewiesen. (de) The Kepler conjecture, named after the 17th-century mathematician and astronomer Johannes Kepler, is a mathematical theorem about sphere packing in three-dimensional Euclidean space. It states that no arrangement of equally sized spheres filling space has a greater average density than that of the cubic close packing (face-centered cubic) and hexagonal close packing arrangements. The density of these arrangements is around 74.05%. In 1998, Thomas Hales, following an approach suggested by , announced that he had a proof of the Kepler conjecture. Hales' proof is a proof by exhaustion involving the checking of many individual cases using complex computer calculations. Referees said that they were "99% certain" of the correctness of Hales' proof, and the Kepler conjecture was accepted as a theorem. In 2014, the Flyspeck project team, headed by Hales, announced the completion of a formal proof of the Kepler conjecture using a combination of the Isabelle and HOL Light proof assistants. In 2017, the formal proof was accepted by the journal Forum of Mathematics, Pi. (en) La conjecture de Kepler est une ancienne conjecture (démontrée en 1998 et certifiée en 2014) formulée par le physicien, astronome et mathématicien Johannes Kepler en 1611. Cette conjecture énonce que, pour un empilement de sphères égales, en espace libre, la densité maximale est atteinte pour un empilement compact de plans compacts. Cette densité d vaut environ 74 % : . Dans un plan compact chaque sphère est au contact de six autres. Dans l'empilement compact de deux plans compacts chaque sphère du plan supérieur est posée dans le creux formé par trois sphères du plan inférieur en contact deux à deux. Si un plan compact est noté A, les autres plans compacts peuvent être de type A, B ou C selon leur décalage horizontal par rapport au plan A. L'empilement compact est réalisé par l'empilement de plans A, B ou C de telle sorte que deux plans successifs ne soient pas du même type : ABABAB… (empilement hc, pour hexagonal compact), ABCABCABC… (empilement cfc, pour cubique à faces centrées) mais aussi ABCBABCBABCB… et n'importe quel autre succession vérifiant la condition ci-dessus, même non périodique. László Fejes Tóth démontre en 1953 que la conjecture de Kepler peut être réduite à un problème à un nombre fini de paramètres. (fr) La conjetura de Kepler fue formulada por el físico, matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler en 1611. Esta conjetura afirma que si apilamos esferas iguales, la densidad máxima se alcanza con una apilamiento piramidal de caras centradas. Esta densidad es aproximadamente del 74%. En 1998 anunció que había demostrado la conjetura de Kepler. Fue publicada en Annals of Mathematics. La comprobación de Hales es una demostración por casos en la que se prueban agrupamientos mediante complejos cálculos de computadora. Hales formuló una ecuación de 150 variables que recogía cinco mil posibles agrupamientos de esferas iguales. Los doce científicos seleccionados por Annals para realizar la revisión por pares comentaron que estaban al "99% seguros" de la exactitud de la prueba de Hales, pero que era imposible revisar los tres gigabytes de códigos. Sin embargo, el método utilizado por Hales en la demostración no es exhaustivo, por lo que no está dilucidado el problema. Por tanto, la conjetura de Kepler está más cerca de convertirse en un teorema. El autor de la solución se dedicó a crear el proyecto Flyspeck, consistente en un programa que verifica paso a paso todas las afirmaciones lógicas de la solución matemática, verificándola en lugar de los propios matemáticos. El 9 de agosto de 2014, el equipo de Hales anunció que el programa que crearon logró verificar la solución de la Conjetura de Kepler propuesta por Hales, y que no encontró errores. “Esta tecnología excluye a los árbitros matemáticos del proceso de verificación. Su opinión sobre la corrección de las pruebas ya no importa más”, afirma Hales, citado por la revista ‘New Scientist‘. La prueba del problema, verificada por una computadora, puede abrir una nueva era en las matemáticas donde las máquinas harán el “trabajo pesado” liberando a los científicos para que se puedan dedicar al “pensamiento más profundo”. En junio de 2017, la demostración formal de la Conjetura de Kepler fue aceptada en la revista Forum of Mathematics. (es) 케플러의 추측은 3차원 공간에서 여러 개의 구를 가장 밀집하게 배열하는 방법은 육방 최밀 격자 혹은 면심 입방 격자 구조라는 추측으로, 요하네스 케플러가 처음 제안했다. 규칙적 격자 배열의 경우는 이 추측이 성립한다. 이것은 카를 프리드리히 가우스가 증명했으며, 이때의 밀도는 이다. 케플러의 추측은 배열 방식이 규칙적 격자가 아닌 것을 포함해도 성립한다는 것이다. 단, 육방 최밀 격자 혹은 면심 입방 격자의 층을 뒤섞어서 배열할 수 있으므로 케플러의 추측이 맞다면 불규칙적 격자의 최대 효율도 규칙적 배열과 같다. 1998년 (Thomas Hales)는 컴퓨터를 이용한 증명을 제안했다. 해당 논문은 약 250쪽이며, 3기가바이트의 컴퓨터 데이터가 포함된다. 컴퓨터로 계산한 부분에 대해 컴퓨터 재현을 통해 검증이 되어 일반적으로 증명으로 받아들여졌으며, 2017년에 형식적인 증명이 나왔다. (ko) Postulat Keplera dotyczy nieograniczonych brył powstałych z kul i maksymalizacji upakowania nieskończenie wielu kul w przestrzeni (nie mylić z ).Rozwiązanie tego teoretycznego problemu ma istotne znaczenie w wielu praktycznych zagadnieniach, m.in. w krystalografii. Postulat Keplera głosi: Trójwymiarowe kule w trójwymiarowej przestrzeni najciaśniej da się umieścić, gdy ich środki tworzą na płaszczyznach przekroju sześciokąty. Obrazowo można porównać optymalny, postulowany układ kul, z porządkiem piramidy z piłek albo jabłek, który powielamy w nieskończoność. Mimo że postulat Keplera został powszechnie zaakceptowany i nie znaleziono żadnego przykładu, który by mu zaprzeczał, a sam postulat wydaje się trywialny, długo nie potrafiono go udowodnić. Podstawy teoretyczne matematycznego dowodu postulatu Keplera opublikował w 1953 r. László Fejes Tóth, a pełny dowód, wymagający ze względu na swoją złożoność stosowania komputerowej analizy symbolicznej, przeprowadził i opublikował w 2005 roku Thomas Hales. (pl) In matematica la congettura di Keplero è una congettura riguardante l'impacchettamento di sfere nello spazio euclideo tridimensionale. Essa afferma che non esiste alcun modo di sistemare delle sfere nello spazio con densità media superiore a quella dell'impacchettamento cubico a facce centrate o a quella dell'impacchettamento esagonale. La densità di questi due modi di sistemare le sfere è leggermente maggiore del 74%. Nel 1998 , attualmente professore all'università di Pittsburgh, annunciò di possedere una dimostrazione della congettura di Keplero. La sua dimostrazione è fatta per esaustione e prevede di controllare molti casi singoli mediante complessi calcoli al computer. I referee, dopo aver letto l'articolo, annunciarono di essere certi "al 99%" della correttezza della dimostrazione di Hales. La dimostrazione formale della congettura di Keplero è stata completata e verificata nel 2014. (it) ケプラー予想（ケプラーよそう、英: Kepler conjecture ）とは、17世紀の数学者・天文学者ヨハネス・ケプラーに由来する、三次元ユークリッド空間における球充填に関する数学的な予想である。それによると、等しい大きさの球で空間を充填（パッキング）するとき、平均密度が立方最密充填配置（面心立方）ならびに六方最密充填配置を越えることはない。これらの配置の密度はおよそ74.05%である。 1998年にはが提案した方法に従ってケプラー予想を証明したと発表した。多数のケース一つ一つを複雑なコンピュータシミュレーションでチェックするであった。査読者は証明が正しいことを「99%確信している」と評した。よってケプラー予想は定理として受け入れられる寸前に来ている。2014年、ヘイルズに率いられたフライスペック・プロジェクト（英: the Flyspeck project）のチームは、定理証明支援ツールであるおよびを組み合わせて用いることにより、ケプラー予想の形式的証明を完了したと発表した。 (ja) Het vermoeden van Kepler, naar Johannes Kepler genoemd, is een vermoeden over een onderdeel van de wiskunde. Het gaat over de stapeling van bollen in de Euclidische ruimte in drie dimensies. Het vermoeden luidt dat er een dichtst mogelijke bolstapeling is, dus een stapeling met een pakkingsfactor, die groter of gelijk is aan enige andere stapeling. De pakkingsfactor van deze schikkingen is iets groter dan 74%. Er zijn verschillende configuraties die deze dichtst mogelijke stapeling halen. Thomas Hales kondigde in 1998 aan dat hij een bewijs had voor het vermoeden van Kepler. Het bewijs volgt een aanpak, die in 1953 al door László Fejes Tóth werd voorgesteld. Het bewijs van Hales, een bewijs door gevalsonderscheiding, controleert een groot aantal individuele gevallen met behulp van ingewikkelde computerberekeningen. Referenten hebben gezegd dat ze "99% zeker" zijn van de juistheid van het bewijs van Hales. Het vermoeden van Kepler is dus dicht bij acceptatie als stelling. (nl) A conjectura de Kepler é uma conjectura formulada pelo físico, matemático e astrônomo Johannes Kepler em 1611. Esta conjectura afirma que se empilhamos esferas iguais, a densidade máxima é alcançada com um empilhamento piramidal de faces centradas. Esta densidade é aproximadamente de 74%. Em 1998 Thomas Hales anunciou que havia demostrado a conjectura de Kepler. Foi publicada em Annals of Mathematics. A comprovação de Hales é uma demostração por casos na qual se provam agrupamentos mediante complexos cálculos computacionais. Hales formulou uma equação com 150 variáveis que reconhecia cinco mil possíveis agrupamentos de esferas iguais. Os doze matemáticos selecionados por Annals para realizar a revisão por pares comentaram que estavam "99% seguros" da exatidão da demonstração de Hales, mas que era impossível revisar os três gigabytes de códigos. (pt) Гипотеза Кеплера — подтверждённая математическая гипотеза о плотнейшей упаковке шаров равного размера в трёхмерном пространстве: наибольшую среднюю плотность имеет гранецентрированная кубическая упаковка и упаковки, равные ей по плотности. Сформулирована Иоганном Кеплером в трактате «О шестиугольных снежинках», вышедшем в 1611 году. Плотность гранецентрированной кубической упаковки: , где — суммарный объём шаров, — объём пространства, занимаемого шарами. Отношение берётся в пределе бесконечного числа шаров. Доказать гипотезу не удавалось на протяжении 400 лет. Сообщение о компьютерном доказательстве гипотезы появилось в 1998 году в работе математика . В 2003 году жюри из 12 экспертов, набранное журналом Annals of Mathematics, пришло к заключению, что доказательство Хейлса, скорее всего, верно. В 2005 году, в подтверждение этого, журнал опубликовал сокращённое доказательство, а в 2009 году другой журнал — полное доказательство.В 2014 году доказательство гипотезы было проверено при помощи компьютерной системы проверки доказательств.Таким образом, в настоящий момент утверждение гипотезы имеет статус доказанной математической теоремы. (ru) 克卜勒猜想（英語：Kepler conjecture）是以十七世紀德國天文學家约翰内斯·开普勒為名的一個數學猜想。此猜想是關於在三維歐幾里德空間中最佳的裝球方式（即留下的空隙最小的裝球方式）的。此猜想認為在每個球大小相同的狀況下，沒有任何裝球方式的「密度」大于面心立方與六方最密堆積的「密度」，即≈74.048%。 在1998年，托马斯·黑尔斯（Thomas Callister Hales）藉由費耶斯‧托特（)）所提出的方式，提出了一個關於此猜想的證明。黑爾斯利用窮舉法（Proof by exhaustion）的方式證明此猜想，其證明大量地使用電腦程式的運算。審稿者曾說他們對於黑爾斯證明的正確性有99%的確定性，故克卜勒猜想目前已幾乎可說是個定理了。2014年由黑尔斯引导的Project FlysPecK完成了对克卜勒猜想的形式化证明。 (zh) Гіпо́теза Ке́плера — гіпотеза, що найщільніше пакування куль у тривимірному просторі забезпечує . Гіпотезу сформулював Йоганн Кеплер у трактаті «Про шестикутні сніжинки» (1611).Остаточно вона була доведена 2014 року. (uk) |
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(ar) 케플러의 추측은 3차원 공간에서 여러 개의 구를 가장 밀집하게 배열하는 방법은 육방 최밀 격자 혹은 면심 입방 격자 구조라는 추측으로, 요하네스 케플러가 처음 제안했다. 규칙적 격자 배열의 경우는 이 추측이 성립한다. 이것은 카를 프리드리히 가우스가 증명했으며, 이때의 밀도는 이다. 케플러의 추측은 배열 방식이 규칙적 격자가 아닌 것을 포함해도 성립한다는 것이다. 단, 육방 최밀 격자 혹은 면심 입방 격자의 층을 뒤섞어서 배열할 수 있으므로 케플러의 추측이 맞다면 불규칙적 격자의 최대 효율도 규칙적 배열과 같다. 1998년 (Thomas Hales)는 컴퓨터를 이용한 증명을 제안했다. 해당 논문은 약 250쪽이며, 3기가바이트의 컴퓨터 데이터가 포함된다. 컴퓨터로 계산한 부분에 대해 컴퓨터 재현을 통해 검증이 되어 일반적으로 증명으로 받아들여졌으며, 2017년에 형식적인 증명이 나왔다. (ko) ケプラー予想（ケプラーよそう、英: Kepler conjecture ）とは、17世紀の数学者・天文学者ヨハネス・ケプラーに由来する、三次元ユークリッド空間における球充填に関する数学的な予想である。それによると、等しい大きさの球で空間を充填（パッキング）するとき、平均密度が立方最密充填配置（面心立方）ならびに六方最密充填配置を越えることはない。これらの配置の密度はおよそ74.05%である。 1998年にはが提案した方法に従ってケプラー予想を証明したと発表した。多数のケース一つ一つを複雑なコンピュータシミュレーションでチェックするであった。査読者は証明が正しいことを「99%確信している」と評した。よってケプラー予想は定理として受け入れられる寸前に来ている。2014年、ヘイルズに率いられたフライスペック・プロジェクト（英: the Flyspeck project）のチームは、定理証明支援ツールであるおよびを組み合わせて用いることにより、ケプラー予想の形式的証明を完了したと発表した。 (ja) 克卜勒猜想（英語：Kepler conjecture）是以十七世紀德國天文學家约翰内斯·开普勒為名的一個數學猜想。此猜想是關於在三維歐幾里德空間中最佳的裝球方式（即留下的空隙最小的裝球方式）的。此猜想認為在每個球大小相同的狀況下，沒有任何裝球方式的「密度」大于面心立方與六方最密堆積的「密度」，即≈74.048%。 在1998年，托马斯·黑尔斯（Thomas Callister Hales）藉由費耶斯‧托特（)）所提出的方式，提出了一個關於此猜想的證明。黑爾斯利用窮舉法（Proof by exhaustion）的方式證明此猜想，其證明大量地使用電腦程式的運算。審稿者曾說他們對於黑爾斯證明的正確性有99%的確定性，故克卜勒猜想目前已幾乎可說是個定理了。2014年由黑尔斯引导的Project FlysPecK完成了对克卜勒猜想的形式化证明。 (zh) Гіпо́теза Ке́плера — гіпотеза, що найщільніше пакування куль у тривимірному просторі забезпечує . Гіпотезу сформулював Йоганн Кеплер у трактаті «Про шестикутні сніжинки» (1611).Остаточно вона була доведена 2014 року. (uk) Die Keplersche Vermutung ist die von Johannes Kepler geäußerte Vermutung, dass bei der dichtesten Kugelpackung im dreidimensionalen euklidischen Raum keine Anordnung von gleich großen Kugeln eine größere mittlere Dichte aufweist als die kubisch-flächenzentrierte Packung und die hexagonale Packung. Beide Packungen haben die gleiche mittlere Dichte von etwas mehr als 74 Prozent. (de) La conjetura de Kepler fue formulada por el físico, matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler en 1611. Esta conjetura afirma que si apilamos esferas iguales, la densidad máxima se alcanza con una apilamiento piramidal de caras centradas. Esta densidad es aproximadamente del 74%. En junio de 2017, la demostración formal de la Conjetura de Kepler fue aceptada en la revista Forum of Mathematics. (es) The Kepler conjecture, named after the 17th-century mathematician and astronomer Johannes Kepler, is a mathematical theorem about sphere packing in three-dimensional Euclidean space. It states that no arrangement of equally sized spheres filling space has a greater average density than that of the cubic close packing (face-centered cubic) and hexagonal close packing arrangements. The density of these arrangements is around 74.05%. (en) La conjecture de Kepler est une ancienne conjecture (démontrée en 1998 et certifiée en 2014) formulée par le physicien, astronome et mathématicien Johannes Kepler en 1611. Cette conjecture énonce que, pour un empilement de sphères égales, en espace libre, la densité maximale est atteinte pour un empilement compact de plans compacts. Cette densité d vaut environ 74 % : . László Fejes Tóth démontre en 1953 que la conjecture de Kepler peut être réduite à un problème à un nombre fini de paramètres. (fr) In matematica la congettura di Keplero è una congettura riguardante l'impacchettamento di sfere nello spazio euclideo tridimensionale. Essa afferma che non esiste alcun modo di sistemare delle sfere nello spazio con densità media superiore a quella dell'impacchettamento cubico a facce centrate o a quella dell'impacchettamento esagonale. La densità di questi due modi di sistemare le sfere è leggermente maggiore del 74%. (it) Het vermoeden van Kepler, naar Johannes Kepler genoemd, is een vermoeden over een onderdeel van de wiskunde. Het gaat over de stapeling van bollen in de Euclidische ruimte in drie dimensies. Het vermoeden luidt dat er een dichtst mogelijke bolstapeling is, dus een stapeling met een pakkingsfactor, die groter of gelijk is aan enige andere stapeling. De pakkingsfactor van deze schikkingen is iets groter dan 74%. Er zijn verschillende configuraties die deze dichtst mogelijke stapeling halen. (nl) Postulat Keplera dotyczy nieograniczonych brył powstałych z kul i maksymalizacji upakowania nieskończenie wielu kul w przestrzeni (nie mylić z ).Rozwiązanie tego teoretycznego problemu ma istotne znaczenie w wielu praktycznych zagadnieniach, m.in. w krystalografii. Postulat Keplera głosi: Trójwymiarowe kule w trójwymiarowej przestrzeni najciaśniej da się umieścić, gdy ich środki tworzą na płaszczyznach przekroju sześciokąty. Obrazowo można porównać optymalny, postulowany układ kul, z porządkiem piramidy z piłek albo jabłek, który powielamy w nieskończoność. (pl) A conjectura de Kepler é uma conjectura formulada pelo físico, matemático e astrônomo Johannes Kepler em 1611. Esta conjectura afirma que se empilhamos esferas iguais, a densidade máxima é alcançada com um empilhamento piramidal de faces centradas. Esta densidade é aproximadamente de 74%. Os doze matemáticos selecionados por Annals para realizar a revisão por pares comentaram que estavam "99% seguros" da exatidão da demonstração de Hales, mas que era impossível revisar os três gigabytes de códigos. (pt) Гипотеза Кеплера — подтверждённая математическая гипотеза о плотнейшей упаковке шаров равного размера в трёхмерном пространстве: наибольшую среднюю плотность имеет гранецентрированная кубическая упаковка и упаковки, равные ей по плотности. Сформулирована Иоганном Кеплером в трактате «О шестиугольных снежинках», вышедшем в 1611 году. Плотность гранецентрированной кубической упаковки: , где — суммарный объём шаров, — объём пространства, занимаемого шарами. Отношение берётся в пределе бесконечного числа шаров. (ru) |
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