Liouville function (original) (raw)
دالة ليوفيل، والتي عادة ما يرمز إليها ب (λ(n، سميت هكذا نسبة لعالم الرياضيات جوزيف ليوفيل.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | دالة ليوفيل، والتي عادة ما يرمز إليها ب (λ(n، سميت هكذا نسبة لعالم الرياضيات جوزيف ليوفيل. (ar) La funció de Liouville, denotada per λ(n) i atribuïda a Joseph Liouville, és una funció important en teoria de nombres. Si n és un enter positiu, aleshores λ(n) és definit com: on la és el nombre de factors primers de n, comptats amb multiplicitat. Vegeu la successió a l'OEIS. λ és una funció completament multiplicativa atès que Ω(n) és una funció additiva. Com que Ω(1) = 0 tenim que λ(1) = 1. La funció de Liouville satisfà la següent identitat: si n és un quadrat perfecte, i: altrament. (ca) Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet und ist wie folgt definiert: dabei bezeichnet die Ordnung von , also die Anzahl seiner (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren. Man definiert außerdem und . Die ersten Werte (beginnend bei ) sind 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, … (OEIS,A008836) (de) La función de Liouville, denotada por λ(n) y atribuida a Joseph Liouville, es una importante función en teoría de números. Si n es un entero positivo, entonces λ(n) es definido como: donde la función Ω(n) es el número de factores primos de n, contados con multiplicidad. Véase la (sucesión A008836 en OEIS). λ es una función completamente multiplicativa dado que Ω(n) es una función aditiva. Debido a que Ω(1) = 0 tenemos que λ(1) = 1. La función de Liouville satisface la siguiente identidad: si n es un cuadrado perfecto, y: de otro modo. (es) The Liouville Lambda function, denoted by λ(n) and named after Joseph Liouville, is an important arithmetic function. Its value is +1 if n is the product of an even number of prime numbers, and −1 if it is the product of an odd number of primes. Explicitly, the fundamental theorem of arithmetic states that any positive integer n can be represented uniquely as a product of powers of primes: where p1 < p2 < ... < pk are primes and the aj are positive integers. (1 is given by the empty product.) The prime omega functions count the number of primes, with (Ω) or without (ω) multiplicity: ω(n) = k,Ω(n) = a1 + a2 + ... + ak. λ(n) is defined by the formula (sequence in the OEIS). λ is completely multiplicative since Ω(n) is completely additive, i.e.: Ω(ab) = Ω(a) + Ω(b). Since 1 has no prime factors, Ω(1) = 0 so λ(1) = 1. It is related to the Möbius function μ(n). Write n as n = a2b where b is squarefree, i.e., ω(b) = Ω(b). Then The sum of the Liouville function over the divisors of n is the characteristic function of the squares: Möbius inversion of this formula yields The Dirichlet inverse of Liouville function is the absolute value of the Möbius function, the characteristic function of the squarefree integers. We also have that . (en) La fonction de Liouville, notée λ et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, définie par où Ω (n) désigne le nombre de facteurs premiers comptés avec multiplicité de l'entier n > 0 : Par exemple 12 = 2² × 3, d'où Ω (12) = 3). (fr) In teoria dei numeri, la funzione di Liouville, indicata con e così chiamata in onore di Joseph Liouville, è una funzione aritmetica completamente moltiplicativa definita come dove si intende che sia un intero positivo e la sua fattorizzazione sia Equivalentemente, la funzione di Liouville si può definire come: dove è il numero di fattori primi di contati nella loro molteplicità. Dal momento che è additiva, è completamente moltiplicativa. Inoltre e quindi La funzione di Lioville soddisfa le seguenti identità: La funzione di Liouville è collegata alla funzione zeta di Riemann dalla seguente formula: La serie di Lambert per la funzione di Liouville è con la somma a sinistra che è un caso particolare della funzione theta di Ramanujan e è una delle funzione theta di Jacobi. La funzione di Liouville è correlata alla funzione di Möbius dalla seguente identità: (it) De Liouville-functie, aangeduid met en genoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville, is een functie in de getaltheorie die verband houdt met het aantal priemdelers van het positieve natuurlijke getal . (nl) В теории чисел, функция Лиувилля — мультипликативная арифметическая функция, равная +1, если число является произведением чётного числа простых чисел, и −1 в противном случае. Точнее, пусть — факторизация числа, — простые числа, — натуральные числа. Тогда (последовательность в OEIS). Функция Лиувилля тесно связана с функцией Мёбиуса . Если , где — число, свободное от квадратов, то Сумма функции по всем делителям является характеристической функцией множества точных квадратов: Применение формулы обращения Мёбиуса даёт нам отсюда Абсолютная величина функции Мёбиуса является функцией, обратной к относительно свёртки Дирихле. (ru) Liouvilles λ-funktion, betecknad λ(n) och namngiven efter Joseph Liouville, är en viktig aritmetisk funktion inom talteorin. Om n är ett positivt heltal definieras λ(n) som: λ(n) = (-1)Ω(n), där Ω(n) är antalet primfaktorer till n räknade med multiplicitet. λ är komplett multiplikativ eftersom Ω(n) är komplett additiv. Vi har att Ω(1)=0 och därför att λ(1)=1. Liouville-funktionen satisfierar följande likhet: (sv) Функція Ліувіля — арифметична функція, що широко застосовується в теорії чисел. Названа на честь французького математика Жозефа Ліувіля. Для позначення функції переважно використовується λ(n). Для додатного n функція Ліувіля визначається: де Ω(n) — кількість простих дільників числа n, разом з мультиплікативністю. Тобто якщо то: Перші значення функції рівні 1, −1, −1, 1, −1, 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1, … (послідовність з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.) (uk) 劉維爾函數（Liouville function）是算術函數。對於正整數n， 其中表示的質因子數目（可重覆）（表示）。因為是完全加性函數，所以是完全積性函數。（） 對於狄利克雷卷積，的逆函數為，其中為默比烏斯函數。 λ和μ的關係還有： 1919年，喬治·波利亞猜想對於正整數，。1980年，找到反例。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Liouville.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 104463 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 10865 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1106857855 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Pál_Turán dbr:Mertens_function dbr:Multiplicative_function dbr:Mellin_transform dbr:Joseph_Liouville dbr:Riemann_hypothesis dbr:Riemann_zeta_function dbr:Prime_omega_function dbr:Fundamental_theorem_of_arithmetic dbr:George_Pólya dbr:Möbius_function dbr:Möbius_inversion_formula dbr:Arithmetic_function dbr:Mathematika dbr:Additive_function dbr:Divisor dbr:Lambert_series dbr:Dirichlet_series dbr:File:Liouville-harmonic.svg dbr:Pólya_conjecture dbr:Prime_number dbr:Perron's_formula dbr:Square_(algebra) dbr:Indicator_function dbr:Integer dbc:Multiplicative_functions dbr:Dirichlet_inverse dbr:Simple_zero dbr:Moebius_function dbr:Jacobi_theta_function dbr:Squarefree dbr:File:Liouville-big.svg dbr:File:Liouville-log.svg dbr:File:Liouville.svg dbr:Tokyo_Journal_of_Mathematics |
| dbp:author | A.F. Lavrik (en) |
| dbp:id | L/l059620 (en) |
| dbp:title | Liouville function (en) Liouville Function (en) |
| dbp:urlname | LiouvilleFunction (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Cite_journal dbt:Harvtxt dbt:Mathworld dbt:OEIS dbt:Radic dbt:Reflist |
| dct:subject | dbc:Multiplicative_functions |
| rdf:type | yago:WikicatArithmeticFunctions yago:WikicatMultiplicativeFunctions yago:Abstraction100002137 yago:Function113783816 yago:MathematicalRelation113783581 yago:Relation100031921 |
| rdfs:comment | دالة ليوفيل، والتي عادة ما يرمز إليها ب (λ(n، سميت هكذا نسبة لعالم الرياضيات جوزيف ليوفيل. (ar) La funció de Liouville, denotada per λ(n) i atribuïda a Joseph Liouville, és una funció important en teoria de nombres. Si n és un enter positiu, aleshores λ(n) és definit com: on la és el nombre de factors primers de n, comptats amb multiplicitat. Vegeu la successió a l'OEIS. λ és una funció completament multiplicativa atès que Ω(n) és una funció additiva. Com que Ω(1) = 0 tenim que λ(1) = 1. La funció de Liouville satisfà la següent identitat: si n és un quadrat perfecte, i: altrament. (ca) Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet und ist wie folgt definiert: dabei bezeichnet die Ordnung von , also die Anzahl seiner (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren. Man definiert außerdem und . Die ersten Werte (beginnend bei ) sind 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, … (OEIS,A008836) (de) La función de Liouville, denotada por λ(n) y atribuida a Joseph Liouville, es una importante función en teoría de números. Si n es un entero positivo, entonces λ(n) es definido como: donde la función Ω(n) es el número de factores primos de n, contados con multiplicidad. Véase la (sucesión A008836 en OEIS). λ es una función completamente multiplicativa dado que Ω(n) es una función aditiva. Debido a que Ω(1) = 0 tenemos que λ(1) = 1. La función de Liouville satisface la siguiente identidad: si n es un cuadrado perfecto, y: de otro modo. (es) La fonction de Liouville, notée λ et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, définie par où Ω (n) désigne le nombre de facteurs premiers comptés avec multiplicité de l'entier n > 0 : Par exemple 12 = 2² × 3, d'où Ω (12) = 3). (fr) De Liouville-functie, aangeduid met en genoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville, is een functie in de getaltheorie die verband houdt met het aantal priemdelers van het positieve natuurlijke getal . (nl) Liouvilles λ-funktion, betecknad λ(n) och namngiven efter Joseph Liouville, är en viktig aritmetisk funktion inom talteorin. Om n är ett positivt heltal definieras λ(n) som: λ(n) = (-1)Ω(n), där Ω(n) är antalet primfaktorer till n räknade med multiplicitet. λ är komplett multiplikativ eftersom Ω(n) är komplett additiv. Vi har att Ω(1)=0 och därför att λ(1)=1. Liouville-funktionen satisfierar följande likhet: (sv) Функція Ліувіля — арифметична функція, що широко застосовується в теорії чисел. Названа на честь французького математика Жозефа Ліувіля. Для позначення функції переважно використовується λ(n). Для додатного n функція Ліувіля визначається: де Ω(n) — кількість простих дільників числа n, разом з мультиплікативністю. Тобто якщо то: Перші значення функції рівні 1, −1, −1, 1, −1, 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1, … (послідовність з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.) (uk) 劉維爾函數（Liouville function）是算術函數。對於正整數n， 其中表示的質因子數目（可重覆）（表示）。因為是完全加性函數，所以是完全積性函數。（） 對於狄利克雷卷積，的逆函數為，其中為默比烏斯函數。 λ和μ的關係還有： 1919年，喬治·波利亞猜想對於正整數，。1980年，找到反例。 (zh) The Liouville Lambda function, denoted by λ(n) and named after Joseph Liouville, is an important arithmetic function. Its value is +1 if n is the product of an even number of prime numbers, and −1 if it is the product of an odd number of primes. Explicitly, the fundamental theorem of arithmetic states that any positive integer n can be represented uniquely as a product of powers of primes: where p1 < p2 < ... < pk are primes and the aj are positive integers. (1 is given by the empty product.) The prime omega functions count the number of primes, with (Ω) or without (ω) multiplicity: (en) In teoria dei numeri, la funzione di Liouville, indicata con e così chiamata in onore di Joseph Liouville, è una funzione aritmetica completamente moltiplicativa definita come dove si intende che sia un intero positivo e la sua fattorizzazione sia Equivalentemente, la funzione di Liouville si può definire come: dove è il numero di fattori primi di contati nella loro molteplicità. Dal momento che è additiva, è completamente moltiplicativa. Inoltre e quindi La funzione di Lioville soddisfa le seguenti identità: La serie di Lambert per la funzione di Liouville è (it) В теории чисел, функция Лиувилля — мультипликативная арифметическая функция, равная +1, если число является произведением чётного числа простых чисел, и −1 в противном случае. Точнее, пусть — факторизация числа, — простые числа, — натуральные числа. Тогда (последовательность в OEIS). Функция Лиувилля тесно связана с функцией Мёбиуса . Если , где — число, свободное от квадратов, то Сумма функции по всем делителям является характеристической функцией множества точных квадратов: Применение формулы обращения Мёбиуса даёт нам отсюда (ru) |
| rdfs:label | دالة ليوفيل (ar) Funció de Liouville (ca) Liouville-Funktion (de) Función de Liouville (es) Fonction de Liouville (fr) Liouville function (en) Funzione di Liouville (it) Liouville-functie (nl) Функция Лиувилля (ru) Liouvilles lambda-funktion (sv) 劉維爾函數 (zh) Функція Ліувіля (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Liouville function yago-res:Liouville function wikidata:Liouville function dbpedia-ar:Liouville function http://bs.dbpedia.org/resource/Liouvilleova_funkcija dbpedia-ca:Liouville function dbpedia-de:Liouville function dbpedia-es:Liouville function dbpedia-fr:Liouville function dbpedia-he:Liouville function dbpedia-hu:Liouville function dbpedia-it:Liouville function dbpedia-nl:Liouville function dbpedia-ru:Liouville function dbpedia-sh:Liouville function dbpedia-sl:Liouville function dbpedia-sv:Liouville function http://ta.dbpedia.org/resource/லியோவில்_சார்பியம் dbpedia-uk:Liouville function dbpedia-zh:Liouville function https://global.dbpedia.org/id/3ZBCJ |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Liouville_function?oldid=1106857855&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Liouville-big.svg wiki-commons:Special:FilePath/Liouville-harmonic.svg wiki-commons:Special:FilePath/Liouville-log.svg wiki-commons:Special:FilePath/Liouville.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Liouville_function |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Louisville_function dbr:Liouville's_function dbr:Liouville_lambda_function |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Bell_series dbr:Multiplicative_function dbr:Joseph_Liouville dbr:Riemann_hypothesis dbr:List_of_mathematical_functions dbr:List_of_number_theory_topics dbr:Louisville_function dbr:Möbius_function dbr:Arithmetic_function dbr:Completely_multiplicative_function dbr:Euler_product dbr:Dirichlet_series dbr:Pólya_conjecture dbr:Greek_letters_used_in_mathematics,_science,_and_engineering dbr:List_of_things_named_after_Joseph_Liouville dbr:Lambda_function dbr:Table_of_prime_factors dbr:Liouville's_function dbr:Liouville_lambda_function |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Liouville_function |
