Möbius function (original) (raw)

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دالة موبيوس (بالإنجليزية: Möbius function)‏ الكلاسيكية هي دالة جداءية مهمة في نظرية الأعداد وفي التوافقيات. سُميت هذه الدالة هكذا نسبة لعالم الرياضيات الألماني أوغست فيرديناند موبيوس.أنشأها موبيوس عام 1832.

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dbo:abstract دالة موبيوس (بالإنجليزية: Möbius function)‏ الكلاسيكية هي دالة جداءية مهمة في نظرية الأعداد وفي التوافقيات. سُميت هذه الدالة هكذا نسبة لعالم الرياضيات الألماني أوغست فيرديناند موبيوس.أنشأها موبيوس عام 1832. (ar) La funció de Möbius μ(n) és una funció matemàtica d'especial importància en teoria de nombres i combinatòria. Rep el seu nom d'August Ferdinand Möbius, qui la introduí el 1832. Möbius, A. F. (1832), "Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 9: 105–123 Es defineix, per a tot nombre natural n, de la següent forma: * μ(n) = 1 si n té un nombre parell de factors primers diferents, * μ(n) = –1 si n té un nombre senar de factors primers diferents, * μ(n) = 0 si n té algun factor primer repetit. * Com a cas especial, es defineix μ(1) = 1. A continuació es mostren els primers 50 valors de la funció (successió A008683 a l'OEIS) La funció té gran rellevància en la teoria de les funcions multiplicatives i aritmètiques, ja que apareix en la fórmula d'inversió de Möbius. Altres aplicacions de μ(n) en combinatòria estan relacionades amb l'ús del en grups combinatoris. En teoria de nombres, la funció de Mertens M(s) està emparentada amb la funció de Möbius, i es defineix com la suma dels n primers valors de μ(n). La funció de Möbius és muliplicativa, i per tant la sèrie formal de Dirichlet associada té un producte d'Euler: La comparació amb la funció zeta demostra que almenys formalment . (ca) Möbiova funkce značená μ(n) je důležitá multiplikativní funkce z teorie čísel. Německý matematik August Ferdinand Möbius ji zavedl v roce 1832. (cs) Die Möbiusfunktion (auch Möbiussche μ-Funktion genannt) ist eine wichtige multiplikative Funktion in der Zahlentheorie und der Kombinatorik. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker August Ferdinand Möbius benannt, der sie erstmals im Jahr 1831 eingeführt hat. Diese Funktion ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Möbiusfunktion einer Halbordnung, wobei sich die hier zugrunde liegende Halbordnung durch Teilbarkeitsrelationen ergibt. Leonhard Euler betrachtete schon im 18. Jahrhundert Reihen mit der Möbiusfunktion in den Koeffizienten, ohne diese explizit zu definieren. (de) En matematiko, funkcio de Möbius μ(n) estas multiplika funkcio, uzata en nombroteorio kaj kombinatoriko. Ĝi estas nomita en honoro de germana matematikisto August Ferdinand Möbius, kiu unue prezentis ĝin en 1831. (eo) La función de Möbius μ(n), nombrada así en honor a August Ferdinand Möbius, es una función multiplicativa estudiada en teoría de números y en combinatoria. (es) En mathématiques, la fonction de Möbius désigne généralement une fonction multiplicative particulière, définie sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble {–1, 0, 1}. Elle intervient dans la formule d'inversion de Möbius. Elle est utilisée dans des branches différentes des mathématiques. Vue sous un angle élémentaire, la fonction de Möbius permet certains calculs de dénombrement, en particulier pour l'étude des p-groupes ou en théorie des graphes. En arithmétique, elle est parfois définie comme l'inverse de la fonction multiplicative constante 1, pour l'opération convolution de Dirichlet. On la trouve encore pour l'étude des polynômes cyclotomiques sur le corps des nombres rationnels. Son rôle est analogue pour les corps finis et, par voie de conséquence, la fonction de Möbius intervient dans la théorie des codes correcteurs. En théorie analytique des nombres, la fonction de Möbius est plus souvent introduite à l'aide des séries de Dirichlet. Elle intervient dans certaines démonstrations liées à l'étude de l'hypothèse de Riemann sur les nombres premiers. L'usage de cette fonction est ancien : on le trouve chez Euler en 1748 ou encore chez Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. C'est néanmoins Möbius qui le premier l'étudie systématiquement, en 1832. (fr) The Möbius function μ(n) is an important multiplicative function in number theory introduced by the German mathematician August Ferdinand Möbius (also transliterated Moebius) in 1832. It is ubiquitous in elementary and analytic number theory and most often appears as part of its namesake the Möbius inversion formula. Following work of Gian-Carlo Rota in the 1960s, generalizations of the Möbius function were introduced into combinatorics, and are similarly denoted μ(x). (en) La funzione di Möbius, indicata con , è una funzione che trova impiego in teoria dei numeri per classificare i numeri interi positivi in una di tre categorie possibili secondo la scomposizione in fattori. La funzione entra in un'importante formula di inversione. (it) メビウス関数（メビウスかんすう、英: Möbius function）は、数論や組合せ論における重要な関数である。メビウスの輪で有名なドイツの数学者アウグスト・フェルディナント・メビウス (August Ferdinand Möbius) が1831年に紹介したことから、この名が付けられた。 (ja) 수론과 조합론에서 뫼비우스 함수(Möbius函數, 영어: Möbius function)는 정수가 제곱 인수가 없는 정수인지 여부에 따라 분류하는 곱셈적 함수이다. 뫼비우스 반전 공식에 사용되며, 리만 가설과도 깊은 관계를 가진다. 기호는 . (ko) De klassieke möbiusfunctie is een belangrijke multiplicatieve functie in getaltheorie en combinatoriek. De functie is genoemd naar de Duitse wiskundige August Ferdinand Möbius (1790-1868), door wie deze functie werd geïntroduceerd in 1831. (nl) Funkcja Möbiusa – funkcja określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa w 1831 roku i zdefiniowana w następujący sposób: * * jeśli liczba jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej, * jeśli liczba jest iloczynem różnych liczb pierwszych. Wartości funkcji Möbiusa dla małych Gdy jest liczbą pierwszą, wartość funkcji wynosi −1. Dla zachodzi równość: gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie naturalne dzielniki liczby włącznie z 1 i . Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa: Wykres funkcji Möbiusa dla Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza, iż * jeśli i są liczbami względnie pierwszymi. Istnieje także pojęcie funkcji całkowicie multiplikatywnej, gdzie nie jest wymagany warunek względnej pierwszości, funkcji Möbiusa nie można jednak zaklasyfikować w ten sposób. (pl) A clássica função de Möbius μ(n) é uma função multiplicativa na Teoria dos Números e Análise Combinatória. Tem esse nome em homenagem ao matemático alemão August Ferdinand Möbius, que foi o primeiro a defini-la em 1831. (pt) Möbiusfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion definierad enligt: Om man summerar möbiusfunktionen får man Mertensfunktionen. Funktionen är uppkallad efter den tyske matematikern August Ferdinand Möbius. (sv) Функція Мебіуса — мультиплікативна функція, яку застосовують у теорії чисел і комбінаториці, названа на честь німецького математика Мебіуса, який вперше розглянув її у 1831 р. (uk) Функция Мёбиуса — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году. (ru) 默比乌斯函数或缪比乌斯函数是指以下的函數： μ(n)的首25个值（OEIS數列）： 1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1, −1, 0, −1, 1, 1, 0, −1, 0, −1, 0, 1, 1, −1, 0, 0, ... 默比乌斯函数是一個積性函數。 以狄利克雷卷積的方法表示，則是 ，其中是狄利克雷卷積的單位元，這是默比乌斯反转公式的原理。 (zh)
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(de) En matematiko, funkcio de Möbius μ(n) estas multiplika funkcio, uzata en nombroteorio kaj kombinatoriko. Ĝi estas nomita en honoro de germana matematikisto August Ferdinand Möbius, kiu unue prezentis ĝin en 1831. (eo) La función de Möbius μ(n), nombrada así en honor a August Ferdinand Möbius, es una función multiplicativa estudiada en teoría de números y en combinatoria. (es) The Möbius function μ(n) is an important multiplicative function in number theory introduced by the German mathematician August Ferdinand Möbius (also transliterated Moebius) in 1832. It is ubiquitous in elementary and analytic number theory and most often appears as part of its namesake the Möbius inversion formula. Following work of Gian-Carlo Rota in the 1960s, generalizations of the Möbius function were introduced into combinatorics, and are similarly denoted μ(x). (en) La funzione di Möbius, indicata con , è una funzione che trova impiego in teoria dei numeri per classificare i numeri interi positivi in una di tre categorie possibili secondo la scomposizione in fattori. La funzione entra in un'importante formula di inversione. (it) メビウス関数（メビウスかんすう、英: Möbius function）は、数論や組合せ論における重要な関数である。メビウスの輪で有名なドイツの数学者アウグスト・フェルディナント・メビウス (August Ferdinand Möbius) が1831年に紹介したことから、この名が付けられた。 (ja) 수론과 조합론에서 뫼비우스 함수(Möbius函數, 영어: Möbius function)는 정수가 제곱 인수가 없는 정수인지 여부에 따라 분류하는 곱셈적 함수이다. 뫼비우스 반전 공식에 사용되며, 리만 가설과도 깊은 관계를 가진다. 기호는 . (ko) De klassieke möbiusfunctie is een belangrijke multiplicatieve functie in getaltheorie en combinatoriek. De functie is genoemd naar de Duitse wiskundige August Ferdinand Möbius (1790-1868), door wie deze functie werd geïntroduceerd in 1831. (nl) A clássica função de Möbius μ(n) é uma função multiplicativa na Teoria dos Números e Análise Combinatória. Tem esse nome em homenagem ao matemático alemão August Ferdinand Möbius, que foi o primeiro a defini-la em 1831. (pt) Möbiusfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion definierad enligt: Om man summerar möbiusfunktionen får man Mertensfunktionen. Funktionen är uppkallad efter den tyske matematikern August Ferdinand Möbius. (sv) Функція Мебіуса — мультиплікативна функція, яку застосовують у теорії чисел і комбінаториці, названа на честь німецького математика Мебіуса, який вперше розглянув її у 1831 р. (uk) Функция Мёбиуса — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году. 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Elle intervient dans la formule d'inversion de Möbius. L'usage de cette fonction est ancien : on le trouve chez Euler en 1748 ou encore chez Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. C'est néanmoins Möbius qui le premier l'étudie systématiquement, en 1832. (fr) Funkcja Möbiusa – funkcja określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa w 1831 roku i zdefiniowana w następujący sposób: * * jeśli liczba jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej, * jeśli liczba jest iloczynem różnych liczb pierwszych. Wartości funkcji Möbiusa dla małych Gdy jest liczbą pierwszą, wartość funkcji wynosi −1. Dla zachodzi równość: gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie naturalne dzielniki liczby włącznie z 1 i . Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa: Wykres funkcji Möbiusa dla Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną co oznacza, iż * (pl)
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