Hyperbolic geometry (original) (raw)

About DBpedia

الهندسة الزائدية أو الهندسة القطعية الزائدية (والتي تسمى أيضًا هندسة لوباتشيفسكي أو هندسة بولياي - لوباتشيفسكي) هي هندسة لاإقليدية، تقابل مسلمة التوازي في الهندسة الإقليدية. ففي مسلمة التوازي في الهندسة الإقليدية، في أي مستوى ثنائي الأبعاد، من أي نقطة خارج مستقيم ما، يمر مستقيم وحيد بتلك النقطة ولا يقطع المستقيم الأول (أي يوازي المستقيم المذكور). أما في الهندسة الزائدية، فهناك ما لا يقل عن خطين آخرين يمران بتلك النقطة خارج المستقيم ولا تقطعانه، وبالتالي فإن مسلمة التوازي في هذه الحالة يمكن تطبيقها. هناك نماذج تم إنشاؤها ضمن الهندسة الإقليدية، تتفق مع مسلمات الهندسة الزائدية، مما يثبت أن مسلمة التوازي تختلف عن غيرها من مسلمات إقليدس. خاصية مميزة للهندسة الزائدية هو أن زوايا المثلث في الهندسة الزائدية يمكن أن تكون أقل من 180°.

thumbnail

Property Value
dbo:abstract La geometria hiperbòlica (o Lobatxevskiana ) és un model de geometria que satisfà només els quatre primers postulats de la geometria euclidiana. Encara que és similar en molts aspectes i molts dels teoremes de la geometria euclidiana continuen sent vàlids en geometria hiperbòlica, no se satisfà el cinquè postulat d'Euclides sobre les paral·leles. Igual que la geometria euclidiana i la geometria el·líptica, la geometria hiperbòlica és un model de curvatura constant: * La geometria euclidiana satisfà els cinc postulats d'Euclides i té curvatura zero. * La geometria hiperbòlica satisfà només els quatre primers postulats d'Euclides i té curvatura negativa. * La geometria el·líptica satisfà només els quatre primers postulats d'Euclides i té curvatura positiva. (ca) V matematice je hyperbolická geometrie (nebo také Lobačevského geometrie) neeukleidovskou geometrií, což znamená, že nesplňuje pátý Eukleidův postulát (o rovnoběžkách). Ten říká, že v dvourozměrném prostoru pro přímku l a bod P ležící mimo ni existuje právě jedna přímka, která bodem P prochází a zároveň neprotíná l; neboli je rovnoběžná s l. V hyperbolické geometrii takové přímky existují alespoň dvě, takže tento postulát zde neplatí. Hyperbolická geometrie se dá zkonstruovat axiomaticky, ale je také možné udělat její model zadáním jisté metriky na hladké varietě. Existence hyperbolické geometrie implikuje nezávislost postulátu o rovnoběžkách na ostatních Eukleidových postulátech. Lokálně se dá hyperbolická geometrie modelovat na části plochy, která má zápornou , např. jednodílného hyperboloidu nebo . Charakteristickou vlastností hyperbolické geometrie je, že součet vnitřních úhlů každého trojúhelníku v této geometrii je menší než 180°. Součet vnitřních úhlů trojúhelníka může být libovolně malý. (cs) الهندسة الزائدية أو الهندسة القطعية الزائدية (والتي تسمى أيضًا هندسة لوباتشيفسكي أو هندسة بولياي - لوباتشيفسكي) هي هندسة لاإقليدية، تقابل مسلمة التوازي في الهندسة الإقليدية. ففي مسلمة التوازي في الهندسة الإقليدية، في أي مستوى ثنائي الأبعاد، من أي نقطة خارج مستقيم ما، يمر مستقيم وحيد بتلك النقطة ولا يقطع المستقيم الأول (أي يوازي المستقيم المذكور). أما في الهندسة الزائدية، فهناك ما لا يقل عن خطين آخرين يمران بتلك النقطة خارج المستقيم ولا تقطعانه، وبالتالي فإن مسلمة التوازي في هذه الحالة يمكن تطبيقها. هناك نماذج تم إنشاؤها ضمن الهندسة الإقليدية، تتفق مع مسلمات الهندسة الزائدية، مما يثبت أن مسلمة التوازي تختلف عن غيرها من مسلمات إقليدس. خاصية مميزة للهندسة الزائدية هو أن زوايا المثلث في الهندسة الزائدية يمكن أن تكون أقل من 180°. (ar) Die hyperbolische Geometrie (auch Lobatschewskische Geometrie oder Lobatschewski-Geometrie genannt) ist ein Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie, das man erhält, wenn man zu den Axiomen der absoluten Geometrie anstelle des Parallelenaxioms, das die euklidischen Geometrien kennzeichnet, das diesem widersprechende hyperbolische Axiom hinzunimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden „parallel“ zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben (h und i haben nur einen gemeinsamen Punkt P). Es lässt sich zeigen, dass es dann zu einer beliebigen Geraden g durch jeden Punkt außerhalb von g unendlich viele Nichtschneidende („Parallelen“) gibt, die in der durch den Punkt und die Gerade bestimmten Ebene liegen. Zwei davon sind in einer Grenzlage und heißen grenzparallel (auch: horoparallel) zur Geraden, während die restlichen Geraden überparallel (auch: hyperparallel) genannt werden. (de) Στα μαθηματικά, η υπερβολική γεωμετρία (επίσης ονομάζεται γεωμετρία του Λομπατσέφσκι (Лобаче́вский)) είναι μια μη ευκλείδεια γεωμετρία, δηλαδή μια γεωμετρία στην οποία ορισμένα από τα αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας δεν ισχύουν. Συγκεκριμένα, στην υπερβολική γεωμετρία δεν ισχύει το αξίωμα των παραλλήλων. Το αξίωμα των παραλλήλων της δισδιάστατης ευκλείδειας γεωμετρίας αντιστοιχεί στην πρόταση ότι, για οποιαδήποτε (ευθεία) γραμμή I και ένα σημείο P που δεν ανήκει στην I υπάρχει ακριβώς μία και μόνο (ευθεία) γραμμή που διέρχεται από το P και δεν τέμνει την I, δηλαδή είναι παράλληλη στην I. Στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν τουλάχιστον δύο ξεχωριστές γραμμές που διέρχονται από το P και οι οποίες δεν τέμνουν την I, και το αξίωμα των παραλλήλων ευθειών είναι για την υπερβολική γεωμετρία εσφαλμένο. Έχουν κατασκευαστεί μοντέλα εντός της ευκλείδειας που υπακούν στα αξιώματα της υπερβολικής γεωμετρίας, το οποίο δείχνει ότι το αξίωμα των παραλλήλων είναι ανεξάρτητο από τα άλλα αξιώματα του Ευκλείδη. Δεν υπάρχει ακριβές υπερβολικό αντίστοιχο των ευκλείδειων παράλληλων ευθειών, με αποτέλεσμα η χρήση του όρου παράλληλο να ποικίλει ανάμεσα στους συγγραφείς. Σ ’αυτό το άρθρο, δύο γραμμές που δεν τέμνονται όσο κι αν τις επεκτείνουμε ονομάζονται ασυμπτωτικές και δύο γραμμές που έχουν μία κοινή κάθετο ονομάζονται υπερπαράλληλες: η απλή λέξη παράλληλη μπορεί να αναφέρεται και στα δύο είδη γραμμών. (el) En matematiko, hiperbola geometrio (nomata ankaŭ geometrio de Lobaĉevskij aŭ geometrio de Bolyai–Lobaĉevskij) estas ne-Eŭklida geometrio. La paralela postulato de Eŭklida geometrio estas anstataŭata jene: Por ĉiu havigita rekto R kaj punkto P ne sur R, en la ebeno enhavanta kaj la rekto R kaj la punkto P estas almenaŭ du diferencaj rektoj tra P kiuj ne intersekcias R.(komparu tion kun la aksiomo de Playfair, nome moderna versio de la paralela postulato de Eŭklido) Hiperbola geometrio de ebenoj, estas ankaŭ la geometrio de selaj kaj pseŭdosferaj surfacoj, nome surfacoj kun konstanta negativa Gauss-a kurbeco. Moderna uzado de hiperbola geometrio estas en la teorio de speciala relativeco, partikulare de la Spaco de Minkowski kaj de girovektora spaco. Kiam geometriistoj por la unua fojo konstatis, ke ili estas laboranta pri io disde la normiga Eŭklida geometrio, ili priskribis sian geometrion laŭ tre diferencaj nomoj; Felix Klein finfine havigis al la fako la nomon hiperbola geometrio por inkludi ĝin en la nune rare uzata sekvenco elipsa geometrio (sfera geometrio), parabola geometrio (Eŭklida geometrio), kaj hiperbola geometrio.En iama Sovetunio, ĝi estas ofte nomata geometrio de Lobaĉevskij, nome laŭ unu el ties malkovrintoj, nome la rusa geometro Nikolaj Ivanoviĉ Lobaĉevskij. Hiperbola geometrio povas esti komprenita al 3-a kaj pliaj dimensioj; vidu koncepton hiperbola spaco por pli ol tri kaj pli altaj dimensiaj okazoj. (eo) In mathematics, hyperbolic geometry (also called Lobachevskian geometry or Bolyai–Lobachevskian geometry) is a non-Euclidean geometry. The parallel postulate of Euclidean geometry is replaced with: For any given line R and point P not on R, in the plane containing both line R and point P there are at least two distinct lines through P that do not intersect R. (Compare the above with Playfair's axiom, the modern version of Euclid's parallel postulate.) Hyperbolic plane geometry is also the geometry of pseudospherical surfaces, surfaces with a constant negative Gaussian curvature. Saddle surfaces have negative Gaussian curvature in at least some regions, where they locally resemble the hyperbolic plane. A modern use of hyperbolic geometry is in the theory of special relativity, particularly the Minkowski model. When geometers first realised they were working with something other than the standard Euclidean geometry, they described their geometry under many different names; Felix Klein finally gave the subject the name hyperbolic geometry to include it in the now rarely used sequence elliptic geometry (spherical geometry), parabolic geometry (Euclidean geometry), and hyperbolic geometry.In the former Soviet Union, it is commonly called Lobachevskian geometry, named after one of its discoverers, the Russian geometer Nikolai Lobachevsky. This page is mainly about the 2-dimensional (planar) hyperbolic geometry and the differences and similarities between Euclidean and hyperbolic geometry. See hyperbolic space for more information on hyperbolic geometry extended to three and more dimensions. (en) La geometría hiperbólica /o lobachevskiana/ es un modelo de geometría que satisface solo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría hiperbólica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometría euclidiana y la geometría elíptica, la geometría hiperbólica es un modelo de curvatura constante: * La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero. * La geometría hiperbólica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa. * La geometría elíptica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva. (es) En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée auparavant géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats d’Euclide, mais pour laquelle le cinquième postulat, qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite qui lui est parallèle, est remplacé par le postulat selon lequel « par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites parallèles à celle-ci » (il en existe alors une infinité). En géométrie hyperbolique, la plupart des propriétés métriques de la géométrie euclidienne ne sont plus valables ; en particulier le théorème de Pythagore n'est plus vérifié, et la somme des angles d'un triangle est toujours inférieure à 180°. Les droites restent cependant les lignes de plus court chemin joignant deux points, ce qui a permis à Beltrami, dans le cas du plan hyperbolique, de les modéliser comme des géodésiques sur une surface de courbure constante négative, comme les droites de la géométrie elliptique sont modélisées par des grands cercles sur une sphère. À la suite de Beltrami, Klein et Poincaré ont construit plusieurs autres modèles de géométrie hyperbolique, comme le modèle de l'hyperboloïde ou celui du disque de Poincaré. Ces modèles montrent l'indépendance de l'axiome des parallèles, c'est-à-dire l'impossibilité de le démontrer (ou de le réfuter) à partir des autres axiomes ; cela revient également à dire que si la géométrie euclidienne ne contient pas de contradiction, il en est de même de la géométrie hyperbolique. La détermination de la « vraie » géométrie de notre espace physique s'est posée dès la découverte des géométries non euclidiennes ; au début du XXIe siècle, les tests expérimentaux ne permettent toujours pas de décider ce qu'il en est, ce qui constitue le problème de la platitude, l'une des questions non résolues de la cosmologie. (fr) Dalam matematika, Geometri hiperbolik atau disebut juga Geometri Lobachevskian atau Geometri Bolyai-Lobachevskian) adalah geometri non-Euklides. dari geometri Euklides diganti dengan: Untuk setiap garis R dan titik P bukan pada R , di bidang yang mengandung kedua garis R dan titik P setidaknya ada dua garis yang berbeda melalui P yang tidak berpotongan R .(bandingkan ini dengan , versi modern Euklides) Bidang hiperbolik geometri juga merupakan geometri dan , permukaan dengan konstanta negatif . Penggunaan modern dari geometri hiperbolik ada dalam teori relativitas khusus, khususnya dan . Ketika geometer pertama kali menyadari bahwa mereka bekerja dengan sesuatu selain geometri Euclid standar, mereka mendeskripsikan geometri mereka dengan banyak nama berbeda.; Felix Klein akhirnya memberi subjek itu nama 'geometri hiperbolik' untuk memasukkannya ke dalam urutan (geometri bola), geometri parabola (Euklides).Di bekas Uni Soviet, geometri ini biasa disebut geometri Lobachevskian, dinamai menurut salah satu penemunya, ahli ilmu ukur Rusia Nikolai Lobachevsky. Halaman ini terutama membahas tentang geometri hiperbolik 2-dimensi (planar) dan perbedaan serta persamaan antara geometri Euclidean dan hiperbolik. Geometri hiperbolik dapat diperluas menjadi tiga dimensi atau lebih; lihat untuk lebih lanjut tentang kasus tiga dimensi dan lebih tinggi. (in) In de wiskunde is de hyperbolische meetkunde, of Bolyai-Lobatsjevski meetkunde, een niet-euclidische meetkunde. In de hyperbolische meetkunde vervangt men het parallellenpostulaat uit de Euclidische meetkunde. Het parallellenpostulaat is in de Euclidische meetkunde equivalent met de bewering dat, in de twee dimensionale ruimte, voor elke gegeven lijn l en een punt P, dat niet op l ligt, er precies één lijn door P loopt, die l niet kruist, dat wil zeggen evenwijdig aan l loopt. In de hyperbolische meetkunde zijn er ten minste twee verschillende lijnen door P die l niet snijden. In de hyperbolische meetkunde wordt dus niet meer aan het parallellenpostulaat voldaan. Binnen de Euclidische meetkunde zijn ruimten gedefinieerd, die aan de axioma's van de hyperbolische meetkunde voldoen, waarmee werd bewezen dat het parallellenpostulaat onafhankelijk is van de andere postulaten van Euclides. De hyperbolische meetkunde is rond 1830 ontdekt. Grondleggers van de hyperbolische meetkunde waren János Bolyai (1802–1860), die wordt beschouwd als een van de grondleggers van de niet-euclidische meetkunde, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en Nikolaj Lobatsjevski (1792-1856), ook vooral bekend vanwege zijn prestaties op het gebied van de niet-euclidische meetkunde. (nl) La geometria iperbolica, anche chiamata geometria di Bolyai-Lobachevskij, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico. È stata inizialmente studiata da Saccheri nel secolo XVIII, che tuttavia l'ha creduta inconsistente, e più tardi da Bolyai, Gauss e Lobačevskij, con il nome di geometria astrale. A 150 anni dalla sua nascita, la geometria iperbolica è ancora un argomento centrale della matematica, ravvivato alla fine degli anni settanta dalle scoperte di William Thurston. (it) 쌍곡기하학이란 평행선 공준을 대체하여 얻는 기하학이다. 평행선 공준을 모든 직선 R과 직선 R 밖 한 점 P에 대해, P를 지나면서 R과 교차하지 않는 직선(평행선)은 적어도 2개 존재한다로 바꾼 것이다. 평행선 공준과 동치인 가 주어진 직선 밖 한 점을 지나는, 그 직선의 평행선은 많아야 하나 존재한다. 인 반면에 쌍곡기하학에서는 평행선이 2개 이상 존재한다. 그 중에서 R의 한쪽 끝에서 거리가 0으로 접근하는 평행선은 각각의 방향에 대해 하나씩 존재하는데, 이러한 관계를 극한평행이라고 한다. [[쌍곡기하학은 안장곡면과 유사구(Pseudosphere)의 기하학이기도 하다. (ko) 双曲幾何学（そうきょくきかがく、英語: hyperbolic geometry）またはボヤイ・ロバチェフスキー幾何学 (英: Bolyai-Lobachevskian geometry) とは、まっすぐな空間（ユークリッド空間、放物幾何的空間）ではなく、負の曲率を持つ曲がった空間における幾何学である。ユークリッド幾何学の検証ということでサッケリーなども幾つかの定理を導いているが、完全で矛盾のない公理系を持ちながらユークリッド幾何学ではないような新しい幾何学と認識してまとめたのは同時期にそれぞれ独立に発表したロバチェフスキー（1829年発表）、ボヤイ（1832年発表）、およびガウス（発表せず）らの功績である。 ユークリッドのユークリッド原論の5番目の公準（任意の直線上にない一点を通る平行な直線がただ一本存在すること、 平行線公準）に対して、それを否定する公理を付け加え、その新たな平行線公理と無矛盾な体系として得られる幾何学である非ユークリッド幾何学の一つである。双曲幾何学の場合には、「ある直線 L とその直線の外にある点 p が与えられたとき、p を通り L に平行な直線は無限に存在する」という公理に支えられて構成される。 双曲幾何学では、ユークリッド原論の平行線公準以外の公理公準はすべて成立する。これは平行線公準が独立した公準であり、ほかの公準からは証明できないということである。なぜならば他の公準から証明できるとすればその他の全ての公準が成り立つ双曲幾何学でも平行線公準が成り立つはずだからである。この幾何学は、もともと平行線公準をユークリッド原論のほかの公準から証明しようとして作られた幾何学だが、皮肉なことにこの幾何学により平行線公準は独立でほかの公準からは証明できないことが証明された。 (ja) Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych. (pl) Em Matemática, geometria hiperbólica, também chamada de geometria lobachevskiana ou geometria de Bolyai - Lobachevsky, é uma geometria não-euclidiana, o que significa que o quinto postulados de Euclides, o clássico postulado das paralelas da geometria euclidiana é substituído pelo postulado de Lobachesvky: "Por um ponto fora de uma reta dada passa mais de uma paralela a essa reta." O postulado das paralelas, na geometria euclidiana, é equivalente à afirmação (axioma de Playfair) de que, no espaço bidimensional, para qualquer reta R e ponto P não contido em R, existe somente uma reta que passa por P e não intercepta R, ou seja, uma linha que é paralela a R. Na geometria hiperbólica, existem infinitas retas distintas que passam por P e que não interceptam R, de modo que o postulado clássico das paralelas é falso. A geometria do plano hiperbólico é a geometria das superfícies curvas com curvatura gaussiana negativa constante (tal como a pseudoesfera). Modelos têm sido construídos dentro da geometria euclidiana, mas obedecendo aos axiomas da geometria hiperbólica, provando assim que o postulado das paralelas é independente dos outros postulados de Euclides (assumindo que os outros postulados são de fato consistentes). Uma vez que a geometria euclidiana e a geometria hiperbólica são consistentes e estão em um ambiente com uma pequena curvatura seccional muito semelhante, o observador terá dificuldade em determinar se o seu ambiente é euclidiano ou hiperbólico. Nós também não podemos decidir se o nosso mundo é euclidiano ou hiperbólico. Uma utilização moderna da geometria hiperbólica é na , particularmente no espaço-tempo de Minkowski e no espaço girovetorial. Dado que não há nenhuma analogia hiperbólica precisa para linhas paralelas euclidianas , o uso hiperbólico dos termos 'paralelas' e 'relacionadas' varia entre os autores. Neste artigo, vale citar que duas linhas limitantes são chamadas assintóticas, e linhas que compartilham de uma perpendicular comum são chamadas ultra-paralelas (a palavra 'paralela simples' também é recorrente). Uma característica da geometria hiperbólica é que a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor que dois ângulos retos, ou seja, menor que 180° (o que garante isso é o Teorema de Gauss-Bonet. Dessa forma, no limite, tendendo os vértices para o infinito , existem triângulos hiperbólicos ideais em que todos os três ângulos são 0°. Os modelos de espaço hiperbólico mais conhecidos são o Semiplano Hiperbólico e o Disco de Poincaré. Os modelos de representação do espaço hiperbólico foram desenvolvidos no século XIX, e são exemplos de geometrias (essencialmente a mesma) em que não vale o Axioma de Playfair (o equivalente ao 5o postulado de Euclides). Nessa época tais modelos foram responsáveis por uma gigantesca revolução na geometria. Para estudá-los é necessário conhecermos as métricas riemannianas que produzem as suas respectivas geometrias. No entanto, é possível provar que a seguinte aplicação é uma isometria entre os modelos. Isso significa que as distâncias são preservadas quando passamos do modelo do disco para o modelo do semiplano. Então tomando a inversa dessa aplicação, conseguimos visualizar quais curvas são imagem de quais curvas via isometria. Note que a curva azul, e as curvas vermelhas formam um triângulo geodésico no modelo do disco e isso não era perceptível no modelo do semiplano. (pt) Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных аксиомах, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется её отрицанием. Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений, при наличии других аксиом) может быть сформулирована следующим образом: На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. В геометрии Лобачевского вместо неё принимается следующая аксиома: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Аксиома Лобачевского является точным отрицанием аксиомы Евклида (при выполнении всех остальных аксиом), так как случай, когда через точку, не лежащую на данной прямой, не проходит ни одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её, исключается в силу остальных аксиом (аксиомы абсолютной геометрии).Так, например, сферическая геометрия и геометрия Римана, в которых любые две прямые пересекаются, и следовательно, не выполнена ни аксиома о параллельных Евклида, ни аксиома Лобачевского, несовместимы с абсолютной геометрией. Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике.Историческое и философское её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки в целом. (ru) Hyperbolisk geometri är en typ av icke-euklidisk geometri. Termen hyperbolisk geometri introducerades av Felix Klein år 1871. Två hyperboliska linjer definieras som parallella om dessa är disjunkta, vilket betyder att dessa inte har några gemensamma punkter. (sv) 双曲几何又名罗氏几何（罗巴切夫斯基几何），是非欧几里德几何的一种特例。與欧几里德几何的差別在於第五條公理（公設）－平行公設。在欧几里德几何中，若平面上有一條直線R和線外的一點P，則存在唯一的一條線滿足通過P點且不與R相交（即R的平行線）。但在雙曲幾何中，至少可以找到兩條相異的直線，且都通過P點，並不與R相交，因此它違反了平行公設。然而，取代欧几里德几何中的平行公設的雙曲幾何本身並無矛盾之處，仍可以推得一系列屬於它的定理，這也說明了平行公設獨立於前四條公設，換句話說，無法由前四條公設推得平行公設。 到目前為止，數學家對雙曲幾何中平行線的定義尚未有共識，不同的作者會給予不同的定義。这里定義兩條逐漸靠近的線為漸近線，它們互相漸進；兩條有共同垂直線的線為超平行線，它們互相超平行，並且兩條線為平行線代表它們互相漸進或互相超平行。雙曲幾何還有一項性質，就是三角形的內角和小於一個平角（180°）。在極端的情況，三角形的三邊長趨近於無限，而三內角趨近於0°，此時該三角形稱作。 双曲几何专门研究当平面变成鞍马型之后，平面几何到底还有哪些可以适用，以及会有甚麼特別的现象產生。在双曲几何的环境裡，平面的曲率是負数。 (zh) Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) — одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського. Евклідова аксіома про паралельні твердить: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її. В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома: через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її. Геометрія Лобачевського має широке застосування як в математиці, так і у фізиці.Історичне її значення полягає у тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість існування геометрії, відмінної від евклідової. Це ознаменувало нову епоху в розвитку геометрії і математики загалом. (uk)
dbo:thumbnail wiki-commons:Special:FilePath/Hyperbolic.svg?width=300
dbo:wikiPageExternalLink http://www.roguetemple.com/z/hyper/models.php https://books.google.com/books%3Fid=ZQjBXxxQsucC http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548588 http://cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf http://www.plunk.org/~hatch/HyperbolicTesselations/ http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/hyperbolic/hyperbolic0.html%7Cpublisher= https://arxiv.org/abs/0903.3287 https://web.archive.org/web/20140303111006/http:/www.geom.uiuc.edu/~crobles/hyperbolic/ https://www.youtube.com/watch%3Fv=B16YjC9OS0k&mode=user&search=
dbo:wikiPageID 241291 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength 56643 (xsd:nonNegativeInteger)
dbo:wikiPageRevisionID 1122974848 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink dbr:Carl_Friedrich_Gauss dbr:Cartesian_coordinate_system dbr:Beltrami–Klein_model dbr:Projective_geometry dbr:Proper_time dbr:Pseudosphere dbr:Quadric dbr:Quadrilateral dbr:Margin_of_error dbr:Motion_(geometry) dbr:Boeotia dbr:De_Sitter_space dbr:Homothetic_transformation dbr:HyperRogue dbr:Hyperbolic_angle dbr:Hyperbolic_functions dbr:Hyperboloid dbr:John_Wallis dbr:Perpendicular dbr:Regular_polygon dbr:Daina_Taimiņa dbr:Unit_circle dbr:University_of_Glasgow dbr:Velocity dbr:Degrees_of_freedom dbr:Earth's_orbit dbr:Invariant_(mathematics) dbr:Jakob_Nielsen_(mathematician) dbr:Limiting_parallel dbr:Cone dbr:Conic_section dbr:Coxeter dbr:Critique_of_Pure_Reason dbr:Mathematics dbr:Saddle_point dbr:Geodesic_curvature dbr:Geometric_transformation dbr:Normal_(geometry) dbr:Orthogonal dbr:Orthographic_projection dbr:Elliptic_geometry dbr:Galilean_relativity dbr:Gaussian_curvature dbr:Geodesic dbr:Geometrization_conjecture dbr:Geometry dbr:Gersonides dbr:Minkowski_space dbr:Möbius_transformation dbr:Conformal_map dbr:Constructions_in_hyperbolic_geometry dbr:Coordinate_systems_for_the_hyperbolic_plane dbr:Crochet dbr:Crocheting_Adventures_with_Hyperbolic_Planes dbr:Cross-ratio dbr:Angle dbr:Anti-de_Sitter_space dbr:Apeirogon dbr:Linear_algebra dbr:Logic dbr:M._C._Escher dbr:Sirius dbr:Stereographic_projection dbr:Franz_Taurinus dbr:Horocycle dbr:Ideal_point dbr:Ideal_triangle dbr:Parallax dbr:Parallel_postulate dbr:Playfair's_axiom dbr:Symmetric_space dbr:Tangent dbr:Unit_sphere dbr:Mathematics_and_fiber_arts dbr:Thought_experiment dbr:Wilhelm_Killing dbr:William_Thurston dbr:Helaman_Ferguson dbr:Lambert_quadrilateral dbr:Local_property dbr:Hypercycle_(hyperbolic_geometry) dbr:Adrien-Marie_Legendre dbr:American_Mathematical_Monthly dbr:American_Mathematical_Society dbr:Analytical_philosophy dbr:Curvature dbr:Cylinder dbr:E_(mathematical_constant) dbr:Euclid dbr:Euclid's_Elements dbr:Eugenio_Beltrami dbr:Felix_Klein dbr:Angle_of_parallelism dbr:Angular_defect dbc:Hyperbolic_geometry dbr:Band_model dbr:Nikolai_Lobachevsky dbr:Non-Euclidean_geometry dbr:Parsec dbr:Hilbert's_theorem_(differential_geometry) dbr:Hjelmslev_transformation dbr:Proof_by_contradiction dbr:Point_reflection dbr:Proclus dbr:Reflection_(mathematics) dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Harold_Scott_MacDonald_Coxeter dbr:Henri_Poincaré dbr:Isometry dbr:Isomorphic dbr:Hyperbola dbr:Hyperbolic_3-manifold dbr:Hyperbolic_manifold dbr:Hyperbolic_set dbr:Hyperbolic_space dbr:Hyperbolic_tree dbr:Hyperbolic_triangle dbr:Hyperboloid_model dbr:Hypercycle_(geometry) dbr:Jeffrey_Weeks_(mathematician) dbr:Riemann_sphere dbr:Triangle_group dbr:Saddle_surface dbr:Arthur_Cayley dbr:Atlas_(topology) dbr:Abner_of_Burgos dbr:Absolute_geometry dbr:Absolute_scale dbr:Chord_(geometry) dbr:Johann_Heinrich_Lambert dbr:John_Milnor dbr:János_Bolyai dbr:Kant dbr:Bisection dbr:Supplementary_angles dbr:Systolic_geometry dbr:Stabilizer_subgroup dbr:Direct_product_of_groups dbr:Distance_from_a_point_to_a_line dbr:Axiom dbr:Bookseller/Diagram_Prize_for_Oddest_Title_of_the_Year dbr:Philosophy dbr:Plane_(mathematics) dbr:Poincaré_disk_model dbr:Poincaré_half-plane_model dbr:Post-Soviet_states dbr:Spacetime dbr:Special_relativity dbr:Sphere dbr:Spinoza dbr:Circle_Limit_III dbr:Circumscribed_circle dbr:Ibn_al-Haytham dbr:Identity_function dbr:If_and_only_if dbr:Incircle dbr:Inertial_frame_of_reference dbr:Metric_space dbr:Omar_Khayyám dbr:Orthogonal_group dbr:Radian dbr:Rapidity dbr:Kleinian_group dbr:Hyperbolic_soccerball dbr:Mathematical_model dbr:Unipotent dbr:Euclidean_geometry dbr:Euclidean_plane dbr:Exponential_growth dbr:Face_(geometry) dbr:Immersion_(mathematics) dbr:Klein_model dbr:Metric_(mathematics) dbr:Sphere-world dbr:Ultraparallel_theorem dbr:Triangular_matrix dbr:Poincaré_metric dbr:Roguelike dbr:Unit_ball dbr:Hobbes dbr:Witelo dbr:Saccheri_quadrilateral dbr:Schwarz_triangles dbr:Δ-hyperbolic_space dbr:Truncated_order-7_triangular_tiling dbr:Spherical_geometry dbr:Uniform_tilings_in_hyperbolic_plane dbr:Giovanni_Gerolamo_Saccheri dbr:Central_projection dbr:Galilean_geometry dbr:Open_universe dbr:Elliptical_geometry dbr:Fundamental_domain_triangle dbr:Cayley_absolute dbr:Cross_ratio dbr:Gauss dbr:Hyperbolic_plane dbr:Khayyam–Saccheri_quadrilateral dbr:Minkowski_model dbr:Mathematical_rigour dbr:Milnor dbr:Perpendicular_bisector dbr:Geometers dbr:Ibn_al-Haytham–Lambert_quadrilateral dbr:Uniform_polygon dbr:Logarithmic_measure dbr:Nasīr_al-Dīn_al-Tūsī dbr:Straight_angle dbr:Nikolai_Ivanovich_Lobachevsky dbr:X-axis dbr:File:Crochet_hyperbolic_kelp.jpg dbr:File:Hyperbolic_apeirogon_example.png dbr:File:Relation5models.png dbr:File:Hyperbolic_triangle.svg dbr:File:Hyperbolic.svg dbr:File:Hyperbolic_pseudogon_example0.png dbr:File:Hyperbolic_tiling_omnitruncated_3-7.png dbr:File:Hyperbolicsoccerball.jpg dbr:File:Rhombitriheptagonal_tiling.svg dbr:Flattened_hyperboloid_model dbr:Gans_Model
dbp:id p/l060030 (en)
dbp:title Gauss–Bolyai–Lobachevsky Space (en) Hyperbolic Geometry (en) Lobachevskii geometry (en)
dbp:urlname Gauss-Bolyai-LobachevskySpace (en) HyperbolicGeometry (en)
dbp:wikiPageUsesTemplate dbt:Springer dbt:Hair_space dbt:Comparison_of_geometries.svg dbt:Authority_control dbt:Citation_needed dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Commons_category dbt:Div_col dbt:Div_col_end dbt:Main_article dbt:Mathworld dbt:Other_uses dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Short_description dbt:Val dbt:Isbn dbt:General_geometry dbt:Geometry-footer dbt:Multi-section_link
dcterms:subject dbc:Hyperbolic_geometry
gold:hypernym dbr:Geometry
rdf:type owl:Thing dbo:Software
rdfs:comment الهندسة الزائدية أو الهندسة القطعية الزائدية (والتي تسمى أيضًا هندسة لوباتشيفسكي أو هندسة بولياي - لوباتشيفسكي) هي هندسة لاإقليدية، تقابل مسلمة التوازي في الهندسة الإقليدية. ففي مسلمة التوازي في الهندسة الإقليدية، في أي مستوى ثنائي الأبعاد، من أي نقطة خارج مستقيم ما، يمر مستقيم وحيد بتلك النقطة ولا يقطع المستقيم الأول (أي يوازي المستقيم المذكور). أما في الهندسة الزائدية، فهناك ما لا يقل عن خطين آخرين يمران بتلك النقطة خارج المستقيم ولا تقطعانه، وبالتالي فإن مسلمة التوازي في هذه الحالة يمكن تطبيقها. هناك نماذج تم إنشاؤها ضمن الهندسة الإقليدية، تتفق مع مسلمات الهندسة الزائدية، مما يثبت أن مسلمة التوازي تختلف عن غيرها من مسلمات إقليدس. خاصية مميزة للهندسة الزائدية هو أن زوايا المثلث في الهندسة الزائدية يمكن أن تكون أقل من 180°. (ar) La geometria iperbolica, anche chiamata geometria di Bolyai-Lobachevskij, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico. È stata inizialmente studiata da Saccheri nel secolo XVIII, che tuttavia l'ha creduta inconsistente, e più tardi da Bolyai, Gauss e Lobačevskij, con il nome di geometria astrale. A 150 anni dalla sua nascita, la geometria iperbolica è ancora un argomento centrale della matematica, ravvivato alla fine degli anni settanta dalle scoperte di William Thurston. (it) 쌍곡기하학이란 평행선 공준을 대체하여 얻는 기하학이다. 평행선 공준을 모든 직선 R과 직선 R 밖 한 점 P에 대해, P를 지나면서 R과 교차하지 않는 직선(평행선)은 적어도 2개 존재한다로 바꾼 것이다. 평행선 공준과 동치인 가 주어진 직선 밖 한 점을 지나는, 그 직선의 평행선은 많아야 하나 존재한다. 인 반면에 쌍곡기하학에서는 평행선이 2개 이상 존재한다. 그 중에서 R의 한쪽 끝에서 거리가 0으로 접근하는 평행선은 각각의 방향에 대해 하나씩 존재하는데, 이러한 관계를 극한평행이라고 한다. [[쌍곡기하학은 안장곡면과 유사구(Pseudosphere)의 기하학이기도 하다. (ko) Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych. (pl) Hyperbolisk geometri är en typ av icke-euklidisk geometri. Termen hyperbolisk geometri introducerades av Felix Klein år 1871. Två hyperboliska linjer definieras som parallella om dessa är disjunkta, vilket betyder att dessa inte har några gemensamma punkter. (sv) 双曲几何又名罗氏几何（罗巴切夫斯基几何），是非欧几里德几何的一种特例。與欧几里德几何的差別在於第五條公理（公設）－平行公設。在欧几里德几何中，若平面上有一條直線R和線外的一點P，則存在唯一的一條線滿足通過P點且不與R相交（即R的平行線）。但在雙曲幾何中，至少可以找到兩條相異的直線，且都通過P點，並不與R相交，因此它違反了平行公設。然而，取代欧几里德几何中的平行公設的雙曲幾何本身並無矛盾之處，仍可以推得一系列屬於它的定理，這也說明了平行公設獨立於前四條公設，換句話說，無法由前四條公設推得平行公設。 到目前為止，數學家對雙曲幾何中平行線的定義尚未有共識，不同的作者會給予不同的定義。这里定義兩條逐漸靠近的線為漸近線，它們互相漸進；兩條有共同垂直線的線為超平行線，它們互相超平行，並且兩條線為平行線代表它們互相漸進或互相超平行。雙曲幾何還有一項性質，就是三角形的內角和小於一個平角（180°）。在極端的情況，三角形的三邊長趨近於無限，而三內角趨近於0°，此時該三角形稱作。 双曲几何专门研究当平面变成鞍马型之后，平面几何到底还有哪些可以适用，以及会有甚麼特別的现象產生。在双曲几何的环境裡，平面的曲率是負数。 (zh) La geometria hiperbòlica (o Lobatxevskiana ) és un model de geometria que satisfà només els quatre primers postulats de la geometria euclidiana. Encara que és similar en molts aspectes i molts dels teoremes de la geometria euclidiana continuen sent vàlids en geometria hiperbòlica, no se satisfà el cinquè postulat d'Euclides sobre les paral·leles. Igual que la geometria euclidiana i la geometria el·líptica, la geometria hiperbòlica és un model de curvatura constant: (ca) V matematice je hyperbolická geometrie (nebo také Lobačevského geometrie) neeukleidovskou geometrií, což znamená, že nesplňuje pátý Eukleidův postulát (o rovnoběžkách). Ten říká, že v dvourozměrném prostoru pro přímku l a bod P ležící mimo ni existuje právě jedna přímka, která bodem P prochází a zároveň neprotíná l; neboli je rovnoběžná s l. V hyperbolické geometrii takové přímky existují alespoň dvě, takže tento postulát zde neplatí. (cs) Στα μαθηματικά, η υπερβολική γεωμετρία (επίσης ονομάζεται γεωμετρία του Λομπατσέφσκι (Лобаче́вский)) είναι μια μη ευκλείδεια γεωμετρία, δηλαδή μια γεωμετρία στην οποία ορισμένα από τα αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας δεν ισχύουν. Συγκεκριμένα, στην υπερβολική γεωμετρία δεν ισχύει το αξίωμα των παραλλήλων. Το αξίωμα των παραλλήλων της δισδιάστατης ευκλείδειας γεωμετρίας αντιστοιχεί στην πρόταση ότι, για οποιαδήποτε (ευθεία) γραμμή I και ένα σημείο P που δεν ανήκει στην I υπάρχει ακριβώς μία και μόνο (ευθεία) γραμμή που διέρχεται από το P και δεν τέμνει την I, δηλαδή είναι παράλληλη στην I. Στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν τουλάχιστον δύο ξεχωριστές γραμμές που διέρχονται από το P και οι οποίες δεν τέμνουν την I, και το αξίωμα των παραλλήλων ευθειών είναι για την υπερβολική γεωμετρία εσ (el) En matematiko, hiperbola geometrio (nomata ankaŭ geometrio de Lobaĉevskij aŭ geometrio de Bolyai–Lobaĉevskij) estas ne-Eŭklida geometrio. La paralela postulato de Eŭklida geometrio estas anstataŭata jene: Por ĉiu havigita rekto R kaj punkto P ne sur R, en la ebeno enhavanta kaj la rekto R kaj la punkto P estas almenaŭ du diferencaj rektoj tra P kiuj ne intersekcias R.(komparu tion kun la aksiomo de Playfair, nome moderna versio de la paralela postulato de Eŭklido) (eo) Die hyperbolische Geometrie (auch Lobatschewskische Geometrie oder Lobatschewski-Geometrie genannt) ist ein Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie, das man erhält, wenn man zu den Axiomen der absoluten Geometrie anstelle des Parallelenaxioms, das die euklidischen Geometrien kennzeichnet, das diesem widersprechende hyperbolische Axiom hinzunimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden „parallel“ zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben (h und i haben nur (de) La geometría hiperbólica /o lobachevskiana/ es un modelo de geometría que satisface solo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría hiperbólica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometría euclidiana y la geometría elíptica, la geometría hiperbólica es un modelo de curvatura constante: (es) In mathematics, hyperbolic geometry (also called Lobachevskian geometry or Bolyai–Lobachevskian geometry) is a non-Euclidean geometry. The parallel postulate of Euclidean geometry is replaced with: For any given line R and point P not on R, in the plane containing both line R and point P there are at least two distinct lines through P that do not intersect R. (Compare the above with Playfair's axiom, the modern version of Euclid's parallel postulate.) A modern use of hyperbolic geometry is in the theory of special relativity, particularly the Minkowski model. (en) En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée auparavant géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats d’Euclide, mais pour laquelle le cinquième postulat, qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite qui lui est parallèle, est remplacé par le postulat selon lequel « par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites parallèles à celle-ci » (il en existe alors une infinité). (fr) Dalam matematika, Geometri hiperbolik atau disebut juga Geometri Lobachevskian atau Geometri Bolyai-Lobachevskian) adalah geometri non-Euklides. dari geometri Euklides diganti dengan: Untuk setiap garis R dan titik P bukan pada R , di bidang yang mengandung kedua garis R dan titik P setidaknya ada dua garis yang berbeda melalui P yang tidak berpotongan R .(bandingkan ini dengan , versi modern Euklides) Bidang hiperbolik geometri juga merupakan geometri dan , permukaan dengan konstanta negatif . (in) 双曲幾何学（そうきょくきかがく、英語: hyperbolic geometry）またはボヤイ・ロバチェフスキー幾何学 (英: Bolyai-Lobachevskian geometry) とは、まっすぐな空間（ユークリッド空間、放物幾何的空間）ではなく、負の曲率を持つ曲がった空間における幾何学である。ユークリッド幾何学の検証ということでサッケリーなども幾つかの定理を導いているが、完全で矛盾のない公理系を持ちながらユークリッド幾何学ではないような新しい幾何学と認識してまとめたのは同時期にそれぞれ独立に発表したロバチェフスキー（1829年発表）、ボヤイ（1832年発表）、およびガウス（発表せず）らの功績である。 ユークリッドのユークリッド原論の5番目の公準（任意の直線上にない一点を通る平行な直線がただ一本存在すること、 平行線公準）に対して、それを否定する公理を付け加え、その新たな平行線公理と無矛盾な体系として得られる幾何学である非ユークリッド幾何学の一つである。双曲幾何学の場合には、「ある直線 L とその直線の外にある点 p が与えられたとき、p を通り L に平行な直線は無限に存在する」という公理に支えられて構成される。 (ja) In de wiskunde is de hyperbolische meetkunde, of Bolyai-Lobatsjevski meetkunde, een niet-euclidische meetkunde. In de hyperbolische meetkunde vervangt men het parallellenpostulaat uit de Euclidische meetkunde. Het parallellenpostulaat is in de Euclidische meetkunde equivalent met de bewering dat, in de twee dimensionale ruimte, voor elke gegeven lijn l en een punt P, dat niet op l ligt, er precies één lijn door P loopt, die l niet kruist, dat wil zeggen evenwijdig aan l loopt. In de hyperbolische meetkunde zijn er ten minste twee verschillende lijnen door P die l niet snijden. In de hyperbolische meetkunde wordt dus niet meer aan het parallellenpostulaat voldaan. Binnen de Euclidische meetkunde zijn ruimten gedefinieerd, die aan de axioma's van de hyperbolische meetkunde voldoen, waarmee w (nl) Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных аксиомах, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется её отрицанием. Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений, при наличии других аксиом) может быть сформулирована следующим образом: На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. В геометрии Лобачевского вместо неё принимается следующая аксиома: (ru) Em Matemática, geometria hiperbólica, também chamada de geometria lobachevskiana ou geometria de Bolyai - Lobachevsky, é uma geometria não-euclidiana, o que significa que o quinto postulados de Euclides, o clássico postulado das paralelas da geometria euclidiana é substituído pelo postulado de Lobachesvky: "Por um ponto fora de uma reta dada passa mais de uma paralela a essa reta." A geometria do plano hiperbólico é a geometria das superfícies curvas com curvatura gaussiana negativa constante (tal como a pseudoesfera). (pt) Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) — одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського. Евклідова аксіома про паралельні твердить: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її. В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома: (uk)
rdfs:label Hyperbolic geometry (en) هندسة زائدية (ar) Geometria hiperbòlica (ca) Hyperbolická geometrie (cs) Hyperbolische Geometrie (de) Υπερβολική γεωμετρία (el) Hiperbola geometrio (eo) Geometría hiperbólica (es) Geometri hiperbolik (in) Géométrie hyperbolique (fr) Geometria iperbolica (it) 쌍곡기하학 (ko) 双曲幾何学 (ja) Hyperbolische meetkunde (nl) Geometria hiperboliczna (pl) Geometria hiperbólica (pt) Hyperbolisk geometri (sv) Геометрия Лобачевского (ru) 双曲几何 (zh) Геометрія Лобачевського (uk)
rdfs:seeAlso dbr:Regular_hyperbolic_tiling dbr:Hyperbolic_motion dbr:Shape_of_the_universe dbr:Non-euclidean_Geometry
owl:sameAs freebase:Hyperbolic geometry http://d-nb.info/gnd/4161041-6 wikidata:Hyperbolic geometry dbpedia-als:Hyperbolic geometry dbpedia-ar:Hyperbolic geometry http://ast.dbpedia.org/resource/Xeometría_hiperbólica dbpedia-az:Hyperbolic geometry dbpedia-ca:Hyperbolic geometry dbpedia-cs:Hyperbolic geometry http://cv.dbpedia.org/resource/Лобачевский_геометрийĕ dbpedia-cy:Hyperbolic geometry dbpedia-de:Hyperbolic geometry dbpedia-el:Hyperbolic geometry dbpedia-eo:Hyperbolic geometry dbpedia-es:Hyperbolic geometry dbpedia-fa:Hyperbolic geometry dbpedia-fi:Hyperbolic geometry dbpedia-fr:Hyperbolic geometry dbpedia-he:Hyperbolic geometry dbpedia-hu:Hyperbolic geometry dbpedia-id:Hyperbolic geometry dbpedia-it:Hyperbolic geometry dbpedia-ja:Hyperbolic geometry dbpedia-ko:Hyperbolic geometry http://lt.dbpedia.org/resource/Hiperbolinė_geometrija dbpedia-nl:Hyperbolic geometry dbpedia-nn:Hyperbolic geometry dbpedia-no:Hyperbolic geometry dbpedia-pl:Hyperbolic geometry dbpedia-pt:Hyperbolic geometry dbpedia-ro:Hyperbolic geometry dbpedia-ru:Hyperbolic geometry dbpedia-sh:Hyperbolic geometry dbpedia-simple:Hyperbolic geometry dbpedia-sl:Hyperbolic geometry dbpedia-sq:Hyperbolic geometry dbpedia-sr:Hyperbolic geometry dbpedia-sv:Hyperbolic geometry http://tg.dbpedia.org/resource/Ҳандасаи_Лобачевский dbpedia-tr:Hyperbolic geometry dbpedia-uk:Hyperbolic geometry http://uz.dbpedia.org/resource/Lobachevskiy_geometriyasi dbpedia-vi:Hyperbolic geometry dbpedia-zh:Hyperbolic geometry https://global.dbpedia.org/id/z9gH
prov:wasDerivedFrom wikipedia-en:Hyperbolic_geometry?oldid=1122974848&ns=0
foaf:depiction wiki-commons:Special:FilePath/Crochet_hyperbolic_kelp.jpg wiki-commons:Special:FilePath/Hyperbolic.svg wiki-commons:Special:FilePath/Hyperbolic_apeirogon_example.png wiki-commons:Special:FilePath/Hyperbolic_pseudogon_example0.png wiki-commons:Special:FilePath/Hyperbolic_tiling_omnitruncated_3-7.png wiki-commons:Special:FilePath/Hyperbolicsoccerball.jpg wiki-commons:Special:FilePath/Relation5models.png wiki-commons:Special:FilePath/Rhombitriheptagonal_tiling.svg wiki-commons:Special:FilePath/Hyperbolic_triangle.svg
foaf:isPrimaryTopicOf wikipedia-en:Hyperbolic_geometry
is dbo:academicDiscipline of dbr:Caroline_Series
is dbo:knownFor of dbr:Ruth_Kellerhals dbr:Curtis_T._McMullen
is dbo:wikiPageDisambiguates of dbr:Hyperbolic
is dbo:wikiPageRedirects of dbr:History_of_hyperbolic_geometry dbr:Gauss-Bolyai-Lobachevsky_space dbr:Hyperbolic_Geometry dbr:Lobachevskian dbr:Models_of_the_hyperbolic_plane dbr:Bolyai-Lobachevskian_geometry dbr:Bolyai-Lobachevskian_surface dbr:Bolyai_geometry dbr:Bolyai_surface dbr:Gans_model dbr:Analytic_hyperbolic_geometry dbr:Gauss–Bolyai–Lobachevsky_space dbr:Hyperbolic_plane dbr:Hyperbolic_plane_(geometry) dbr:Hyperbolic_surface dbr:Hemisphere_model dbr:Knit_theory dbr:Lobachevski_plane dbr:Lobachevskian_geometry dbr:Lobachevskian_or_hyperbolic_geometry dbr:Lobachevskii_geometry dbr:Lobachevskii_space dbr:Lobachevsky-Bolyai-Gauss_Geometry dbr:Lobachevsky_geometry dbr:Lobachevsky_plane dbr:Ultra-parallel dbr:Ultraparallel dbr:Ultraparallel_line
is dbo:wikiPageWikiLink of dbr:Caroline_Series dbr:Beltrami–Klein_model dbr:Projective_geometry dbr:Pseudosphere dbr:Robert_Riley_(mathematician) dbr:Schläfli_orthoscheme dbr:Schläfli_symbol dbr:Ending_lamination_theorem dbr:List_of_atheists_in_science_and_technology dbr:List_of_differential_geometry_topics dbr:List_of_first-order_theories dbr:Meyerhoff_manifold dbr:Motion_(geometry) dbr:Non-Euclidean_crystallographic_group dbr:Macbeath_surface dbr:Metamathematics dbr:Prime_geodesic dbr:Truncated_order-7_heptagonal_tiling dbr:Snub_tetraapeirogonal_tiling dbr:Beltrami's_theorem dbr:Benjamin_Kagan dbr:Borromean_rings dbr:David_B._A._Epstein dbr:David_Gabai dbr:Dehn_invariant dbr:Dessin_d'enfant dbr:Alfred_Robb dbr:Antiquarian_science_books dbr:Apollonian_gasket dbr:History_of_hyperbolic_geometry dbr:HyperRogue dbr:Hyperbolic_functions dbr:Hyperbolic_group dbr:Hyperbolic_law_of_cosines dbr:Hyperbolic_metric_space dbr:List_of_Shanti_Swarup_Bhatnagar_Prize_recipients dbr:List_of_free_and_open-source_Android_applications dbr:List_of_geometers dbr:List_of_people_considered_father_or_mother_of_a_scientific_field dbr:List_of_regular_polytopes_and_compounds dbr:List_of_sums_of_reciprocals dbr:List_of_things_named_after_Henri_Poincaré dbr:Pentagonal_tiling dbr:Periodic_graph_(geometry) dbr:Relationship_between_religion_and_science dbr:Curved_space dbr:Vladimir_Varićak dbr:Volume_conjecture dbr:Decidability_(logic) dbr:Dehn_plane dbr:Double_limit_theorem dbr:Earthquake_map dbr:Infinite-order_apeirogonal_tiling dbr:Infinite-order_hexagonal_tiling dbr:Infinite-order_pentagonal_tiling dbr:Infinite-order_square_tiling dbr:Infinite-order_triangular_tiling dbr:Infinite_skew_polygon dbr:Inverse_hyperbolic_functions dbr:Inversive_geometry dbr:Light_cone dbr:Limiting_parallel dbr:Linda_Keen dbr:List_of_geometry_topics dbr:List_of_inventions_in_the_medieval_Islamic_world dbr:List_of_lemmas dbr:List_of_mathematical_artists dbr:List_of_multiple_discoveries dbr:List_of_open-source_video_games dbr:Tetraoctagonal_tiling dbr:Snub_triapeirogonal_tiling dbr:Tarski's_axioms dbr:Pentaapeirogonal_tiling dbr:Pentahexagonal_tiling dbr:Truncated_order-5_hexagonal_tiling dbr:Proper_velocity dbr:Psychedelic_drug dbr:Not_Knot dbr:(2,3,7)_triangle_group dbr:15_(number) dbr:Conic_section dbr:Maryam_Mirzakhani dbr:Ruth_Kellerhals dbr:Generalized_trigonometry dbr:Geodesic_map dbr:Geometric_group_theory dbr:Low-dimensional_topology dbr:Octagonal_tiling dbr:Order-6_octagonal_tiling dbr:Order-8_octagonal_tiling dbr:Truncated_order-4_octagonal_tiling dbr:Truncated_order-8_octagonal_tiling dbr:Truncated_triapeirogonal_tiling dbr:Tetraapeirogonal_tiling dbr:Order-7_triangular_tiling dbr:Q-analog dbr:Radial_tree dbr:SL2(R) dbr:1826_in_science dbr:1870_in_science dbr:Cinderella_(software) dbr:Ehrenfest_paradox dbr:Elliptic_geometry dbr:Emily_Coddington_Williams dbr:Félix_Candela dbr:G._B._Halsted dbr:Gaussian_curvature dbr:Gauss–Bonnet_theorem dbr:Geometrization_conjecture dbr:Geometry dbr:Glossary_of_areas_of_mathematics dbr:Gnomonic_projection dbr:Golden_ratio dbr:Minkowski_space dbr:Modular_group dbr:Morley's_trisector_theorem dbr:Möbius_strip dbr:Möbius_transformation dbr:N,N-Dimethyltryptamine dbr:Congruence_(geometry) dbr:Constant_curvature dbr:Constructions_in_hyperbolic_geometry dbr:Coordinate_systems_for_the_hyperbolic_plane dbr:Coshc_function dbr:Crochet dbr:Crocheting_Adventures_with_Hyperbolic_Planes dbr:Cross-ratio dbr:Thomas_precession dbr:Equidistant dbr:Erlangen_program dbr:Schoen–Yau_conjecture dbr:Snub_heptaheptagonal_tiling dbr:Snub_order-8_triangular_tiling dbr:Order-3_apeirogonal_tiling dbr:Order-4_apeirogonal_tiling dbr:Order-4_heptagonal_tiling dbr:Order-4_hexagonal_tiling dbr:Order-4_octagonal_tiling dbr:Order-5_hexagonal_tiling dbr:Order-5_square_tiling dbr:Order-6_apeirogonal_tiling dbr:Order-6_hexagonal_tiling dbr:Order-6_square_tiling dbr:Order-7_heptagonal_tiling dbr:Order-7_heptagrammic_tiling dbr:Order-8_pentagonal_tiling dbr:Order-8_square_tiling dbr:Order-8_triangular_tiling dbr:Ordered_geometry dbr:Truncated_infinite-order_triangular_tiling dbr:Plane_geometry_(disambiguation) dbr:Anti-de_Sitter_space dbr:Aristotle's_axiom dbr:Arithmetic_hyperbolic_3-manifold dbr:Line–line_intersection dbr:Luis_Santaló dbr:M._C._Escher dbr:Mahan_Mj dbr:Similarity_(geometry) dbr:Stereographic_projection dbr:Clay_Research_Award dbr:Climate_change_art dbr:Comparison_triangle dbr:Complex_geodesic dbr:Émile_Borel dbr:Franz_Taurinus dbr:Fuchsian_group dbr:Fuchsian_model dbr:Horocycle dbr:Horosphere dbr:Ideal_point dbr:Ideal_polyhedron dbr:Ideal_triangle dbr:Gauss-Bolyai-Lobachevsky_space dbr:Paradigm_shift dbr:Parallel_(geometry) dbr:Parallel_postulate dbr:Picard_horn dbr:Plane_(geometry) dbr:Space dbr:Space_(mathematics) dbr:Squaring_the_circle dbr:Steinitz's_theorem dbr:Striation dbr:Markov_number dbr:Mathemalchemy dbr:Mathematics_and_art dbr:Order-7_square_tiling dbr:Cayley_transform dbr:Cayley–Klein_metric dbr:Tractrix dbr:Wallpaper_group dbr:Werner_Fenchel dbr:Wilhelm_Killing dbr:William_Thurston dbr:Ditrigonal_dodecadodecahedron dbr:Dmitry_Morduhai-Boltovskoi dbr:Dodecadodecahedron dbr:Giovanni_Girolamo_Saccheri dbr:Heinrich_Liebmann dbr:Jarkko_Kari dbr:Lambert_quadrilateral dbr:Spectral_graph_theory dbr:Superlens dbr:Schwarz–Ahlfors–Pick_theorem dbr:Snub_hexahexagonal_tiling dbr:Snub_order-6_square_tiling dbr:Orbifold_notation dbr:Truncated_order-3_apeirogonal_tiling dbr:Tetraheptagonal_tiling dbr:8 dbr:Albert_Marden dbr:Algebraic_curve dbr:3-manifold dbr:Curtis_T._McMullen dbr:Curvature dbr:Alternated_octagonal_tiling dbr:Alternated_order-4_hexagonal_tiling dbr:Alternating_knot dbr:Euclid's_Elements dbr:Euclidean_space dbr:Ferdinand_Karl_Schweikart dbr:Figure-eight_knot_(mathematics) dbr:Angle_of_parallelism dbr:Band_model dbr:Brian_Bowditch dbr:Nikolai_Lobachevsky dbr:Non-Euclidean_geometry dbr:Numbers_(season_4) dbr:Carathéodory_metric dbr:Ford_circle dbr:Foundations_of_geometry dbr:Foundations_of_mathematics dbr:Gram–Euler_theorem dbr:Hilbert's_arithmetic_of_ends dbr:Hilbert's_third_problem dbr:Hilbert_metric dbr:History_of_manifolds_and_varieties dbr:History_of_mathematical_notation dbr:History_of_mathematics dbr:History_of_special_relativity dbr:Hjelmslev_transformation dbr:Isoperimetric_dimension dbr:Isotropic_quadratic_form dbr:Journey_into_Geometries dbr:Knot_theory dbr:Tessellation dbr:List_of_Lie_groups_topics dbr:List_of_Russian_mathematicians dbr:List_of_Russian_scientists dbr:List_of_things_named_after_Carl_Friedrich_Gauss dbr:Upper_half-plane dbr:Pythagorean_theorem dbr:Raising_(metalworking) dbr:Regular_map_(graph_theory) dbr:Regular_polyhedron dbr:19th_century_in_science dbr:Group_(mathematics) dbr:Gudermannian_function dbr:Gustav_von_Escherich dbr:Harold_Scott_MacDonald_Coxeter dbr:Hellmuth_Stachel dbr:Henri_Poincaré dbr:Heptagon dbr:Hilbert's_fourth_problem dbr:History_of_Lorentz_transformations dbr:James_W._Cannon dbr:Tamara_Munzner dbr:Coxeter_decompositions_of_hyperbolic_polygons dbr:Coxeter_group dbr:Hurwitz_surface dbr:Hyperbola dbr:Hyperbolic_Dehn_surgery dbr:Hyperbolic_coordinates dbr:Hyperbolic_link dbr:Hyperbolic_motion dbr:Hyperbolic_space dbr:Hyperbolic_tree dbr:Hyperbolic_triangle dbr:Hyperboloid_model dbr:Hypercycle_(geometry) dbr:Jeffrey_Brock dbr:Margaret_Wertheim dbr:Rhombitetraapeirogonal_tiling dbr:Order-5_apeirogonal_tiling dbr:Triangle_center dbr:Snub_apeiroapeirogonal_tiling dbr:Snub_tetrapentagonal_tiling dbr:Snub_triapeirotrigonal_tiling dbr:Arthur_Cayley dbr:Arthur_Schopenhauer dbr:Absolute_geometry dbr:Aleksandr_Kotelnikov dbr:Jeremy_Kahn dbr:János_Bolyai dbr:Law_of_cosines dbr:Law_of_sines dbr:Binary_tiling dbr:Biquaternion dbr:Blackboard_bold
is dbp:fields of dbr:Caroline_Series
is dbp:knownFor of dbr:Curtis_T._McMullen
is rdfs:seeAlso of dbr:Rigour dbr:Parallel_(geometry) dbr:Non-Euclidean_geometry dbr:Poincaré_disk_model
is foaf:primaryTopic of wikipedia-en:Hyperbolic_geometry