Paley–Wiener theorem (original) (raw)
Der Satz von Paley-Wiener, benannt nach Raymond Paley und Norbert Wiener, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er charakterisiert die Fourier-Laplace-Transformationen glatter Funktionen mit kompaktem Träger bzw. temperierter Distributionen mit kompaktem Träger mittels Wachstumsbedingungen.
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| dbo:abstract | Der Satz von Paley-Wiener, benannt nach Raymond Paley und Norbert Wiener, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er charakterisiert die Fourier-Laplace-Transformationen glatter Funktionen mit kompaktem Träger bzw. temperierter Distributionen mit kompaktem Träger mittels Wachstumsbedingungen. (de) En matemáticas, un teorema de Paley-Wiener es cualquier teorema que relacione las propiedades de descomposición de una función o distribución en el infinito con la analticidad de su transformada de Fourier. El teorema se nombra para (1907–1933) y Norbert Wiener (1894–1964). Los teoremas originales no utilizaban el lenguaje de las distribuciones y, en cambio, se aplicaban a funciones cuadradas integrables. El primer teorema de este tipo que usa distribuciones se debió a Laurent Schwartz. (es) In mathematics, a Paley–Wiener theorem is any theorem that relates decay properties of a function or distribution at infinity with analyticity of its Fourier transform. The theorem is named for Raymond Paley (1907–1933) and Norbert Wiener (1894–1964). The original theorems did not use the language of distributions, and instead applied to square-integrable functions. The first such theorem using distributions was due to Laurent Schwartz. These theorems heavily rely on the triangle inequality (to interchange the absolute value and integration). (en) En mathématiques, on appelle théorème de Paley-Wiener tout théorème qui relie les propriétés de décroissance à l'infini d'une fonction ou d'une distribution avec l'analyticité de sa transformée de Fourier. Ce théorème a été ainsi nommé en hommage à Raymond Paley et Norbert Wiener. Le théorème originel n'utilise pas le langage des distributions, mais celui des fonctions de carré intégrable. La première formulation d'un théorème de ce type utilisant les distributions est due à Laurent Schwartz. (fr) Il teorema di Paley-Wiener, noto anche come criterio di Paley-Wiener, è una relazione matematica che consente di determinare se un sistema lineare tempo invariante è causale o meno. Il teorema consente solo di stabilire la causalità e non dà indicazioni su come rendere causale un sistema che non lo è. Prende il nome da due matematici, il britannico Raymond E. A. C. Paley (1907 - 1933) e l'americano Norbert Wiener (1894 - 1964) che lo enunciarono nell'ambito delle loro ricerche sulla trasformazione di Fourier per le funzioni analitiche; successivamente ne emerse il significato applicativo ai fini dello studio dei circuiti elettrici. L'applicabilità del teorema di Paley-Wiener richiede come condizione necessaria che ovvero che la risposta in frequenza del sistema sia quadrato integrabile o assolutamente sommabile. Se tale condizione è verificata, la condizione necessaria ma non sufficiente per l'applicabilità del teorema di Paley-Wiener è che In questo caso è possibile, sotto la verifica delle ipotesi, trovare una per cui il filtro sia causale. Un tipico campo di applicazione del criterio riguarda i filtri reali. I filtri ideali infatti non sono causali e non possono essere resi tali in quanto la loro risposta in frequenza è nulla su intervalli frequenziali di misura non nulla: questo implica la divergenza del secondo integrale e quindi non sarebbe verificata la condizione necessaria del teorema.Esempi elementari di filtri reali del secondo ordine, del tipo R-C e C-R sono invece causali, perché le loro risposte impulsive rispettano le condizioni del teorema. (it) Em análise de sinais, a condição de Paley-Wiener, também conhecida como teorema de Paley-Wiener e critério de Paley-Wiener, estabelece uma condição necessária e suficiente para determinar se um dado sistema é , a partir de sua resposta em frequência. Se a resposta no domínio do tempo for dada por h(t), então, se o sistema é causal, * a energia de h(t) é finita (condição de estabilidade da resposta), e * h(t) = 0 para t < 0 (condição de causalidade da resposta). O teorema de Paley-Wiener estabelece que, se as condições acima são satisfeitas, então a resposta no domínio da frequência do sistema, dada por H(ω), é também limitada tal que Inversamente, se a equação (1a) é satisfeita e a energia de H(ω) é finita, então as condições de estabilidade e causalidade do sistema são satisfeitas. Nesse caso, pode-se escrever a resposta em frequência na forma onde φ(ω) é a resposta em fase do sistema. Quando escrita nessa forma, H(ω) é chamada de função de transferência de mínima fase porque todos os seus zeros estão localizados na metade esquerda do plano complexo. A equação (1a) pode ser alternativamente expressa no domínio do tempo da maneira seguinte: A equação (1b) estabelece que a amplitude da resposta do sistema (|h(t) |
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| dbp:mathStatement | An entire function F on Cn is the Fourier–Laplace transform of a distribution v of compact support if and only if for all z ∈ Cn, : for some constants C, N, B. The distribution v in fact will be supported in the closed ball of center 0 and radius B. (en) |
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| rdfs:comment | Der Satz von Paley-Wiener, benannt nach Raymond Paley und Norbert Wiener, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er charakterisiert die Fourier-Laplace-Transformationen glatter Funktionen mit kompaktem Träger bzw. temperierter Distributionen mit kompaktem Träger mittels Wachstumsbedingungen. (de) En matemáticas, un teorema de Paley-Wiener es cualquier teorema que relacione las propiedades de descomposición de una función o distribución en el infinito con la analticidad de su transformada de Fourier. El teorema se nombra para (1907–1933) y Norbert Wiener (1894–1964). Los teoremas originales no utilizaban el lenguaje de las distribuciones y, en cambio, se aplicaban a funciones cuadradas integrables. El primer teorema de este tipo que usa distribuciones se debió a Laurent Schwartz. (es) In mathematics, a Paley–Wiener theorem is any theorem that relates decay properties of a function or distribution at infinity with analyticity of its Fourier transform. The theorem is named for Raymond Paley (1907–1933) and Norbert Wiener (1894–1964). The original theorems did not use the language of distributions, and instead applied to square-integrable functions. The first such theorem using distributions was due to Laurent Schwartz. These theorems heavily rely on the triangle inequality (to interchange the absolute value and integration). (en) En mathématiques, on appelle théorème de Paley-Wiener tout théorème qui relie les propriétés de décroissance à l'infini d'une fonction ou d'une distribution avec l'analyticité de sa transformée de Fourier. Ce théorème a été ainsi nommé en hommage à Raymond Paley et Norbert Wiener. Le théorème originel n'utilise pas le langage des distributions, mais celui des fonctions de carré intégrable. La première formulation d'un théorème de ce type utilisant les distributions est due à Laurent Schwartz. (fr) Теорема Пэли-Винера — совокупность всех целых функций экспоненциального типа , для которых совпадает с множеством функций , допускающих представление , где . (ru) Il teorema di Paley-Wiener, noto anche come criterio di Paley-Wiener, è una relazione matematica che consente di determinare se un sistema lineare tempo invariante è causale o meno. Il teorema consente solo di stabilire la causalità e non dà indicazioni su come rendere causale un sistema che non lo è. L'applicabilità del teorema di Paley-Wiener richiede come condizione necessaria che ovvero che la risposta in frequenza del sistema sia quadrato integrabile o assolutamente sommabile. In questo caso è possibile, sotto la verifica delle ipotesi, trovare una per cui il filtro sia causale. (it) Em análise de sinais, a condição de Paley-Wiener, também conhecida como teorema de Paley-Wiener e critério de Paley-Wiener, estabelece uma condição necessária e suficiente para determinar se um dado sistema é , a partir de sua resposta em frequência. Se a resposta no domínio do tempo for dada por h(t), então, se o sistema é causal, * a energia de h(t) é finita (condição de estabilidade da resposta), e * h(t) = 0 para t < 0 (condição de causalidade da resposta). A equação (1a) pode ser alternativamente expressa no domínio do tempo da maneira seguinte: (pt) |
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