Pseudosphere (original) (raw)
En geometria, el terme pseudoesfera es fa servir per referir-se a diferents superfícies que tenen curvatura gaussiana negativa i constant.
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| dbo:abstract | En geometria, el terme pseudoesfera es fa servir per referir-se a diferents superfícies que tenen curvatura gaussiana negativa i constant. (ca) In der Differentialgeometrie wird der Begriff Pseudosphäre für verschiedene Flächen benutzt, die eine konstante negative Gaußkrümmung haben: * ein Hyperboloid, * ein Traktrikoid (die Drehfläche einer Traktrix) oder * eine theoretische Oberfläche konstanter negativer Krümmung. (de) Una pseudoesfera es la superficie de revolución que seobtiene girando una tractriz alrededor de su asíntota. Es unasuperficie con curvatura de Gauss constante negativa, lo queimplica que cada uno de sus puntos es un punto de silla. El radio de la circunferencia que resulta de la revolución del vértice de latractriz (el punto en la ilustración) se llamaradio de la pseudoesfera. Normalmente se considera que la pseudoesferaconsta de las dos partes simétricas a un lado y otro de dicha circunferencia,de forma que es una superficie regular salvo en los puntos de la misma. La motivación del nombre de "pseudoesfera" proviene de ciertasanalogías existentes con la esfera de dimensión 2: ésta tienecurvatura constante positiva, mientras que la pseudoesfera tienecurvatura constante negativa. Aunque la pseudoesfera no es unasuperficie acotada, su área es finita, así como el volumende la región que encierra. Su área , en función del radio , es el mismo que el de la esfera del mismo radio y su volumen es la mitad del de la esfera (y pueden calcularse a partir de lasfórmulas usuales para superficies de revolución): Dado que la pseudoesfera tiene curvatura constante negativa, eslocalmente isométrica al plano hiperbólico, y de hecho media pseudoesferamenos una de sus generatrices es isométrica a un abierto del plano hiperbólico. Por este motivo, la pseudoesfera es un modeloútil para visualizar parte de dicho plano como superficie en elespacio euclídeo usual. Este abierto del plano hiperbólico está bordeado por tres curvas: un trozo de horocírculo y dos geodésicas con extremo común en infinito, como muestra el dibujo. Además, el horodisco que contiene a dicho abierto se puede ver como un de infinitas hojas de media pseudoesfera. (es) In geometry, a pseudosphere is a surface with constant negative Gaussian curvature. A pseudosphere of radius R is a surface in having curvature −1/R2 in each point. Its name comes from the analogy with the sphere of radius R, which is a surface of curvature 1/R2. The term was introduced by Eugenio Beltrami in his 1868 paper on models of hyperbolic geometry. (en) En géométrie, le terme de pseudosphère est utilisé pour décrire diverses surfaces dont la courbure de Gauss est constante et négative. Selon le contexte, il peut se référer soit à une surface théorique de courbure négative (une variété riemannienne), soit à une surface effectivement réalisée de l'espace, telle qu'une tractricoïde. (fr) In geometria, la pseudosfera è una superficie di rivoluzione generata dalla rotazione della trattrice intorno al suo asintoto. È chiamata pseudosfera perché la sua curvatura è costante in ogni punto e opposta a quella di una sfera di raggio R: Tale superficie fu proposta da Eugenio Beltrami come modello di geometria iperbolica nel 1868. Essa, infatti, localmente soddisfa gli assiomi della geometria iperbolica, allo stesso modo di come la superficie di un cilindro localmente è un modello equivalente ad un piano euclideo. Una variante di tale superficie è la superficie di Dini. (it) 유사구(類似球, pseudosphere)는 추적선(tractrix)을 점근선에 대해 회전하여 얻는 곡면으로 균일한 음의 가우스 곡률을 가지고 있다. 에우제니오 벨트라미가 발견하였다. (ko) Een pseudosfeer is een ruimtelijk oppervlak met een constante negatieve Gaussiaanse kromming. Het is in zekere zin de tegenhanger van een boloppervlak of sfeer dat ook een constante kromming heeft, maar dan een positieve. De benaming 'pseudosfeer' werd bedacht door de Italiaanse wiskundige Eugenio Beltrami (1835-1900) in het kader van zijn onderzoek in het gebied van de niet-Euclidische meetkunde. De figuur zelf was al eerder bekend. De benaming pseudosfeer is wat misleidend want qua vorm gelijkt de pseudosfeer helemaal niet op een sfeer. De verwantschap is te vinden in bepaalde eigenschappen: de oppervlakte, het volume en de Gaussiaanse kromming (zie verder). (nl) Pseudosfera – powierzchnia obrotowa utworzona przez obrót traktrysy wokół jej asymptoty. Była analizowana już przez Eugenio Beltramiego w 1868 roku. Oznaczając przez maksymalną odległość punktów tej powierzchni od jej osi (tzw. promień pseudosfery), dostaniemy dla pseudosfery: * pole powierzchni: * objętość przestrzeni ograniczonej pseudosferą: * krzywizna Gaussa: (z wyłączeniem osobliwości na brzegu). Pseudosfera jest powierzchnią stałej ujemnej krzywizny odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu promienia, podobnie jak sfera, tyle, że ta druga ma krzywiznę ze znakiem dodatnim. Dlatego też, o ile na sferze lokalnie realizuje się geometria eliptyczna, o tyle na pseudosferze lokalnie realizuje się geometria hiperboliczna. Pseudosfera ma pole powierzchni równe polu zwykłej sfery o takim samym promieniu. Objętość przestrzeni ograniczonej pseudosferą o promieniu jest równa połowie objętości kuli o promieniu (pl) En pseudosfär är en trumpetformad rotationsyta, som kan beskrivas med en matematisk graf, liksom kuben, sfären mm. Man kan visa att pseudosfären har konstant Gausskrökning -1. Namnet "pseudosfär" används därför för att den är en tvådimensionell yta med konstant krökning. Precis som sfären i varje punkt har den positivt krökta geometrin hos ett kupolvalv, så har hela pseudosfären i varja punkt den negativt krökta ytan hos en sadel. Pseudosfären uppkommer genom att rotera en traktriskurva till en linje i planet kring denna linje. Traktrisen kan karakteriseras på följande vis. Betrakta det segment av tangentlinjen till kurvan vars ändpunkter är tangeringspunkten (med kurvan) samt skärningspunkten med . Längden av detta segment är lika med 1 för varje punkt på traktrisen. En parametrisering av en psuedosfär ges av I detta fall ligger kurvan i xz-planet, och rotationslinjen ges av z-axeln. (sv) Псевдосфера (від «псевдо»… і грецького — куля) — поверхня сталої від'ємної кривини. Утворена обертанням трактриси навколо її асимптоти. Для достатньо малих частин псевдосфери, які не мають особливих точок, справедливими є співвідношення геометрії Лобачевського. Це відкриття Еудженіо Бельтрамі у 1868 відіграло важливу роль у розвитку неевклідових геометрій, бо дало змогу переконатись у реальності геометрії Лобачевського. Назва несправжня сфера підкреслює схожість і відмінність між псевдосферою і сферою - у сфери поверхня має сталу додатну кривину. (uk) 偽球面（英語：pseudosphere，又譯擬球面）是幾何學中高斯曲率恆為負的平面。一半徑的偽球面，是中每點高斯曲率均為的平面。偽球面這個名稱是類比半徑的球面（曲率的平面），由贝尔特拉米於1868年雙曲幾何模型的論文提出。其為曳物線繞其漸近線的旋轉曲面。 (zh) Псевдосфе́ра (или поверхность Бельтра́ми) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной. (ru) |
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Selon le contexte, il peut se référer soit à une surface théorique de courbure négative (une variété riemannienne), soit à une surface effectivement réalisée de l'espace, telle qu'une tractricoïde. (fr) In geometria, la pseudosfera è una superficie di rivoluzione generata dalla rotazione della trattrice intorno al suo asintoto. È chiamata pseudosfera perché la sua curvatura è costante in ogni punto e opposta a quella di una sfera di raggio R: Tale superficie fu proposta da Eugenio Beltrami come modello di geometria iperbolica nel 1868. Essa, infatti, localmente soddisfa gli assiomi della geometria iperbolica, allo stesso modo di come la superficie di un cilindro localmente è un modello equivalente ad un piano euclideo. Una variante di tale superficie è la superficie di Dini. (it) 유사구(類似球, pseudosphere)는 추적선(tractrix)을 점근선에 대해 회전하여 얻는 곡면으로 균일한 음의 가우스 곡률을 가지고 있다. 에우제니오 벨트라미가 발견하였다. (ko) Een pseudosfeer is een ruimtelijk oppervlak met een constante negatieve Gaussiaanse kromming. Het is in zekere zin de tegenhanger van een boloppervlak of sfeer dat ook een constante kromming heeft, maar dan een positieve. De benaming 'pseudosfeer' werd bedacht door de Italiaanse wiskundige Eugenio Beltrami (1835-1900) in het kader van zijn onderzoek in het gebied van de niet-Euclidische meetkunde. De figuur zelf was al eerder bekend. De benaming pseudosfeer is wat misleidend want qua vorm gelijkt de pseudosfeer helemaal niet op een sfeer. De verwantschap is te vinden in bepaalde eigenschappen: de oppervlakte, het volume en de Gaussiaanse kromming (zie verder). (nl) Псевдосфера (від «псевдо»… і грецького — куля) — поверхня сталої від'ємної кривини. Утворена обертанням трактриси навколо її асимптоти. Для достатньо малих частин псевдосфери, які не мають особливих точок, справедливими є співвідношення геометрії Лобачевського. Це відкриття Еудженіо Бельтрамі у 1868 відіграло важливу роль у розвитку неевклідових геометрій, бо дало змогу переконатись у реальності геометрії Лобачевського. Назва несправжня сфера підкреслює схожість і відмінність між псевдосферою і сферою - у сфери поверхня має сталу додатну кривину. (uk) 偽球面（英語：pseudosphere，又譯擬球面）是幾何學中高斯曲率恆為負的平面。一半徑的偽球面，是中每點高斯曲率均為的平面。偽球面這個名稱是類比半徑的球面（曲率的平面），由贝尔特拉米於1868年雙曲幾何模型的論文提出。其為曳物線繞其漸近線的旋轉曲面。 (zh) Псевдосфе́ра (или поверхность Бельтра́ми) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной. (ru) Una pseudoesfera es la superficie de revolución que seobtiene girando una tractriz alrededor de su asíntota. Es unasuperficie con curvatura de Gauss constante negativa, lo queimplica que cada uno de sus puntos es un punto de silla. El radio de la circunferencia que resulta de la revolución del vértice de latractriz (el punto en la ilustración) se llamaradio de la pseudoesfera. Normalmente se considera que la pseudoesferaconsta de las dos partes simétricas a un lado y otro de dicha circunferencia,de forma que es una superficie regular salvo en los puntos de la misma. (es) Pseudosfera – powierzchnia obrotowa utworzona przez obrót traktrysy wokół jej asymptoty. Była analizowana już przez Eugenio Beltramiego w 1868 roku. Oznaczając przez maksymalną odległość punktów tej powierzchni od jej osi (tzw. promień pseudosfery), dostaniemy dla pseudosfery: * pole powierzchni: * objętość przestrzeni ograniczonej pseudosferą: * krzywizna Gaussa: (z wyłączeniem osobliwości na brzegu). (pl) En pseudosfär är en trumpetformad rotationsyta, som kan beskrivas med en matematisk graf, liksom kuben, sfären mm. Man kan visa att pseudosfären har konstant Gausskrökning -1. Namnet "pseudosfär" används därför för att den är en tvådimensionell yta med konstant krökning. Precis som sfären i varje punkt har den positivt krökta geometrin hos ett kupolvalv, så har hela pseudosfären i varja punkt den negativt krökta ytan hos en sadel. En parametrisering av en psuedosfär ges av I detta fall ligger kurvan i xz-planet, och rotationslinjen ges av z-axeln. (sv) |
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