Poincaré half-plane model (original) (raw)
Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In non-Euclidean geometry, the Poincaré half-plane model is the upper half-plane, denoted below as H , together with a metric, the Poincaré metric, that makes it a model of two-dimensional hyperbolic geometry. Equivalently the Poincaré half-plane model is sometimes described as a complex plane where the imaginary part (the y coordinate mentioned above) is positive. The Poincaré half-plane model is named after Henri Poincaré, but it originated with Eugenio Beltrami who used it, along with the Klein model and the Poincaré disk model, to show that hyperbolic geometry was equiconsistent with Euclidean geometry. This model is conformal which means that the angles measured at a point are the same in the model as they are in the actual hyperbolic plane. The Cayley transform provides an isometry between the half-plane model and the Poincaré disk model. This model can be generalized to model an dimensional hyperbolic space by replacing the real number x by a vector in an n dimensional Euclidean vector space. (en) Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski. (fr) Il semispazio di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il disco di Poincaré. (it) 非ユークリッド幾何学におけるポワンカレ半平面模型（はんへいめんもけい、英: Poincaré half-plane model）は、上半平面（以下 H と記す）にポワンカレ計量と呼ばれる計量をあわせて考えたもので、二次元双曲幾何学のモデルを形成する。 名称はアンリ・ポアンカレに因むものだが、そもそもはベルトラミが、クライン模型・（リーマンによる）ポワンカレ円板模型とともに、双曲幾何学がユークリッド幾何学にであることを示すために用いたものである。円板模型と半平面模型とは共形写像のもとで同型である。 (ja) Model Poincarégo – jeden z modeli planimetrii hiperbolicznej odkryty przez uczonego francuskiego Henriego Poincarégo w 1882 roku. Na płaszczyźnie euklidesowej ustalona jest prosta nazywana absolutem. Punktami płaszczyzny hiperbolicznej są punkty leżące po jednej stronie absolutu, czyli płaszczyzną hiperboliczną jest półpłaszczyzna otwarta (tj. bez punktów ograniczającej ją prostej) wyznaczona przez absolut. Punkty tej półpłaszczyzny nazywamy punktami skończonymi płaszczyzny hiperbolicznej. Prostymi w tym modelu są: 1. * półproste euklidesowe otwarte (tj. bez początku półprostej) prostopadłe do absolutu o początku należącym do absolutu, 2. * półokręgi otwarte (tj. bez końców) o środku i końcach leżących na absolucie. Odcinkami w tym modelu są albo odcinki zawarte w prostych typu 1., albo łuki okręgów zawarte w prostych typu 2. (pl) Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости — это верхняя половина плоскости , обозначаемая ниже как H, вместе с метрикой (метрикой Пуанкаре), которая делает её моделью двумерной гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского). Эквивалентно, модель Пуанкаре в верхней полуплоскости иногда описывается как комплексная плоскость, в которой мнимая компонента (координата y, упомянутая выше) положительна. Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости носит имя Анри Пуанкаре, но её создал Эудженио Бельтрами, который использовал её вместе с моделью Кляйна и моделью Пуанкаре́ в круге, чтобы показать, что гиперболическая геометрия , насколько непротиворечива евклидова геометрия. Эта модель конформна, что означает, что углы, измеренные в точке модели, равны углам на гиперболической плоскости. Преобразование Кэли даёт изометрию между моделью в полуплоскости и моделью Пуанкаре́ в круге. Эту модель можно обобщить до модели (n+1)-мерного гиперболического пространства путём замены вещественного числа x вектором в n-мерном евклидовом векторном пространстве. (ru) 在非欧几里得几何中，庞加莱半平面模型（Poincaré half-plane model）是赋有庞加莱度量的上半平面，这是二维双曲几何的一个模型。 它以昂利·庞加莱命名，但最初是贝尔特拉米（Eugenio Beltrami）发现的，他用这个模型与克莱因模型以及庞加莱圆盘模型（属于黎曼）证明了双曲几何与欧几里得几何的（equiconsistent）。圆盘模型与半平面模型在共形映射下是等价的。 (zh) Модель Пуанкаре у верхній півплощині — це верхня половина площини , позначувана далі як H, разом з метрикою (метрикою Пуанкаре), яка робить її моделлю двовимірної гіперболічної геометрії (геометрії Лобачевського). Еквівалентно, модель Пуанкаре у верхній півплощині іноді описують як комплексну площину, в якій уявна компонента (координата y, згадана вище) додатна. Модель Пуанкаре у верхній півплощині носить ім'я Анрі Пуанкаре, але її створив Еудженіо Бельтрамі, який використав її разом з моделлю Кляйна і моделлю Пуанкаре в крузі, щоб показати, що гіперболічна геометрія , наскільки несуперечлива евклідова геометрія. Ця модель конформна, що означає, що кути, виміряні в точці моделі, дорівнюють кутам на гіперболічній площині. Перетворення Келі дає ізометрію між моделлю в півплощині і моделлю Пуанкаре в крузі. Цю модель можна узагальнити до моделі (n+1)-вимірного гіперболічного простору, замінивши дійсне число x вектором у n-вимірному евклідовому векторному просторі. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Parallel_rays_in_Poin..._of_hyperbolic_geometry.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/thoriedesgroup00poin |
| dbo:wikiPageID | 461942 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 21827 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1108635738 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Projective_special_linear_group dbr:Pseudosphere dbr:Annali_di_Matematica_Pura_ed_Applicata dbr:Apex_(geometry) dbr:Homogeneous_space dbr:John_Stillwell dbr:Perpendicular dbr:Riemann_surface dbr:Lie_group dbr:Complex_plane dbr:Orthogonal dbr:Unit_tangent_bundle dbr:SL2(R) dbr:Elliptic_functions dbr:Geodesics dbr:Modular_form dbr:Modular_group dbr:Möbius_transformation dbr:Conformal_map_projection dbr:Cross-ratio dbr:Equiconsistency dbr:Order-3_heptagonal_tiling dbr:Angle dbr:Fuchsian_group dbr:Fuchsian_model dbr:Horocycle dbr:Ideal_point dbr:Acta_Mathematica dbr:Cayley_transform dbr:Lattice_(group) dbr:Line_bundle dbr:Schwarz–Ahlfors–Pick_theorem dbc:Conformal_geometry dbr:Eugenio_Beltrami dbr:Fiber_bundle dbr:Angle_of_parallelism dbc:Hyperbolic_geometry dbr:Non-Euclidean_geometry dbr:Compass_and_straightedge_constructions dbr:Upper_half-plane dbr:Free_regular_set dbr:Projective_linear_group dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Gudermannian_function dbr:Henri_Poincaré dbr:Inverse_hyperbolic_function dbr:Irwin_Kra dbr:Isometry dbr:Isomorphic dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Hyperbolic_motion dbr:Hyperbolic_space dbr:Hyperboloid_model dbr:Hypercycle_(geometry) dbr:Chord_(geometry) dbr:Jürgen_Jost dbr:Poincaré_disk_model dbr:Special_orthogonal_group dbr:Imaginary_part dbr:Metric_tensor dbr:Kleinian_model dbr:Mathematical_model dbr:Special_linear_group dbc:Henri_Poincaré dbr:Euclidean_distance dbr:Euclidean_geometry dbr:Klein_model dbr:Metric_(mathematics) dbr:Ultraparallel_theorem dbr:Poincaré_metric dbr:Transitive_action dbr:PSL2(R) dbr:Geodesic_flow dbr:Anosov_flow dbr:File:Distance_in_the_half-plane_model.png dbr:File:Distance_in_the_half-plane_model_2.png dbr:File:Parallel_rays_in_Poincare_model_of_hyperbolic_geometry.svg dbr:File:Poincare_halfplane_heptagonal_hb.svg dbr:File:Distance_in_the_half-plane_model_3.png |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Pars dbt:Div_col dbt:Div_col_end dbt:Main dbt:Math dbt:Mvar dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Short_description dbt:Isbn |
| dcterms:subject | dbc:Conformal_geometry dbc:Hyperbolic_geometry dbc:Henri_Poincaré |
| rdf:type | owl:Thing |
| rdfs:comment | Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski. (fr) Il semispazio di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il disco di Poincaré. (it) 非ユークリッド幾何学におけるポワンカレ半平面模型（はんへいめんもけい、英: Poincaré half-plane model）は、上半平面（以下 H と記す）にポワンカレ計量と呼ばれる計量をあわせて考えたもので、二次元双曲幾何学のモデルを形成する。 名称はアンリ・ポアンカレに因むものだが、そもそもはベルトラミが、クライン模型・（リーマンによる）ポワンカレ円板模型とともに、双曲幾何学がユークリッド幾何学にであることを示すために用いたものである。円板模型と半平面模型とは共形写像のもとで同型である。 (ja) 在非欧几里得几何中，庞加莱半平面模型（Poincaré half-plane model）是赋有庞加莱度量的上半平面，这是二维双曲几何的一个模型。 它以昂利·庞加莱命名，但最初是贝尔特拉米（Eugenio Beltrami）发现的，他用这个模型与克莱因模型以及庞加莱圆盘模型（属于黎曼）证明了双曲几何与欧几里得几何的（equiconsistent）。圆盘模型与半平面模型在共形映射下是等价的。 (zh) In non-Euclidean geometry, the Poincaré half-plane model is the upper half-plane, denoted below as H , together with a metric, the Poincaré metric, that makes it a model of two-dimensional hyperbolic geometry. Equivalently the Poincaré half-plane model is sometimes described as a complex plane where the imaginary part (the y coordinate mentioned above) is positive. This model is conformal which means that the angles measured at a point are the same in the model as they are in the actual hyperbolic plane. (en) Model Poincarégo – jeden z modeli planimetrii hiperbolicznej odkryty przez uczonego francuskiego Henriego Poincarégo w 1882 roku. Na płaszczyźnie euklidesowej ustalona jest prosta nazywana absolutem. Punktami płaszczyzny hiperbolicznej są punkty leżące po jednej stronie absolutu, czyli płaszczyzną hiperboliczną jest półpłaszczyzna otwarta (tj. bez punktów ograniczającej ją prostej) wyznaczona przez absolut. Punkty tej półpłaszczyzny nazywamy punktami skończonymi płaszczyzny hiperbolicznej. Prostymi w tym modelu są: (pl) Модель Пуанкаре у верхній півплощині — це верхня половина площини , позначувана далі як H, разом з метрикою (метрикою Пуанкаре), яка робить її моделлю двовимірної гіперболічної геометрії (геометрії Лобачевського). Еквівалентно, модель Пуанкаре у верхній півплощині іноді описують як комплексну площину, в якій уявна компонента (координата y, згадана вище) додатна. Ця модель конформна, що означає, що кути, виміряні в точці моделі, дорівнюють кутам на гіперболічній площині. Перетворення Келі дає ізометрію між моделлю в півплощині і моделлю Пуанкаре в крузі. (uk) Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости — это верхняя половина плоскости , обозначаемая ниже как H, вместе с метрикой (метрикой Пуанкаре), которая делает её моделью двумерной гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского). Эквивалентно, модель Пуанкаре в верхней полуплоскости иногда описывается как комплексная плоскость, в которой мнимая компонента (координата y, упомянутая выше) положительна. Эта модель конформна, что означает, что углы, измеренные в точке модели, равны углам на гиперболической плоскости. (ru) |
| rdfs:label | Semispazio di Poincaré (it) Demi-plan de Poincaré (fr) ポワンカレの上半平面モデル (ja) Poincaré half-plane model (en) Model Poincarégo (pl) Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости (ru) Модель Пуанкаре у верхній півплощині (uk) 庞加莱半平面模型 (zh) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Compass dbr:Straightedge_constructions |
| owl:sameAs | freebase:Poincaré half-plane model wikidata:Poincaré half-plane model dbpedia-fr:Poincaré half-plane model dbpedia-it:Poincaré half-plane model dbpedia-ja:Poincaré half-plane model dbpedia-pl:Poincaré half-plane model dbpedia-ru:Poincaré half-plane model dbpedia-uk:Poincaré half-plane model dbpedia-zh:Poincaré half-plane model https://global.dbpedia.org/id/2PS3o |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Poincaré_half-plane_model?oldid=1108635738&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Distance_in_the_half-plane_model.png wiki-commons:Special:FilePath/Distance_in_the_half-plane_model_2.png wiki-commons:Special:FilePath/Parallel_rays_in_Poincare_model_of_hyperbolic_geometry.svg wiki-commons:Special:FilePath/Poincare_halfplane_heptagonal_hb.svg wiki-commons:Special:FilePath/Distance_in_the_half-plane_model_3.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Poincaré_half-plane_model |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Half-space_model dbr:Hyperbolic_Geometry:Poincare_half_plane_model dbr:Poincare_half-plane_model dbr:Poincare_half-plane dbr:Poincare_half-space_model dbr:Poincare_half_plane dbr:Poincare_hyperbolic_disk dbr:Poincare_model dbr:Poincaré_half-plane dbr:Poincaré_half-space_model dbr:Poincaré_half_plane dbr:Poincaré_hyperbolic_disk |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Beltrami–Klein_model dbr:Pseudosphere dbr:List_of_differential_geometry_topics dbr:List_of_examples_of_Stigler's_law dbr:Prime_geodesic dbr:Anosov_diffeomorphism dbr:Arc_diagram dbr:List_of_things_named_after_Henri_Poincaré dbr:Riemann_surface dbr:Curvature_of_Space_and_Time,_with_an_Introduction_to_Geometric_Analysis dbr:List_of_misnamed_theorems dbr:Nome_(mathematics) dbr:SL2(R) dbr:Minkowski_space dbr:Modular_group dbr:Möbius_strip dbr:Möbius_transformation dbr:Coordinate_systems_for_the_hyperbolic_plane dbr:Cross-ratio dbr:Erlangen_program dbr:Order-7-3_triangular_honeycomb dbr:Arbelos dbr:Lorentz_group dbr:Fuchsian_model dbr:Half-space_(geometry) dbr:Horocycle dbr:Horosphere dbr:Ideal_point dbr:Ideal_triangle dbr:Picard_horn dbr:Cayley_transform dbr:Cayley–Klein_metric dbr:Linear_fractional_transformation dbr:Schwarz–Ahlfors–Pick_theorem dbr:Eugenio_Beltrami dbr:Angle_of_parallelism dbr:Ford_circle dbr:Foundations_of_geometry dbr:Isometry_group dbr:Killing_vector_field dbr:Half-space_model dbr:Siegel_upper_half-space dbr:Upper_half-plane dbr:Henri_Poincaré dbr:Hyperbolic_coordinates dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Hyperbolic_motion dbr:Hyperbolic_triangle dbr:Hypercycle_(geometry) dbr:Binary_tiling dbr:Heptagonal_tiling dbr:Poincaré_disk_model dbr:Circle_packing_theorem dbr:Hyperbolic_Geometry:Poincare_half_plane_model dbr:Klein_quartic dbr:Shape_of_the_universe dbr:Kleinian_group dbr:Warped_geometry dbr:Ultraparallel_theorem dbr:Poincaré_metric dbr:Unit_disk dbr:Poincare_half-plane_model dbr:Poincaré_model dbr:Poincare_half-plane dbr:Poincare_half-space_model dbr:Poincare_half_plane dbr:Poincare_hyperbolic_disk dbr:Poincare_model dbr:Poincaré_half-plane dbr:Poincaré_half-space_model dbr:Poincaré_half_plane dbr:Poincaré_hyperbolic_disk |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Poincaré_half-plane_model |
