Urelement (original) (raw)
En théorie des ensembles, un ur-element (ou urelement) est quelque chose qui n'est pas un ensemble mais qui peut être élément d'un ensemble.Ainsi, si u est un ur-element, et X un ensemble, on peut avoir ou non : u ∈ X, mais X ∈ u est impossible. Ils partagent ainsi avec le seul ensemble vide le fait de ne posséder aucun élément, mais pour des raisons tout à fait différentes : rien ne peut appartenir à un ur-element parce que cela n'a pas de sens, alors que rien n'appartient à l'ensemble vide par définition. Les ur-elements sont aussi appelés atomes, individus, éléments primitifs ....
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| dbo:abstract | Urelemente sind in der Mengenlehre Elemente, die selbst keine Elemente enthalten. Sie bilden also einen echten Teilbereich der Elemente. Urelemente sind von Individuen zu unterscheiden, da letztere heute in der Mathematik meist mit Elementen gleichgesetzt werden. Formal bilden die Urelemente die Klasse . Bei dieser Definition ist die Leermenge als Urelement (das einzige, das eine Menge ist) ausdrücklich mit eingeschlossen. Zu anderen Betrachtungsweisen s. u. Als zusätzliche Urelemente (neben der Leermenge) können mathematisch nicht näher bestimmte, vorgegebene Objekte und Dinge aufgefasst werden, etwa Äpfel, Birnen, Menschen, Pferde etc., die sich wie andere Elemente in Mengen zusammenfassen lassen. Sie entsprechen den Objekten der Anschauung in der Mengendefinition von 1895 von Georg Cantor: Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen. An dieser Definition orientierte sich Zermelo in seiner Axiomatisierung von Cantors Mengenlehre: Sowohl die Zermelo-Mengenlehre von 1907 als auch das originale ZF-System von 1930 setzen einen Bereich von Dingen voraus, der als echten Teilbereich die Mengen enthält und darüber hinaus auch andere Dinge, denen er 1930 den Namen „Urelemente“ gab; diese Urelemente enthalten keine Elemente, da er elementhaltige Dinge stets als Mengen ansah. Eine solche Mengenlehre mit zusätzlichen Urelementen kommt dem philosophischen Bedürfnis nach einer allgemeinen logischen Sprache entgegen und zielt auf eine Anwendungsmöglichkeit der Mengenlehre in anderen Disziplinen. Der Mathematiker Abraham Fraenkel plädierte 1921 erstmals für eine reine Mengenlehre ohne solche zusätzlichen Urelemente. Mit seinem Ersetzungsaxiom kann man nämlich eine Menge mit solchen ‚echten’ Urelementen auf eine gleichmächtige Menge ohne solche Urelemente abbilden. Daher kommt man bei der mengentheoretischen Beschreibung irgendwelcher Sachverhalte ohne zusätzliche Urelemente aus. Bereits die erste Formalisierung der ZF-Mengenlehre von Thoralf Skolem 1929 verzichtete auf zusätzliche Urelemente. Das machte dann Schule, so dass heutige ZF-Axiomensysteme in der Regel eine reine ZF-Mengenlehre beschreiben (das einzige Urelement ist hier die – unverzichtbare – leere Menge). Die reine Mengenlehre hat auch den Vorzug der Einfachheit, da ihre einfacheren Axiome einfachere Beweise gestatten. Für zusätzliche Urelemente braucht man vor allem eine abgeschwächte Extensionalität, die nur für Mengen gilt und nicht für ‚echte’ Urelemente; formale Beweise werden dann mühsamer, da immer zusätzliche Mengenbedingungen (auch bei anderen Axiomen) mitgeschleppt werden müssen. Es gibt aber auch noch moderne Mengenlehren, die Urelemente einkalkulieren, etwa die allgemeine Mengenlehre von Arnold Oberschelp, die auf einer Klassenlogik aufbaut. (de) En théorie des ensembles, un ur-element (ou urelement) est quelque chose qui n'est pas un ensemble mais qui peut être élément d'un ensemble.Ainsi, si u est un ur-element, et X un ensemble, on peut avoir ou non : u ∈ X, mais X ∈ u est impossible. Ils partagent ainsi avec le seul ensemble vide le fait de ne posséder aucun élément, mais pour des raisons tout à fait différentes : rien ne peut appartenir à un ur-element parce que cela n'a pas de sens, alors que rien n'appartient à l'ensemble vide par définition. Les ur-elements sont aussi appelés atomes, individus, éléments primitifs .... (fr) In set theory, a branch of mathematics, an urelement or ur-element (from the German prefix ur-, 'primordial') is an object that is not a set, but that may be an element of a set. It is also referred to as an atom or individual. (en) Nella teoria degli insiemi, un Ur-elemento o Urelemento (dal tedesco Ur-elemente, ovvero elemento primordiale) è un oggetto primitivo che non può essere un insieme, cioè non può contenere altri oggetti (è da distinguere dall'insieme vuoto perché l'insieme vuoto anche se oggetto primitivo è un insieme). Il sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel non prevede Ur-elementi (sebbene fossero presenti nella teoria originale di Zermelo), tuttavia è possibile incontrarli in altre teorie insiemistiche: ad esempio, nella teoria NFU (New foundations + Ur-elementi). (it) Em matemática, mais exatamente em teoria dos conjuntos, um urelemento ou ur-elemento (onde ur- é um prefixo alemão com o significado de “primordial”) é um objeto (concreto ou abstrato) que não é um conjunto, mas que pode ser um elemento de um conjunto. Urelementos são, às vezes, também chamados de "átomos" ou "indivíduos". (pt) Urelement är ett begrepp inom mängdteorin. Det är ett objekt som kan ingå som element i mängder, men som själv inte är en mängd. Eftersom ett urelement inte är en mängd kan det inte ha några egna element.Det användes bland annat av i hans tidiga beskrivning av mängdteorin. I "normala" mängdteorier, som till exempel ZFC, bortser man från urelement. Det blir bara krångligt att ta hänsyn till dem och dessutom kan nästan alla matematiska begrepp ändå reduceras till just mängder. (sv) В теории множеств, разделе математики, урэлемент или ур-элемент (от немецкой приставки ur-, обозначающей «изначальный» или «исходный») — это объект (конкретный или абстрактный), который не является множеством, но который может быть элементом множества. Урэлементы иногда называются «атомами». (ru) 在集合论中，基本元素（ur-element, 或urelement）是指那些自身不為集合，但可以是某個集合的元素的數學對象。就是说如果 U 是基本元素，则 X ∈ U 這一說法是没有意义的，而 U ∈ X 是完全合理的。 这不应该與空集混淆，當我們說 X ∈ 這是逻辑上合理的，只不过是假的。 基本元素有时也叫做“原子”或“个体”。 (zh) |
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