Domain (mathematical analysis) (original) (raw)

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In der Topologie und Analysis bezeichnet der Begriff Gebiet eine offene, nichtleere und zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes. In vielen Sätzen der Funktionentheorie wird vorausgesetzt, dass die betrachteten Funktionen in einem Gebiet definiert und dort holomorph oder meromorph sind. (de)
En análisis matemático, un dominio o región es un conjunto abierto conexo no vacío definido en un espacio topológico, en particular cualquier subconjunto abierto conexo no vacío del espacio de coordenadas reales Rn o del espacio de coordenadas complejas Cn. Este es un concepto diferente al del dominio de una función, aunque a menudo se usa para ese propósito, como por ejemplo, en ecuaciones en derivadas parciales y en el espacio de Sóbolev. La idea básica de un subconjunto conexo de un espacio data del siglo XIX, pero las definiciones precisas varían ligeramente de una generación a otra, de un autor a otro y de una edición a otra, a medida que los conceptos se desarrollaron y los términos se tradujeron entre obras en alemán, francés e inglés. En inglés, algunos autores usan el término dominio, otros usan el término región, algunos otros usan ambos términos indistintamente, y otros definen los dos términos de manera ligeramente diferente; algunos evitan la ambigüedad al ceñirse a una frase como "subconjunto abierto conexo no vacío". Una convención común es definir un "dominio" como un conjunto abierto conexo, pero una "región" como la unión de un dominio con ninguno, algunos o todos sus puntos de acumulación. Una región cerrada o dominio cerrado es la unión de un dominio y de todos sus puntos límite. Se requieren varios grados de suavidad del límite del dominio para que se mantengan varias propiedades de funciones definidas en el dominio, como teoremas integrales (teorema de Green, teorema de Stokes), propiedades de espacio de Sóbolev y para definir medidas en el límite y los espacios de trazas (funciones generalizadas definidas en el límite). Los tipos de dominios comúnmente considerados son dominios con límite continuo, límite de contorno de Lipschitz, C1, etc. Un dominio acotado, como su nombre indica, es aquel que está acotado, mientras que un dominio exterior o dominio externo es el interior del complemento de un dominio acotado. En análisis complejo, un dominio complejo (o simplemente dominio) es cualquier subconjunto abierto conexo del plano complejo C. Por ejemplo, todo el plano complejo es un dominio, al igual que el disco unidad abierto, el semiplano superior abierto, etc. A menudo, un dominio complejo sirve como dominio de definición de una función holomorfa. En el estudio de múltiples variables complejas, la definición de un dominio se amplía para incluir cualquier subconjunto abierto conexo de Cn. (es)
In mathematical analysis, a domain or region is a non-empty connected open set in a topological space, in particular any non-empty connected open subset of the real coordinate space Rn or the complex coordinate space Cn. This is a different concept than the domain of a function, though it is often used for that purpose, for example in partial differential equations and Sobolev spaces. The basic idea of a connected subset of a space dates from the 19th century, but precise definitions vary slightly from generation to generation, author to author, and edition to edition, as concepts developed and terms were translated between German, French, and English works. In English, some authors use the term domain, some use the term region, some use both terms interchangeably, and some define the two terms slightly differently; some avoid ambiguity by sticking with a phrase such as non-empty connected open subset. One common convention is to define a domain as a connected open set but a region as the union of a domain with none, some, or all of its limit points. A closed region or closed domain is the union of a domain and all of its limit points. Various degrees of smoothness of the boundary of the domain are required for various properties of functions defined on the domain to hold, such as integral theorems (Green's theorem, Stokes theorem), properties of Sobolev spaces, and to define measures on the boundary and spaces of traces (generalized functions defined on the boundary). Commonly considered types of domains are domains with continuous boundary, Lipschitz boundary, C1 boundary, and so forth. A bounded domain is a domain which is a bounded set, while an exterior or external domain is the interior of the complement of a bounded domain. In complex analysis, a complex domain (or simply domain) is any connected open subset of the complex plane C. For example, the entire complex plane is a domain, as is the open unit disk, the open upper half-plane, and so forth. Often, a complex domain serves as the domain of definition for a holomorphic function. In the study of several complex variables, the definition of a domain is extended to include any connected open subset of Cn. (en)
해석학에서 영역(領域, 영어: domain)은 해석학의 각종 정리에서 함수의 정의역으로 등장하는, 지나치게 이상하지 않은 점집합이다. (ko)
数学の解析学の分野における領域（りょういき、英: domain, region）とは、有限次元ベクトル空間の開部分集合で連結なもののことを言う。 (ja)
Obszar – zbiór otwarty i spójny w przestrzeni euklidesowej lub ogólniej w przestrzeni topologicznej.Obszar domknięty to domknięcie obszaru (otwartego) . Zbiór domknięty nazywa się brzegiem obszaru Punkty nazywane są punktami wewnętrznymi obszaru a także punktami wewnętrznymi obszaru domkniętego Punkty nazywane są punktami brzegowymi obszaru a także punktami brzegowymi obszaru domkniętego . Pojęcia te mają podstawowe znaczenie w analizie zespolonej. Przykładami obszarów na płaszczyźnie zespolonej są: cała płaszczyzna, wnętrze kąta, koło otwarte (bez brzegu), prostokąt otwarty (bez brzegu). W szczególności obszarem jest też każdy zbiór otwarty, którego brzeg można opisać krzywą Jordana. Obszar nazywa się obszarem jednospójnym, jeśli każdą zawartą w nim pętlę można w sposób ciągły zdeformować do punktu, pozostając cały czas w obszarze (pętla jest w ściągalna do punktu). Brzeg takiego obszaru ma wtedy jedną składową spójności. Ogólniej, brzeg obszaru może mieć składowych, gdzie Jeśli to obszar nazywa się obszarem wielospójnym. Liczba jest nazywana rzędem spójności. Jeśli obszar jest nazywany obszarem dwuspójnym, jeśli – obszarem trzyspójnym itd. Jeśli to obszar nazywamy obszarem skończeniespójnym, a jeśli – obszarem nieskończeniespójnym. (pl)
Na análise complexa um domínio significa geralmente um subconjunto conectado aberto do plano complexo ou de . (pt)
设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果存在点P的某一邻域，里面所有点都在E内，则称P为E的内点。如果点集E的点都是内点，则称E为开集。 (zh)

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In der Topologie und Analysis bezeichnet der Begriff Gebiet eine offene, nichtleere und zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes. In vielen Sätzen der Funktionentheorie wird vorausgesetzt, dass die betrachteten Funktionen in einem Gebiet definiert und dort holomorph oder meromorph sind. (de)
해석학에서 영역(領域, 영어: domain)은 해석학의 각종 정리에서 함수의 정의역으로 등장하는, 지나치게 이상하지 않은 점집합이다. (ko)
数学の解析学の分野における領域（りょういき、英: domain, region）とは、有限次元ベクトル空間の開部分集合で連結なもののことを言う。 (ja)
Na análise complexa um domínio significa geralmente um subconjunto conectado aberto do plano complexo ou de . (pt)
设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果存在点P的某一邻域，里面所有点都在E内，则称P为E的内点。如果点集E的点都是内点，则称E为开集。 (zh)
In mathematical analysis, a domain or region is a non-empty connected open set in a topological space, in particular any non-empty connected open subset of the real coordinate space Rn or the complex coordinate space Cn. This is a different concept than the domain of a function, though it is often used for that purpose, for example in partial differential equations and Sobolev spaces. A bounded domain is a domain which is a bounded set, while an exterior or external domain is the interior of the complement of a bounded domain. (en)
En análisis matemático, un dominio o región es un conjunto abierto conexo no vacío definido en un espacio topológico, en particular cualquier subconjunto abierto conexo no vacío del espacio de coordenadas reales Rn o del espacio de coordenadas complejas Cn. Este es un concepto diferente al del dominio de una función, aunque a menudo se usa para ese propósito, como por ejemplo, en ecuaciones en derivadas parciales y en el espacio de Sóbolev. (es)
Obszar – zbiór otwarty i spójny w przestrzeni euklidesowej lub ogólniej w przestrzeni topologicznej.Obszar domknięty to domknięcie obszaru (otwartego) . Zbiór domknięty nazywa się brzegiem obszaru Punkty nazywane są punktami wewnętrznymi obszaru a także punktami wewnętrznymi obszaru domkniętego Punkty nazywane są punktami brzegowymi obszaru a także punktami brzegowymi obszaru domkniętego . (pl)

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