Resolvent formalism (original) (raw)
In Mathematik und Theoretischer Physik ist die Resolvente (manchmal auch Greenscher Operator genannt) die Inverse eines mit einer komplexen Zahl verschobenen linearen Operatorsoder einer Matrix. Die Menge der Werte , für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die Resolventenmenge des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein Spektrum. Anwendungen betreffen alle Aspekte der Operatortheorie in der Funktionalanalysis, insbesondere die Störungsrechnung.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtiques, la resolvent és una tècnica que consisteix a aplicar conceptes de l'anàlisi complexa a l'estudi de l'espectre d'un operador sobre un espai de Hilbert o sobre un espai més general. La resolvent captura les propietats espectrals d'un operador en l'estructura analítica de la resolvent. Donat un operador A, hom pot definir la resolvent com Entre altres usos, hom pot fer servir la resolvent per resoldre equacions integrals de Fredholm no-homogènies; una aproximació és una solució en sèrie de potències, la sèrie de Liouville–Neumann. Hom pot fer servir la resolvent de A directament per obtenir informació sobre la descomposició espectral de A. Per exemple, suposem que és un valor propi aïllat en l'espectre de A. És a dir, suposem que existeix una corba simple tancada en el pla complex que separa de la resta de l'espectre de A. Llavors el residu defineix un operador de projecció sobre el -espai propi de A El estableix una relació entre la resolvent i una integral sobre el grup uniparamètric de transformacions generades per A. Així, per exemple, si A és un operador autoadjunt, llavors és un grup uniparamètric d'operadors unitaris. La resolvent es pot expressar com la integral (ca) In Mathematik und Theoretischer Physik ist die Resolvente (manchmal auch Greenscher Operator genannt) die Inverse eines mit einer komplexen Zahl verschobenen linearen Operatorsoder einer Matrix. Die Menge der Werte , für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die Resolventenmenge des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein Spektrum. Anwendungen betreffen alle Aspekte der Operatortheorie in der Funktionalanalysis, insbesondere die Störungsrechnung. (de) Soit A un opérateur linéaire (non nécessairement continu) défini sur un espace de Banach. Pour tout nombre complexe λ tel que (λ I – A)–1 existe et est continu, on définit la résolvante de A par : L'ensemble des valeurs de λ pour lesquelles la résolvante existe est appelé l'ensemble résolvant, noté ρ(A). Le spectre σ(A) est le complémentaire de l'ensemble résolvant : σ(A) = ℂ \ ρ(A). * Portail de l'analyse (fr) In mathematics, the resolvent formalism is a technique for applying concepts from complex analysis to the study of the spectrum of operators on Banach spaces and more general spaces. Formal justification for the manipulations can be found in the framework of holomorphic functional calculus. The resolvent captures the spectral properties of an operator in the analytic structure of the functional. Given an operator A, the resolvent may be defined as Among other uses, the resolvent may be used to solve the inhomogeneous Fredholm integral equations; a commonly used approach is a series solution, the Liouville–Neumann series. The resolvent of A can be used to directly obtain information about the spectral decompositionof A. For example, suppose λ is an isolated eigenvalue in the spectrum of A. That is, suppose there exists a simple closed curve in the complex plane that separates λ from the rest of the spectrum of A.Then the residue defines a projection operator onto the λ eigenspace of A.(Further information: Frobenius covariant and Holomorphic functional calculus) The Hille–Yosida theorem relates the resolvent through a Laplace transform to an integral over the one-parameter group of transformations generated by A. Thus, for example, if A is a Hermitian, then U(t) = exp(tA) is a one-parameter group of unitary operators. Whenever , the resolvent of A at z can be expressed as the Laplace transform where the integral is taken along the ray . (en) 数学におけるレゾルベント（英: resolvent, 解素）は、線型作用素（あるいは行列）のスペクトルの補集合（レゾルベント集合）を定義域とする解析函数である。 レゾルベントの解析的構造から線型作用素のスペクトル的な性質が調べられる。また、レゾルベントを用いれば、ヒルベルト空間やもっと一般の空間上の作用素のスペクトルの研究に複素解析学の概念を定式化して持ち込むことができる。レゾルベントは解核とも呼ばれ、（通常はとして定義される）積分核として、非斉次フレドホルム積分方程式を解くのにも使われる。 は Acta Mathematica に収録された論文 において、初めてレゾルベント作用素を大々的に用いた。これは、現代的な作用素論が構築される基となった歴史的な論文である。レゾルベントの名称は、ダフィット・ヒルベルトによる。 (ja) Резольвента интегрального уравнения Рассмотрим интегральное уравнение: Резольвентой интегрального уравнения, или его разрешающим ядром называется такая функция переменных , и параметра , что решение уравнения (*) представляется в виде: При этом не должна быть собственным числом уравнения (*). (ru) Розглянемо інтегральне рівняння: Резольвентою інтегрального рівняння, або його розв'язним ядром називають таку функцію змінних , і параметра , що розв'язок рівняння (*) подається у вигляді: При цьому не повинна бути власним числом рівняння (*). (uk) |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://zenodo.org/record/1925972/files/article.pdf%7Cdoi-access=free |
| dbo:wikiPageID | 3378540 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 6031 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1124293523 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:David_Hilbert dbr:Unbounded_operator dbr:Decomposition_of_spectrum_(functional_analysis) dbr:Limiting_absorption_principle dbr:Complex_analysis dbc:Fredholm_theory dbr:Mathematics dbr:Operator_(mathematics) dbr:Operator_theory dbr:Eigenspace dbr:Eigenvalue dbr:Functional_(mathematics) dbr:Compact_operator dbr:Spectral_theory dbr:Spectrum dbr:Spectrum_(functional_analysis) dbr:Stone's_theorem_on_one-parameter_unitary_groups dbr:Banach_space dbr:Liouville–Neumann_series dbr:Hille–Yosida_theorem dbr:Residue_(complex_analysis) dbr:Resolvent_set dbr:Group_(mathematics) dbr:Hilbert_space dbc:Formalism_(deductive) dbr:Accumulation_point dbc:Mathematical_physics dbr:Laplace_transform dbr:Holomorphic_functional_calculus dbr:Spectral_theorem dbr:Fredholm_integral_equation dbr:Fredholm_theory dbr:Hermitian_operator dbr:Self-adjoint dbr:Ivar_Fredholm dbr:Projection_operator |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:= dbt:Citation dbt:Further dbt:Math dbt:Mvar |
| dct:subject | dbc:Fredholm_theory dbc:Formalism_(deductive) dbc:Mathematical_physics |
| rdfs:comment | In Mathematik und Theoretischer Physik ist die Resolvente (manchmal auch Greenscher Operator genannt) die Inverse eines mit einer komplexen Zahl verschobenen linearen Operatorsoder einer Matrix. Die Menge der Werte , für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die Resolventenmenge des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein Spektrum. Anwendungen betreffen alle Aspekte der Operatortheorie in der Funktionalanalysis, insbesondere die Störungsrechnung. (de) Soit A un opérateur linéaire (non nécessairement continu) défini sur un espace de Banach. Pour tout nombre complexe λ tel que (λ I – A)–1 existe et est continu, on définit la résolvante de A par : L'ensemble des valeurs de λ pour lesquelles la résolvante existe est appelé l'ensemble résolvant, noté ρ(A). Le spectre σ(A) est le complémentaire de l'ensemble résolvant : σ(A) = ℂ \ ρ(A). * Portail de l'analyse (fr) 数学におけるレゾルベント（英: resolvent, 解素）は、線型作用素（あるいは行列）のスペクトルの補集合（レゾルベント集合）を定義域とする解析函数である。 レゾルベントの解析的構造から線型作用素のスペクトル的な性質が調べられる。また、レゾルベントを用いれば、ヒルベルト空間やもっと一般の空間上の作用素のスペクトルの研究に複素解析学の概念を定式化して持ち込むことができる。レゾルベントは解核とも呼ばれ、（通常はとして定義される）積分核として、非斉次フレドホルム積分方程式を解くのにも使われる。 は Acta Mathematica に収録された論文 において、初めてレゾルベント作用素を大々的に用いた。これは、現代的な作用素論が構築される基となった歴史的な論文である。レゾルベントの名称は、ダフィット・ヒルベルトによる。 (ja) Резольвента интегрального уравнения Рассмотрим интегральное уравнение: Резольвентой интегрального уравнения, или его разрешающим ядром называется такая функция переменных , и параметра , что решение уравнения (*) представляется в виде: При этом не должна быть собственным числом уравнения (*). (ru) Розглянемо інтегральне рівняння: Резольвентою інтегрального рівняння, або його розв'язним ядром називають таку функцію змінних , і параметра , що розв'язок рівняння (*) подається у вигляді: При цьому не повинна бути власним числом рівняння (*). (uk) En matemàtiques, la resolvent és una tècnica que consisteix a aplicar conceptes de l'anàlisi complexa a l'estudi de l'espectre d'un operador sobre un espai de Hilbert o sobre un espai més general. La resolvent captura les propietats espectrals d'un operador en l'estructura analítica de la resolvent. Donat un operador A, hom pot definir la resolvent com Entre altres usos, hom pot fer servir la resolvent per resoldre equacions integrals de Fredholm no-homogènies; una aproximació és una solució en sèrie de potències, la sèrie de Liouville–Neumann. (ca) In mathematics, the resolvent formalism is a technique for applying concepts from complex analysis to the study of the spectrum of operators on Banach spaces and more general spaces. Formal justification for the manipulations can be found in the framework of holomorphic functional calculus. The resolvent captures the spectral properties of an operator in the analytic structure of the functional. Given an operator A, the resolvent may be defined as defines a projection operator onto the λ eigenspace of A.(Further information: Frobenius covariant and Holomorphic functional calculus) (en) |
| rdfs:label | Resolvent (anàlisi matemàtica) (ca) Resolvente (de) Résolvante (fr) レゾルベント (ja) Resolvent formalism (en) Резольвента интегрального уравнения (ru) Резольвента інтегрального рівняння (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Resolvent formalism wikidata:Resolvent formalism dbpedia-ca:Resolvent formalism dbpedia-de:Resolvent formalism dbpedia-fr:Resolvent formalism dbpedia-ja:Resolvent formalism dbpedia-ru:Resolvent formalism dbpedia-uk:Resolvent formalism https://global.dbpedia.org/id/RiAD |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Resolvent_formalism?oldid=1124293523&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Resolvent_formalism |
| is dbo:knownFor of | dbr:Erik_Ivar_Fredholm |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Resolvent |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Compact_resolvent dbr:Resolvent_kernel dbr:Resolvent_matrix dbr:Resolvent_operator |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Limiting_absorption_principle dbr:Analytic_semigroup dbr:Matrix_exponential dbr:Essential_spectrum dbr:Gelfand–Mazur_theorem dbr:Operator_theory dbr:Fundamental_theorem_of_algebra dbr:Green's_function dbr:Sturm–Liouville_theory dbr:Spectral_theory dbr:Spectrum_(functional_analysis) dbr:Dmitry_Faddeev dbr:Linear_response_function dbr:Liouville–Neumann_series dbr:Adjugate_matrix dbr:Erik_Ivar_Fredholm dbr:Faddeev–LeVerrier_algorithm dbr:Centrality dbr:Discrete_spectrum_(mathematics) dbr:Jordan_normal_form dbr:Resolvent dbr:Resolvent_set dbr:Sylvester's_formula dbr:Holomorphic_functional_calculus dbr:Discrete_Laplace_operator dbr:Born_series dbr:Solomon_Mikhlin dbr:Spectral_theory_of_ordinary_differential_equations dbr:Fredholm_alternative dbr:Fredholm_integral_equation dbr:Fredholm_theory dbr:Ralph_S._Phillips dbr:Selberg_trace_formula dbr:Compact_resolvent dbr:Normal_eigenvalue dbr:Riesz_projector dbr:Resolvent_kernel dbr:Resolvent_matrix dbr:Resolvent_operator |
| is dbp:knownFor of | dbr:Erik_Ivar_Fredholm |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Frobenius_covariant |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Resolvent_formalism |