Stack (mathematics) (original) (raw)
범주론과 대수기하학에서 스택(영어: stack, 프랑스어: champ)은 단면 집합이 단순한 집합이 아니라 준군 또는 범주를 이룰 수 있는, 층의 일반화이다. 이 추가 구조로 인하여, 스택은 오비폴드와 같이 군의 작용을 기억할 수 있으며, 또 각종 모듈라이 문제의 모듈라이 공간을 이룰 수 있다.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack (englisch für „Stapel“) eine (auf eine bestimmte Art) kategorifizierte Garbe. Die Kategorifizierung besteht aus zwei Schritten: der Kategorifizierung einer Prägarbe und der des Abstiegsaxioms, dessen Erfüllung eine Prägarbe zu einer Garbe macht. Für einen topologischen Raum sei die Kategorie, deren Objekte surjektive stetige Abbildungen sind, und deren Morphismen surjektive stetige Abbildungen sind, so dass gilt. * Eine Prägarbe über in einer Kategorie ist ein kontravarianter Funktor . Für jeden Morphismus und ein Pullback bekommt man ein induziertes kommutierendes Diagramm (mit umgedrehten Pfeilen). Gemäß der universellen Eigenschaft eines Pullbacks gibt es einen eindeutigen Morphismus in der Kategorie . * Das Abstiegsaxiom für die Prägarbe lautet: Für jedes ist der Morphismus ein Isomorphismus. Man kann sich nun überlegen, dass diese Definitionen mit den eher gebräuchlichen aus dem Artikel über Garben übereinstimmt. Sie erlauben jedenfalls eine Kategorifizierung in natürlicher Art und Weise: Kategorien werden 2-Kategorien, Funktoren werden 2-Funktoren, Objekte werden Kategorien, Morphismen werden Funktoren, und Gleichungen von Morphismen werden natürliche Äquivalenzen. Dabei wird die Kategorie zu einer 2-Kategorie, indem man nur Identitäten als 2-Morphismen zulässt. Damit ergeben sich die folgenden Definitionen: * Eine gefaserte Kategorie über in einer 2-Kategorie ist ein kontravarianter 2-Funktor . * Das Abstiegsaxiom für eine gefaserte Kategorie lautet: Für jeden 1-Morphismus ist der Funktor eine Äquivalenz von Kategorien. * Ein Stack ist eine gefaserte Kategorie, die das Abstiegsaxiom erfüllt. Bemerkung: Eigentlich sollte eine gefaserte Kategorie „Prä-Stack“ heißen, aber dieser Begriff ist bereits durch eine etwas andere, nicht-äquivalente Definition belegt. (de) In mathematics a stack or 2-sheaf is, roughly speaking, a sheaf that takes values in categories rather than sets. Stacks are used to formalise some of the main constructions of descent theory, and to construct fine moduli stacks when fine moduli spaces do not exist. Descent theory is concerned with generalisations of situations where isomorphic, compatible geometrical objects (such as vector bundles on topological spaces) can be "glued together" within a restriction of the topological basis. In a more general set-up the restrictions are replaced with pullbacks; fibred categories then make a good framework to discuss the possibility of such gluing. The intuitive meaning of a stack is that it is a fibred category such that "all possible gluings work". The specification of gluings requires a definition of coverings with regard to which the gluings can be considered. It turns out that the general language for describing these coverings is that of a Grothendieck topology. Thus a stack is formally given as a fibred category over another base category, where the base has a Grothendieck topology and where the fibred category satisfies a few axioms that ensure existence and uniqueness of certain gluings with respect to the Grothendieck topology. (en) 범주론과 대수기하학에서 스택(영어: stack, 프랑스어: champ)은 단면 집합이 단순한 집합이 아니라 준군 또는 범주를 이룰 수 있는, 층의 일반화이다. 이 추가 구조로 인하여, 스택은 오비폴드와 같이 군의 작용을 기억할 수 있으며, 또 각종 모듈라이 문제의 모듈라이 공간을 이룰 수 있다. (ko) 数学における園（えん、英: Stack) とは互いに関係づけられた2つの圏論的な概念を参照するものある。 * 標準的なは、の鍵概念である層型のを満足するである。 * は園の特殊なタイプであり、スキームの圏と代数的空間の圏の拡張となる。これらはモジュライ空間の研究において中心的な役割を担っている。 (ja) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.numdam.org/item%3Fid=PMIHES_1969__36__75_0 http://www.numdam.org/item%3Fid=SB_1958-1960__5__299_0 http://www.math.unizh.ch/index.php%3Fpr_vo_det&key1=1287&key2=580&no_cache=1%7Cfirst1=Kai%7Clast1=Behrend%7Cfirst2=Brian%7Clast2=Conrad%7Cfirst3=Dan%7Clast3=Edidin%7Cfirst4=William%7Clast4=Fulton%7Cfirst5=Barbara%7Clast5=Fantechi%7Cfirst6=Lothar%7Clast6=G%C3%B6ttsche%7Cfirst7=Andrew%7Clast7=Kresch%7Cyear=2006%7Ctitle=Algebraic http://ens.math.univ-montp2.fr/~toen/m2.html%7Ctitle=Cours http://stacky.net/files/written/Stacks/Stacks.pdf http://www.ams.org/notices/200304/what-is.pdf http://www.mathcs.emory.edu/~brussel/mumford.html http://www.msri.org/publications/ln/msri/2002/introstacks/fulton/1/index.html https://maths-people.anu.edu.au/~alperj/papers/stacks-guide.pdf http://stacks.math.columbia.edu https://web.archive.org/web/20080505043444/http:/www.math.unizh.ch/index.php%3Fpr_vo_det&key1=1287&key2=580&no_cache=1%7Carchive-date=2008-05-05 http://www.numdam.org/item%3Fid=MSMF_1964__2__R3_0 https://mathoverflow.net/q/2124 http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0 http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~rehmann/ECM/cdrom/3ecm/pdfs/pant3/fantechi.pdf%7Cisbn=3-7643-6417-3 |
| dbo:wikiPageID | 13185596 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 34816 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1100637180 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Pullback_(category_theory) dbr:Morphism_of_algebraic_stacks dbr:Algebraic_space dbr:Algebraic_stack dbr:∞-topos dbr:Derived_scheme dbr:Derived_stack dbr:Ind-scheme dbr:Inventiones_Mathematicae dbr:Prestack dbr:Pseudo-functor dbr:Smooth_topology dbr:Weighted_projective_space dbr:Sheaf_of_a_module dbr:Complex_number dbr:Mathematics dbr:Genus_(mathematics) dbr:Quotient_stack dbr:Pursuing_Stacks dbr:Étale_spectrum dbr:Glossary_of_algebraic_geometry dbr:Modular_group dbr:Chow_group_of_a_stack dbr:Deligne–Mumford_stack dbr:Spectrum_(topology) dbr:Stacks_Project dbr:Publications_Mathématiques_de_l'IHÉS dbr:GIT_quotient dbr:Large_cardinal dbr:Differentiable_stack dbr:Formal_group_law dbr:Formal_scheme dbr:Gerbe dbr:Isomorphism dbr:Quasi-compact_morphism dbr:Upper_half-plane dbr:Quotient_space_of_an_algebraic_stack dbr:Jacob_Lurie dbr:Fine_moduli_space dbr:Simplicial_presheaf dbc:Category_theory dbc:Algebraic_geometry dbr:Moduli_space dbr:Moduli_stack_of_elliptic_curves dbr:Moduli_stack_of_formal_group_laws dbr:Moduli_stack_of_principal_bundles dbr:Moduli_stack_of_vector_bundles dbr:Reductive_group dbr:Springer_Science+Business_Media dbr:Fibred_category dbr:Grothendieck_construction dbr:Grothendieck_topology dbr:Group-stack dbr:Categorical_quotient dbr:Scheme_(mathematics) dbr:Sheaf_(mathematics) dbr:Étale_morphism dbr:Vector_bundle dbr:Stacky_curve dbr:Toric_stack dbr:Universal_property dbr:Topological_space dbr:Sheaf_of_algebras dbr:Ring_of_modular_forms dbr:Springer-Verlag dbr:E-infinity_ring dbr:Fpqc-topology dbr:Fiber_product dbr:Fibered_category dbr:Classifying_stack dbr:Picard_stack dbr:Picard_variety dbr:Quotient_algebraic_stack dbr:Descent_theory dbr:Geometric_Langlands_program dbr:Shtuka dbr:Moduli_space_of_algebraic_curves dbr:2-commute dbr:Kontsevich_moduli_space dbr:Higher_stack dbr:Infinite_projective_space dbr:Moduli_stack_of_shtukas dbr:Spectral_Deligne–Mumford_stack |
| dbp:quote | La conclusion pratique à laquelle je suis arrivé dès maintenant, c'est que chaque fois que en vertu de mes critères, une variété de modules pour la classification des variations de certaines structures ne peut exister, malgré de bonnes hypothèses de platitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l'existence d'automorphismes de la structure qui empêche la technique de descente de marcher. (en) |
| dbp:source | Grothendieck's letter to Serre, 1959 Nov 5. (en) |
| dbp:width | 30.0 (dbd:perCent) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Citation_needed dbt:Cite_arXiv dbt:Cite_journal dbt:Harvtxt dbt:Main dbt:Nlab dbt:Quotebox dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Vanchor dbt:Harvs |
| dct:subject | dbc:Category_theory dbc:Algebraic_geometry |
| rdfs:comment | 범주론과 대수기하학에서 스택(영어: stack, 프랑스어: champ)은 단면 집합이 단순한 집합이 아니라 준군 또는 범주를 이룰 수 있는, 층의 일반화이다. 이 추가 구조로 인하여, 스택은 오비폴드와 같이 군의 작용을 기억할 수 있으며, 또 각종 모듈라이 문제의 모듈라이 공간을 이룰 수 있다. (ko) 数学における園（えん、英: Stack) とは互いに関係づけられた2つの圏論的な概念を参照するものある。 * 標準的なは、の鍵概念である層型のを満足するである。 * は園の特殊なタイプであり、スキームの圏と代数的空間の圏の拡張となる。これらはモジュライ空間の研究において中心的な役割を担っている。 (ja) In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack (englisch für „Stapel“) eine (auf eine bestimmte Art) kategorifizierte Garbe. Die Kategorifizierung besteht aus zwei Schritten: der Kategorifizierung einer Prägarbe und der des Abstiegsaxioms, dessen Erfüllung eine Prägarbe zu einer Garbe macht. Für einen topologischen Raum sei die Kategorie, deren Objekte surjektive stetige Abbildungen sind, und deren Morphismen surjektive stetige Abbildungen sind, so dass gilt. * Eine Prägarbe über in einer Kategorie ist ein kontravarianter Funktor . Für jeden Morphismus und ein Pullback (de) In mathematics a stack or 2-sheaf is, roughly speaking, a sheaf that takes values in categories rather than sets. Stacks are used to formalise some of the main constructions of descent theory, and to construct fine moduli stacks when fine moduli spaces do not exist. (en) |
| rdfs:label | Stack (Kategorientheorie) (de) 스택 (수학) (ko) 園 (数学) (ja) Stack (mathematics) (en) |
| owl:sameAs | freebase:Stack (mathematics) wikidata:Stack (mathematics) dbpedia-de:Stack (mathematics) dbpedia-ja:Stack (mathematics) dbpedia-ko:Stack (mathematics) https://global.dbpedia.org/id/4vKJD |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Stack_(mathematics)?oldid=1100637180&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Stack_(mathematics) |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Stack |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:2-sheaf dbr:Artin_stack dbr:Artin_stacks dbr:Category_fibered_in_groupoids dbr:Stack_(algebraic_geometry) dbr:Stack_(category_theory) dbr:Stack_(descent_theory) dbr:Stack_associated_to_a_scheme dbr:Stack_in_groupoids |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Beck's_monadicity_theorem dbr:Behrend's_trace_formula dbr:Morphism_of_schemes dbr:Descent_along_torsors dbr:Algebraic_space dbr:Derived_stack dbr:Descent_(mathematics) dbr:Prestack dbr:Nonabelian_cohomology dbr:Quotient_stack dbr:Pursuing_Stacks dbr:Glossary_of_algebraic_geometry dbr:Branched_covering dbr:Chow_group_of_a_stack dbr:Deligne–Mumford_stack dbr:Functor_represented_by_a_scheme dbr:Stack dbr:K-stability_of_Fano_varieties dbr:Landweber_exact_functor_theorem dbr:Alexander_Grothendieck dbr:Base_change_theorems dbr:Differentiable_stack dbr:Faithfully_flat_descent dbr:Gerbe dbr:Group_(mathematics) dbr:Intersection_theory dbr:Torsor_(algebraic_geometry) dbr:Topos dbr:Moduli_stack_of_formal_group_laws dbr:Moduli_stack_of_vector_bundles dbr:Dimension dbr:Fibred_category dbr:Groupoid_object dbr:Orbifold dbr:Scheme_(mathematics) dbr:Sheaf_(mathematics) dbr:Stacky_curve dbr:Toric_stack dbr:Noncommutative_algebraic_geometry dbr:2-sheaf dbr:Artin_stack dbr:Artin_stacks dbr:Category_fibered_in_groupoids dbr:Stack_(algebraic_geometry) dbr:Stack_(category_theory) dbr:Stack_(descent_theory) dbr:Stack_associated_to_a_scheme dbr:Stack_in_groupoids |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Stack_(mathematics) |