Grothendieck topology (original) (raw)

About DBpedia

En teoría de categorías, una rama de las matemáticas, una topología de Grothendieck es una estructura definida en una categoría arbitraria C que permita la definición de haces en C, y con esa la definición de las teorías generales de cohomología. Una categoría junto con una topología de Grothendieck en ella se llama un sitio. Esta herramienta se utiliza en teoría algebraica de números y geometría algebraica, para definir principalmente la de esquemas, pero también para la y el . Observe que una topología de Grothendieck no es una topología en el sentido clásico.

Property Value
dbo:abstract Eine Grothendieck-Topologie ist ein mathematisches Konzept, das es erlaubt,in einem abstrakten kategoriellen Rahmen eine Garbentheorie und eine Kohomologietheorie zu entwickeln. Eine Kategorie, auf der eine Grothendieck-Topologie erklärt ist, nennt man einen Situs. Auf einem Situs kann eine Garbe erklärt werden. Das Konzept der Grothendieck-Topologie wurde um 1960 von Alexander Grothendieck entwickelt, um in der algebraischen Geometrie in positiver Charakteristik einen Ersatz für die topologischen Kohomologietheorien wie bspw. die singuläre Kohomologie zu haben. Die Motivation hierfür kam von den Vermutungen von André Weil, die einen engen Zusammenhang zwischen der topologischen Gestalt (etwa den Bettizahlen) einer Varietät und der Anzahl der Punkte auf ihr über einem endlichen Körper voraussagte (Weil-Vermutungen). Die in diesem Kontext eingeführte zusammen mit der und der ermöglichte schließlich den Beweis der Weil-Vermutungen durch Pierre Deligne. (de) In category theory, a branch of mathematics, a Grothendieck topology is a structure on a category C that makes the objects of C act like the open sets of a topological space. A category together with a choice of Grothendieck topology is called a site. Grothendieck topologies axiomatize the notion of an open cover. Using the notion of covering provided by a Grothendieck topology, it becomes possible to define sheaves on a category and their cohomology. This was first done in algebraic geometry and algebraic number theory by Alexander Grothendieck to define the étale cohomology of a scheme. It has been used to define other cohomology theories since then, such as ℓ-adic cohomology, flat cohomology, and crystalline cohomology. While Grothendieck topologies are most often used to define cohomology theories, they have found other applications as well, such as to John Tate's theory of rigid analytic geometry. There is a natural way to associate a site to an ordinary topological space, and Grothendieck's theory is loosely regarded as a generalization of classical topology. Under meager point-set hypotheses, namely sobriety, this is completely accurate—it is possible to recover a sober space from its associated site. However simple examples such as the indiscrete topological space show that not all topological spaces can be expressed using Grothendieck topologies. Conversely, there are Grothendieck topologies that do not come from topological spaces. The term "Grothendieck topology" has changed in meaning. In it meant what is now called a Grothendieck pretopology, and some authors still use this old meaning. modified the definition to use sieves rather than covers. Much of the time this does not make much difference, as each Grothendieck pretopology determines a unique Grothendieck topology, though quite different pretopologies can give the same topology. (en) En teoría de categorías, una rama de las matemáticas, una topología de Grothendieck es una estructura definida en una categoría arbitraria C que permita la definición de haces en C, y con esa la definición de las teorías generales de cohomología. Una categoría junto con una topología de Grothendieck en ella se llama un sitio. Esta herramienta se utiliza en teoría algebraica de números y geometría algebraica, para definir principalmente la de esquemas, pero también para la y el . Observe que una topología de Grothendieck no es una topología en el sentido clásico. (es) En théorie des catégories, une branche des mathématiques, une topologie de Grothendieck est une structure sur une catégorie permettant de voir certains objets de comme les ensembles ouverts d'un espace topologique. Une catégorie munie d'une topologie de Grothendieck est appelée un site. Une topologie de Grothendieck axiomatise la notion de recouvrement d'un espace topologique par des ouverts. Cela permet de généraliser la définition de faisceaux, et leur cohomologie, à un site quelconque. Historiquement, la notion fut dégagée par Alexandre Grothendieck pour définir la cohomologie étale des schémas, à l'aide du site étale. Elle a ensuite été utilisée pour définir d'autres théories cohomologiques, telles que la (en), la (en) et la cohomologie cristalline. Les topologies de Grothendieck servent aussi à définir les (en) de John Tate. La catégorie des faisceaux (d'ensembles) sur un site donne lieu à un topos de Grothendieck. Plusieurs sites différents peuvent définir des topos isomorphes. (fr) グロタンディーク位相（英: Grothendieck topology）とは位相空間上の開集合系が成り立つ性質を公理化し、圏の上に定義された一般化された位相のことである。またそのような位相を持つ圏をサイト（仏、英: site）といい、その位相を用いることにより位相空間上での層の理論が使えてコホモロジー理論を得ることができる。歴史的には代数幾何学のヴェイユ予想を解決するためにアレクサンドル・グロタンディークがエタール・コホモロジーを定義する際に導入された。 (ja) 대수기하학과 범주론에서 그로텐디크 위상(Grothendieck位相, 영어: Grothendieck topology)은 열린 덮개의 개념을 공리적으로 추상화한 개념이다. 이를 사용하여 위상 공간의 개념을 위치(位置, 영어: site)로 일반화할 수 있다. 그로텐디크 위상의 개념은 대수기하학에서 사용되는, 에탈 코호몰로지 · fppf 코호몰로지 · 결정 코호몰로지(영어: crystalline cohomology)와 같은 각종 코호몰로지 이론을 정의하는 데 필요하다. (ko) Inom matematiken är en plats en kategoriteoretisk generalisering av ett topologiskt rum. I stället för att som för topologiska rum axiomatisera begreppet öppen mängd axiomatiserar man begreppet övertäckning. Begreppet är centralt i högre algebraisk geometri, till exempel vid konstruktionen av . Inom geografin representeras en plats av ett "geografiskt avgränsat område" eller av punkter i ett rum, men även som "ett rum som människan fyllt med meningar och betydelser". En plats är, i fysisk eller symbolisk mening, lokaliserad i rummet (se rum). (sv) Топология Гротендика — структура на категории, которая делает её объекты похожими на открытые множества топологического пространства. Категория вместе с топологией Гротендика называется ситусом или сайтом. Топологии Гротендика аксиоматизируют определение открытого покрытия, благодаря чему становится возможным определение пучков на категории и их когомологий, что впервые осуществлено Александром Гротендиком для схем. Существует естественный способ сопоставить топологическому пространству топологию Гротендика, в этом смысле она может быть рассмотрена как обобщение обычных топологий. При этом для большого класса топологических пространств возможно восстановить топологию по её топологии Гротендика, однако уже для антидискретного пространства это не так. (ru)
dbo:wikiPageExternalLink http://www.neverendingbooks.org/%3Fs=the+birthday+of+Grothendieck+topologies/ http://catalog.hathitrust.org/api/volumes/oclc/19073454.html https://web.archive.org/web/20140706171851/http:/www.noncommutative.org/the-birthday-of-grothendieck-topologies/ http://www.numdam.org/item%3Fid=SB_1962-1964__8__189_0 http://www.cims.nyu.edu/~nisnevic/
dbo:wikiPageID 12910 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength 30950 (xsd:nonNegativeInteger)
dbo:wikiPageRevisionID 1112801491 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink dbr:Princeton_University_Press dbr:Module_(mathematics) dbr:John_Tate_(mathematician) dbr:Presheaf_(category_theory) dbr:Analytic_geometry dbr:Mathematics dbr:Pullback dbr:Equalizer_(mathematics) dbr:Crystalline_cohomology dbr:André_Weil dbr:Comma_category dbr:Étale_cohomology dbr:Fundamental_group dbr:Weil_conjectures dbr:Divided_power_structure dbr:Alexander_Grothendieck dbr:Algebraic_geometry dbr:Algebraic_number_theory dbr:Algebraic_variety dbr:Gluing_axiom dbr:Ring_(mathematics) dbr:Jean-Pierre_Serre dbr:Jean_Giraud_(mathematician) dbr:Cover_(topology) dbr:Abelian_group dbc:Sheaf_theory dbr:Lawvere–Tierney_topology dbr:Cohomology dbr:Manifold dbr:Springer_Science+Business_Media dbc:Topos_theory dbr:Contravariant_functor dbr:Integer dbr:Open_cover dbr:Open_set dbr:Category_theory dbr:Yoneda_embedding dbr:Scheme_(mathematics) dbr:Sheaf_(mathematics) dbr:Sieve_(category_theory) dbr:Sober_space dbr:Étale_topology dbr:Zariski_topology dbr:Flat_topology dbr:Yoneda_lemma dbr:Topological_space dbr:Subfunctor dbr:Fibered_category dbr:Fibered_product dbr:Flat_cohomology dbr:Open_immersion dbr:Indiscrete_topology dbr:Polynomial_equation dbr:ℓ-adic_cohomology dbr:Descent_(category_theory) dbr:Rigid_analytic_geometry dbr:Reduced_(ring_theory) dbr:Geometric_morphism dbr:Étale_map
dbp:wikiPageUsesTemplate dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Cite_conference dbt:Harvtxt dbt:Main dbt:Reflist dbt:See_also
dct:subject dbc:Sheaf_theory dbc:Topos_theory
gold:hypernym dbr:Structure
rdf:type owl:Thing dbo:Building
rdfs:comment En teoría de categorías, una rama de las matemáticas, una topología de Grothendieck es una estructura definida en una categoría arbitraria C que permita la definición de haces en C, y con esa la definición de las teorías generales de cohomología. Una categoría junto con una topología de Grothendieck en ella se llama un sitio. Esta herramienta se utiliza en teoría algebraica de números y geometría algebraica, para definir principalmente la de esquemas, pero también para la y el . Observe que una topología de Grothendieck no es una topología en el sentido clásico. (es) グロタンディーク位相（英: Grothendieck topology）とは位相空間上の開集合系が成り立つ性質を公理化し、圏の上に定義された一般化された位相のことである。またそのような位相を持つ圏をサイト（仏、英: site）といい、その位相を用いることにより位相空間上での層の理論が使えてコホモロジー理論を得ることができる。歴史的には代数幾何学のヴェイユ予想を解決するためにアレクサンドル・グロタンディークがエタール・コホモロジーを定義する際に導入された。 (ja) 대수기하학과 범주론에서 그로텐디크 위상(Grothendieck位相, 영어: Grothendieck topology)은 열린 덮개의 개념을 공리적으로 추상화한 개념이다. 이를 사용하여 위상 공간의 개념을 위치(位置, 영어: site)로 일반화할 수 있다. 그로텐디크 위상의 개념은 대수기하학에서 사용되는, 에탈 코호몰로지 · fppf 코호몰로지 · 결정 코호몰로지(영어: crystalline cohomology)와 같은 각종 코호몰로지 이론을 정의하는 데 필요하다. (ko) Inom matematiken är en plats en kategoriteoretisk generalisering av ett topologiskt rum. I stället för att som för topologiska rum axiomatisera begreppet öppen mängd axiomatiserar man begreppet övertäckning. Begreppet är centralt i högre algebraisk geometri, till exempel vid konstruktionen av . Inom geografin representeras en plats av ett "geografiskt avgränsat område" eller av punkter i ett rum, men även som "ett rum som människan fyllt med meningar och betydelser". En plats är, i fysisk eller symbolisk mening, lokaliserad i rummet (se rum). (sv) Eine Grothendieck-Topologie ist ein mathematisches Konzept, das es erlaubt,in einem abstrakten kategoriellen Rahmen eine Garbentheorie und eine Kohomologietheorie zu entwickeln. Eine Kategorie, auf der eine Grothendieck-Topologie erklärt ist, nennt man einen Situs. Auf einem Situs kann eine Garbe erklärt werden. Das Konzept der Grothendieck-Topologie wurde um 1960 von Alexander Grothendieck entwickelt, um in der algebraischen Geometrie in positiver Charakteristik einen Ersatz für die topologischen Kohomologietheorien wie bspw. die singuläre Kohomologie zu haben. Die Motivation hierfür kam von den Vermutungen von André Weil, die einen engen Zusammenhang zwischen der topologischen Gestalt (etwa den Bettizahlen) einer Varietät und der Anzahl der Punkte auf ihr über einem endlichen Körper vora (de) In category theory, a branch of mathematics, a Grothendieck topology is a structure on a category C that makes the objects of C act like the open sets of a topological space. A category together with a choice of Grothendieck topology is called a site. (en) En théorie des catégories, une branche des mathématiques, une topologie de Grothendieck est une structure sur une catégorie permettant de voir certains objets de comme les ensembles ouverts d'un espace topologique. Une catégorie munie d'une topologie de Grothendieck est appelée un site. Une topologie de Grothendieck axiomatise la notion de recouvrement d'un espace topologique par des ouverts. Cela permet de généraliser la définition de faisceaux, et leur cohomologie, à un site quelconque. (fr) Топология Гротендика — структура на категории, которая делает её объекты похожими на открытые множества топологического пространства. Категория вместе с топологией Гротендика называется ситусом или сайтом. Топологии Гротендика аксиоматизируют определение открытого покрытия, благодаря чему становится возможным определение пучков на категории и их когомологий, что впервые осуществлено Александром Гротендиком для схем. (ru)
rdfs:label Grothendieck-Topologie (de) Topología de Grothendieck (es) Grothendieck topology (en) Site (mathématiques) (fr) 그로텐디크 위상 (ko) グロタンディーク位相 (ja) Топология Гротендика (ru) Plats (sv)
rdfs:seeAlso dbr:Topos dbr:List_of_topologies_on_the_category_of_schemes
owl:sameAs freebase:Grothendieck topology wikidata:Grothendieck topology dbpedia-de:Grothendieck topology dbpedia-es:Grothendieck topology dbpedia-fr:Grothendieck topology dbpedia-ja:Grothendieck topology dbpedia-ko:Grothendieck topology dbpedia-ru:Grothendieck topology dbpedia-sv:Grothendieck topology https://global.dbpedia.org/id/8vha
prov:wasDerivedFrom wikipedia-en:Grothendieck_topology?oldid=1112801491&ns=0
foaf:isPrimaryTopicOf wikipedia-en:Grothendieck_topology
is dbo:wikiPageDisambiguates of dbr:Topology_(disambiguation)
is dbo:wikiPageRedirects of dbr:Site_(mathematics) dbr:Grothendieck_pretopology dbr:Grothendieck_site dbr:Grothendieck_topologies dbr:Small_étale_site dbr:Site_(sheaf_theory) dbr:Etale_site dbr:Étale_site
is dbo:wikiPageWikiLink of dbr:List_of_algebraic_geometry_topics dbr:List_of_algebraic_topology_topics dbr:Syntomic_topology dbr:Pretopological_space dbr:Algebraic_stack dbr:Algebraic_topology dbr:∞-topos dbr:Descent_(mathematics) dbr:Prestack dbr:Smooth_topology dbr:Torsion_sheaf dbr:Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics dbr:Esquisse_d'un_Programme dbr:Glossary_of_category_theory dbr:Commutative_algebra dbr:Étale_cohomology dbr:Functor_category dbr:Stack_(mathematics) dbr:Topological_modular_forms dbr:Topology dbr:H_topology dbr:Nisnevich_topology dbr:Algebraic_geometry dbr:Curry–Howard_correspondence dbr:Differentiable_stack dbr:Gluing_axiom dbr:History_of_topos_theory dbr:Higher-dimensional_algebra dbr:Cover_(topology) dbr:Torsor_(algebraic_geometry) dbr:Abelian_2-group dbr:Abelian_category dbr:Lawvere–Tierney_topology dbr:Topology_(disambiguation) dbr:Étale_topos dbr:Grothendieck_category dbr:Grothendieck_connection dbr:Natural_numbers_object dbr:Olivia_Caramello dbr:Sheaf_(mathematics) dbr:Sieve_(category_theory) dbr:Site_(mathematics) dbr:Étale_topology dbr:Nerve_complex dbr:V-topology dbr:List_of_things_named_after_Alexander_Grothendieck dbr:List_of_topologies_on_the_category_of_schemes dbr:List_of_topology_topics dbr:Rigid_analytic_space dbr:Flat_topology dbr:Sheaf_cohomology dbr:Outline_of_category_theory dbr:Overcategory dbr:Tate_topology dbr:Grothendieck_pretopology dbr:Grothendieck_site dbr:Grothendieck_topologies dbr:Small_étale_site dbr:Site_(sheaf_theory) dbr:Etale_site dbr:Étale_site
is foaf:primaryTopic of wikipedia-en:Grothendieck_topology