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In mathematics, intersection theory is one of the main branches of algebraic geometry, where it gives information about the intersection of two subvarieties of a given variety. The theory for varieties is older, with roots in Bézout's theorem on curves and elimination theory. On the other hand, the topological theory more quickly reached a definitive form. There is yet an ongoing development of intersection theory. Currently the main focus is on: virtual fundamental cycles, quantum intersection rings, Gromov-Witten theory and the extension of intersection theory from schemes to stacks. (en) In matematica, e più in particolare in geometria, con il termine teoria dell'intersezione, o anche con teoria dell'intersezione geometrica, si intende lo studio delle intersezioni fra varietà algebriche. Essa si può considerare una parte della , parte della geometria algebrica che si occupa di contare oggetti geometrici di tipo ben definito e soggetti a restrizioni esprimibili con equazioni che rendono finito il numero degli oggetti stessi. La teoria dell'intersezione ha quindi forti collegamenti anche con la odierna combinatorica enumerativa. Già nel XVIII secolo Eulero ed Étienne Bézout hanno studiato il caso delle curve piane ottenendo come risultato principale il fatto che due curve piane di grado m e n che non contengano una componente comune si intersecano sempre in m·n punti. Per rendere precisa questa affermazione, bisogna operare con i numeri complessi e introdurre i , estendere cioè il piano affine ordinario al piano proiettivo, e contare ogni punto d'intersezione con la relativa molteplicità. Nel XIX secolo l'argomento ha conosciuto un forte sviluppo per opera di geometri come Hermann Schubert e . Il loro interesse principale era la geometria enumerativa, che è quel ramo della geometria algebrica in cui si contano oggetti geometrici di un certo tipo, soggetti a restrizioni che rendono finito il numero delle soluzioni. All'inizio del XX secolo si è preso in considerazione lo studio delle , entità che generalizzano i punti di una curva e le curve di una superficie.Francesco Severi, Beniamino Segre e John Todd in seguito hanno avviato lo studio delle sottovarietà di codimensione maggiore cominciando dai punti di una superficie, oggetti per i quali si riscontrano situazioni particolari di interesse enumerativo. Negli anni 1930 , Oscar Zariski e altri hanno avviato un rinnovamento della geometria algebrica e hanno poste basi più rigorose alla teoria dell'intersezione. Un nuovo impulso è stato dato intorno alla metà del secolo da Alexander Grothendieck con l'adozione di potenti mezzi omologici e con l'introduzione dell'idea di . Negli anni 1970 e hanno fondato la teoria dell'intersezione su varietà arbitrarie che consente una descrizione soddisfacente delle intersezioni. Successivamente Stuckrad e Vogel, indipendentemente, hanno sviluppato un efficiente metodo algoritmico aprendo la possibilità di servirsi di . Vanno poi segnalati gli sviluppi stupefacenti conseguenti alla scoperta, a metà degli anni 1980 di notevoli fatti enumerativi nello studio della teoria delle stringhe, in particolare ad opera di Edward Witten. Altri collegamenti notevoli si hanno con la iniziati ancora da Grothendieck e approfonditi da Bloch, Daniel Quillen e altri. (it) 数学では、交叉理論(intersection theory)（もしくは、交点理論）は、代数幾何学では代数多様体の上ので部分多様体の交叉についての分野で、 代数トポロジーではコホモロジー環の中の交叉の計算についての分野である。多様体の理論は古くからあり、曲線のベズーの定理や(elimination theory)に起源を持つ。他方、トポロジー理論では、交叉理論はより手短に定義形式へたどり着く。 (ja) |
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In mathematics, intersection theory is one of the main branches of algebraic geometry, where it gives information about the intersection of two subvarieties of a given variety. The theory for varieties is older, with roots in Bézout's theorem on curves and elimination theory. On the other hand, the topological theory more quickly reached a definitive form. There is yet an ongoing development of intersection theory. Currently the main focus is on: virtual fundamental cycles, quantum intersection rings, Gromov-Witten theory and the extension of intersection theory from schemes to stacks. (en) 数学では、交叉理論(intersection theory)（もしくは、交点理論）は、代数幾何学では代数多様体の上ので部分多様体の交叉についての分野で、 代数トポロジーではコホモロジー環の中の交叉の計算についての分野である。多様体の理論は古くからあり、曲線のベズーの定理や(elimination theory)に起源を持つ。他方、トポロジー理論では、交叉理論はより手短に定義形式へたどり着く。 (ja) In matematica, e più in particolare in geometria, con il termine teoria dell'intersezione, o anche con teoria dell'intersezione geometrica, si intende lo studio delle intersezioni fra varietà algebriche. Essa si può considerare una parte della , parte della geometria algebrica che si occupa di contare oggetti geometrici di tipo ben definito e soggetti a restrizioni esprimibili con equazioni che rendono finito il numero degli oggetti stessi. La teoria dell'intersezione ha quindi forti collegamenti anche con la odierna combinatorica enumerativa. (it) |
