Stone's theorem on one-parameter unitary groups (original) (raw)
In mathematics, Stone's theorem on one-parameter unitary groups is a basic theorem of functional analysis that establishes a one-to-one correspondence between self-adjoint operators on a Hilbert space and one-parameter families of unitary operators that are strongly continuous, i.e., and are homomorphisms, i.e., Such one-parameter families are ordinarily referred to as strongly continuous one-parameter unitary groups.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In mathematics, Stone's theorem on one-parameter unitary groups is a basic theorem of functional analysis that establishes a one-to-one correspondence between self-adjoint operators on a Hilbert space and one-parameter families of unitary operators that are strongly continuous, i.e., and are homomorphisms, i.e., Such one-parameter families are ordinarily referred to as strongly continuous one-parameter unitary groups. The theorem was proved by Marshall Stone , and John von Neumann showed that the requirement that be strongly continuous can be relaxed to say that it is merely weakly measurable, at least when the Hilbert space is separable. This is an impressive result, as it allows to define the derivative of the mapping which is only supposed to be continuous. It is also related to the theory of Lie groups and Lie algebras. (en) Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве — важный результат функционального анализа, утверждающий, что всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде: , где — некоторый самосопряженный оператор, а — параметр. Верно и обратное: всякому самосопряженному оператору с помощью представления Стоуна можно поставить в соответствие сильно непрерывную однопараметрическую группу унитарных операторов. Теорема была доказана американским математиком Маршаллом Стоуном в 1930 году и имела большое значение для становления квантовой механики, а также послужила толчком к созданию теории Купмана — фон Неймана. Сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов обладает следующими свойствами: . Важность результата для физики заключается в том, что он гарантирует существование и единственность решений уравнений Шрёдингера и Лиувилля, а также сохранение нормировок волновых функций. (ru) |
| dbo:wikiPageID | 893698 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 9767 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1098658485 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Canonical_commutation_relation dbr:Quantum_mechanics dbr:One-parameter_group dbr:Derivative dbr:Annals_of_Mathematics dbr:Riesz–Markov–Kakutani_representation_theorem dbr:Unitary_operator dbr:Lie_group dbr:Compact_support dbr:Continuous_function dbr:Convolution dbc:Theorems_in_functional_analysis dbr:Mathematics dbr:Norm_(mathematics) dbr:Separable_space dbr:Contraction_(operator_theory) dbr:Proceedings_of_the_National_Academy_of_Sciences dbr:Lie_algebra dbr:Stone–von_Neumann_theorem dbr:Compact_operator dbr:Functional_analysis dbr:Projection-valued_measure dbr:Banach_space dbr:Time_evolution dbr:Momentum_operator dbr:Position_operator dbr:Extensions_of_symmetric_operators dbr:Fourier_transform dbr:Hille–Yosida_theorem dbr:Hamiltonian_(quantum_theory) dbr:Hilbert_space dbr:Weakly_measurable_function dbr:Spectral_theorem dbr:Group_algebra_of_a_locally_compact_group dbr:Self-adjoint_operator dbr:Map_(mathematics) dbr:Strong_operator_topology dbr:Unitary_group dbr:Riemann–Lebesgue_lemma |
| dbp:authorlink | John von Neumann (en) Marshall Stone (en) |
| dbp:first | John (en) Marshall (en) |
| dbp:last | Stone (en) von Neumann (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Further dbt:Mvar dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Harvs dbt:Functional_analysis |
| dbp:year | 1930 (xsd:integer) 1932 (xsd:integer) |
| dct:subject | dbc:Theorems_in_functional_analysis |
| rdf:type | yago:WikicatTheoremsInFunctionalAnalysis yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | In mathematics, Stone's theorem on one-parameter unitary groups is a basic theorem of functional analysis that establishes a one-to-one correspondence between self-adjoint operators on a Hilbert space and one-parameter families of unitary operators that are strongly continuous, i.e., and are homomorphisms, i.e., Such one-parameter families are ordinarily referred to as strongly continuous one-parameter unitary groups. (en) Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве — важный результат функционального анализа, утверждающий, что всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде: , где — некоторый самосопряженный оператор, а — параметр. Верно и обратное: всякому самосопряженному оператору с помощью представления Стоуна можно поставить в соответствие сильно непрерывную однопараметрическую группу унитарных операторов. Сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов обладает следующими свойствами: . (ru) |
| rdfs:label | Stone's theorem on one-parameter unitary groups (en) Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве (ru) |
| owl:sameAs | freebase:Stone's theorem on one-parameter unitary groups yago-res:Stone's theorem on one-parameter unitary groups wikidata:Stone's theorem on one-parameter unitary groups dbpedia-ru:Stone's theorem on one-parameter unitary groups https://global.dbpedia.org/id/47ySu |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Stone's_theorem_on_one-parameter_unitary_groups?oldid=1098658485&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Stone's_theorem_on_one-parameter_unitary_groups |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Stone's_theorem |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Stone_theorem_on_one-parameter_unitary_groups |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_eponyms_(L–Z) dbr:List_of_functional_analysis_topics dbr:One-parameter_group dbr:Resolvent_formalism dbr:Unbounded_operator dbr:Mathematical_formulation_of_quantum_mechanics dbr:Ehrenfest_theorem dbr:Stone–von_Neumann_theorem dbr:Hamiltonian_(quantum_mechanics) dbr:Stone's_theorem dbr:Ergodic_flow dbr:Hille–Yosida_theorem dbr:Unitarity_(physics) dbr:Marshall_H._Stone dbr:Borel_functional_calculus dbr:CCR_and_CAR_algebras dbr:Koopman–von_Neumann_classical_mechanics dbr:Self-adjoint_operator dbr:List_of_theorems dbr:Stone_theorem_on_one-parameter_unitary_groups |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:One-parameter_group |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Stone's_theorem_on_one-parameter_unitary_groups |