Дифференциальное исчисление | это... Что такое Дифференциальное исчисление? (original) (raw)

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

Содержание

1 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
2 См. также
3 Литература

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная

Пусть функция g(h) определена в окрестности h=0 и для любого $\epsilon$ > 0 найдётся такое $\delta$ , что

$|g(h)/h^n|<\epsilon$ , лишь только $|h|<\delta,$

тогда говорят, что g(h) — бесконечно малое порядка o(h^n) .

Пусть f(x) — вещественнозначная функция, заданная на отрезке (a,b) . Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале (a,b) , если

$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2!}f''(x)h^2+ \dots \frac{1}{n!}f^{(n)}(x)h^n + o(h^n)$

для любого $x\in(a,b)$ и любого . Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке (a,b) функции образуют кольцо гладких функций $C^\infty(a,b)$ .

Коэффициенты $f^{(n)}(x)$

$f^{(m)}(x+h)=f^{(m)}(x)+f^{(m+1)}(x)h+ \dots \frac{1}{n!}f^{(m+n)}(x)h^n + o(h^n)$

Эти функции называют производными функции f(x) . Первая производная может быть вычислена как предел

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

Оператор, сопоставляющий функции f(x) её производную f'(x) обозначают как

$D= \frac{d}{dx}$

При этом для двух гладких функций f и g верно

D (f+g)= Df + Dg и D(fg)=fDg+ gDf

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке (a,b) , является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Прямая

y=f(c)+f'(c)(x-c)

пересекает кривую

y=f(x)

в точке (c,f(c)) таким образом, что знак выражения

$f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)=\frac{1}{2}f''(c)(x-c)^2+o((x-c)^2)$

при условии $f''(c)\not =0$ всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая

y=f(x)

лежит по одну сторону от прямой

y=f(c)+f'(c)(x-c)

Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке x=c (по Б. Кавальери). Точку x=c , в которой кривая

y=f(x)

не лежит по одну сторону от прямой

y=f(c)+f'(c)(x-c)

называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

Точки экстремума

Точка x=c называется точкой локального максимума (минимума), если

$f(c)-f(c+h)>0 \quad (f(c)-f(c+h)<0 )$

для всех достаточно малых по модулю . Из соотношения

$f'(c)h+\frac{1}{2}f''(c)h^2+ o(h^2)<0$

сразу видно, что f'(c)=0 — необходимое условие максимума, а f''(c)<0 — достаточное условие максимума. Условие f''(c)=0 выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

Непрерывные функции

Пусть определена и на концах интервала [a,b] ; говорят, что она непрерывна на [a,b] , если для любого $\epsilon$ найдётся такое $\delta$ , что

$|f(x)-f(x+h)|<\epsilon$ , лишь только $|h|<\delta,$

и точки $x,\, x+h$ не выходят за границы интервала [a,b] . Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывны на интервале [a,b] функции образуют кольцо непрерывных функций C[a,b] .

Основные теоремы дифференциального исчисления

Кольцо непрерывных на [a,b] и гладких на (a,b) функций обладает рядом важных свойств:

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке $(a',b')\subset (a,b)$ найдутся такие точки c_n , что

$f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+\frac{1}{2!}f''(a')(b'-a')^2+ \dots \frac{1}{n!}f^{(n)}(a')(b'-a')^n + R_n$

где

$R_n=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c_n)(b'-a')^{n+1}$

При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке по известным значениям функции и её производных в точке .

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если f(b)=g(b)=0 или $f(b)=g(b)=\infty$ , и $g'\not =0$ на (a,b) , то

$\lim\limits_{x\rightarrow b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow b-0}\frac{f'(x)}{g'(x)},$

причём существование второго предела влечёт существование первого.

См. также

Исчисление
Исторический очерк и библиографию см. в статье Математический анализ.

Литература

Виноградов И.М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. М.: Советская энциклопедия, 1977 г.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1981 г.