Гиперсфера | это... Что такое Гиперсфера? (original) (raw)

Стереографическая проекция поверхности 3-сферы на трёхмерное пространство. На рисунке изображены три координатных направления на 3-сфере: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зелёный). В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере. Стереографическая проекция — конформное отображение, поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу.

Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

Гиперсфера — гиперповерхность в -мерном евклидовом пространстве, образованная точками равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является (n-1) -мерным подмногообразием в -мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

Уравнения

Гиперсфера радиуса с центром в точке $a = \left\{a_1, a_2, \dots a_n\right\}$ задается как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

$(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2 = R^2$

Гиперсферические координаты

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

$x = \rho \cdot \cos \alpha$

$y = \rho \cdot \sin \alpha$

а сферические координаты так:

$x = \rho \cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta$

$y = \rho \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta$

$z = \rho \cdot \cos \beta$

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

$x_1 = \rho \cdot \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}$

$x_2 = \rho \cdot \cos \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}$

$x_3 = \rho \cdot \cos \alpha_2 \cdot \sin \alpha_3 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}$

$\dots$

$x_n = \rho \cdot \cos \alpha_{n-1}$

Якобиан этого преобразования равен

$J = \rho^{n-1} \sin\,\alpha_2 \cdot \sin^2\,\alpha_3 \cdot \dots \cdot \sin^{n-2}\,\alpha_{n-1}$

Площадь и объем

Объем гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

Площадь поверхности $~S_{n-1}$ гиперсферы размерности ~n-1 и объем ~V_n , ограниченный ею (объем шара), можно рассчитать по формулам [1] [2]:

$~ S_{n-1} = n C_n R^{n-1}$

$V_n = C_n R^n \$

где

$C_n = \frac{ \pi^{n/2} }{\Gamma({n\over 2}+1)}$

а $~\Gamma(x)$ — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:

$C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}$

$C_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}$

Здесь ~n!! — двойной факториал.

Так как

$~V_n / S_{n-1} = R / n$

$~S_{n+1}/V_n = 2\pi R$

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

$V_n = \frac{2\pi R^2}{n} V_{n-2}$

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и объем принимают экстремальный размер для $S_{6}$ и $V_{5}$ соответственно.

Площади и объемы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе

Размерность	1 (длина)	2 (площадь)	3 (объем)	4	5	6	7	8
Единичнаясфера	$2 \pi$	$4 \pi$	$2 \pi^2$	$\frac{8}{3} \pi^2$	$\pi^3$	$\frac{16}{15} \pi^3$	$\frac{1}{3} \pi^4$	$\frac{32}{105} \pi^4$
Десятичнаязапись	6.2832	12.5664	19.7392	26.3189	31.0063	33.0734	32.4697	29.6866
Единичныйшар		$\pi$	$\frac{4}{3} \pi$	$\frac{1}{2} \pi^2$	$\frac{8}{15} \pi^2$	$\frac{1}{6} \pi^3$	$\frac{16}{105} \pi^3$	$\frac{1}{24} \pi^4$
Десятичнаязапись	2.0000	3.1416	4.1888	4.9348	5.2638	5.1677	4.7248	4.0587

Топология гиперсферы

В данном разделе под сферой S_n будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром B_n — n-мерный гипершар, то есть $S_n \hookrightarrow \R^{n+1}$ , $B_n \hookrightarrow \R^n$ .

Примечания

↑ Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, - т.5, с. 287, статья "Сфера" - формула объема n-мерной сферы
↑ Л. А.Максимов, А. В.Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объема n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса

См. также

Расслоение Хопфа

Ссылки

Размерность пространства
Пространство	Одномерное • Двумерное • Трёхмерное • Четырёхмерное • Пятимерное (англ.) • Шестимерное (англ.) • Семимерное (англ.) • Восьмимерное (англ.) • n-мерное • Пространство-время • Проективное пространство
Политопы и фигуры	Симплекс • Гиперкуб • Гиперпрямоугольник (ортотоп) (англ.) • Полугиперкуб (англ.) • Кросс-политоп (англ.) • Гиперсфера
Концепции	Прямоугольная система координат • Линейная алгебра • Геометрическая алгебра (англ.) • Conformal geometry • Плоскость поворота (англ.) • Пространство • Дробная размерность (Размерность Минковского, размерность Хаусдорфа) • Мультивселенная • Многообразие
Математика