Признак Д’Аламбера | это... Что такое Признак Д’Аламбера? (original) (raw)

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

существует такое число , 0 < q < 1 , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

$\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| \le q,$

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

$\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| > 1,$

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

$\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right|,$

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если $\rho < 1$ , а если $\rho > 1$ — расходится .

Замечание. Если $\rho=1$ , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

$\sum_{n=0}^\infty \frac {z^n} {n!}$

абсолютно сходится для всех комплексных , так как

$\lim \left|\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}} {{z^n}/{n!}}\right| = \lim \frac {|z|} {n+1} = 0,$

$\sum_{n=0}^\infty n! \; z^n$

расходится при всех $z\not=0$ , так как

$\lim \left| \frac {(n+1)! \; z^{n+1}} {n! \; z^n} \right| = \lim |(n+1)z| = \infty.$

$\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n$ и $\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.

Признаки сходимости рядов
Для знакоположительныхрядов	Необходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак	$\sum^\infty_{n=1}a_n$
Для знакочередующихсярядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum^\infty_{n=1}a_n b_n$	Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса
Для рядов Фурье	Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича