Признак сравнения | это... Что такое Признак сравнения? (original) (raw)

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Содержание

1 Формулировка
2 Доказательство
3 Признак сравнения отношений
- 3.1 Формулировка
- 3.2 Доказательство
4 Предельный признак сравнения
- 4.1 Формулировка
- 4.2 Доказательство
5 Литература
6 Ссылки

Формулировка

Пусть даны два знакоположительных ряда:

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ и $\sum_{n=1}^\infty b_n$

.

Тогда, если, начиная с некоторого места (), выполняется неравенство:

$0 \leqslant a_n \leqslant b_n$ ,

то из сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty b_n$ следует сходимость $\sum_{n=1}^\infty a_n$ .

Или же, если ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ расходится, то расходится и $\sum_{n=1}^\infty b_n$ .

Доказательство

Обозначим $\sigma_n$ частные суммы ряда $\sum b_k$ . Из неравенств (*) следует, что $\,0 \leqslant s_n \leqslant \sigma_n, \forall n.$ Поэтому из ограниченности $\,(\sigma_n)$ вытекает ограниченность $\,(s_n),$ а из неограниченности $\,(s_n)$ следует неограниченность $\,(\sigma_n).$ Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для $\sum b_k.$

Признак сравнения отношений

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

Формулировка

Доказательство

Перемножая неравенства, составленные для $\,k = 1, 2, ..., n - 1,$ , получаем

$\frac{a_n}{a_1} \leqslant \frac{b_n}{b_1},$ или $a_n \leqslant \frac{a_1}{b_1} \,b_n, \forall n.$

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов $\sum a_k$ и $\sum \frac{a_1}{b_1} \,b_k.$

Предельный признак сравнения

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

Формулировка

Доказательство

Если $a_k/b_k \xrightarrow \,l, l < +\infty,$ то для достаточно больших $\,k$

$\,a_k \leqslant (l + 1)b_k, \forall k \geqslant m.(3)$

Из ограниченности частных сумм $\sum b_k$ следует ограниченность частных сумм $\sum (l + 1)b_{m+k}.$ Соотношения $\,(3)$ обеспечивают на основании признака сравнения сходимость $\sum a_{m+k}$ и вместе с тем сходимость $\sum a_k.$ Если же $a_k/b_k \xrightarrow \,l, l >0,$ то $b_k/a_k \xrightarrow \,\lambda, \lambda <+\infty,$ и $\sum a_k$ не может сходиться при расходящемся $\sum b_k.$

Литература

Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.

Ссылки

http://www.math24.ru/comparison-tests.html

Признаки сходимости рядов
Для знакоположительныхрядов	Необходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак	$\sum^\infty_{n=1}a_n$
Для знакочередующихсярядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum^\infty_{n=1}a_n b_n$	Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса
Для рядов Фурье	Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича