Признак Жамэ | это... Что такое Признак Жамэ? (original) (raw)

Признак Жамэ — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Пьером Жамэ.

Формулировка

Ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ сходится, если при выполняется неравенство:

$J_n=\frac{n}{\ln n}\cdot \left(1-\sqrt[n]{a_n}\right)\geqslant 1 + \delta,$

где $\delta>0$ .

Если же $J_n\leqslant 1$ , при , то ряд расходится.

Доказательство[1]

1. Пусть для ряда $\sum_{n=1}^\infty a_n$ выполняется условие:

$\frac{n}{\ln n}\cdot \left( 1-\sqrt[n]{a_n}\right)\geqslant \delta>1$ .

Преобразуем это неравенство к виду:

$0\leqslant a_n\leqslant\left(1-\frac{\delta\ln n}{n}\right)^n$ .

Поскольку всегда можно найти достаточно большое n>N такое, что:

$1-\frac{\delta\ln n}{n}>0$ ,

то можно перейти к выражению:

$0\leqslant a_n\leqslant\exp\left(n\ln\left(1-\frac{\delta\ln n}{n}\right)\right)$ .

Применив разложение функции $\ln(1-x)$ в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

$0\leqslant a_n\leqslant\exp\left(\delta\ln n-\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n}+o\left(\frac{\ln^2 n}{n}\right)\right)$

Вынесем первое слагаемое из-под экспоненты:

$0\leqslant a_n\leqslant\frac1{n^\delta}\exp\left(-\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n}+o\left(\frac{\ln^2 n}{n}\right)\right)$

Теперь здесь применим разложение в ряд Маклорена для функции e^x :

$0\leqslant a_n\leqslant\frac1{n^\delta}-\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n^{\delta+1}}+o\left(\frac{\ln^2 n}{n^{\delta+1}}\right)$

Пренебрегая бесконечно малыми и, учитывая, что $\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n^{\delta+1}}\geqslant 0$ , получаем:

$0\leqslant a_n\leqslant\frac1{n^\delta}-\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n^{\delta+1}}\leqslant\frac1{n^\delta}$

Последнее, согласно признаку сравнения, означает, что рассматриваемый ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ сходится и расходится одновременно с рядом $\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^\delta}$ (ряд Дирихле), который сходится при $\delta>1$ и расходится при $\delta\leqslant 1$ .

2. Пусть для ряда $\sum_{n=1}^\infty a_n$ выполняется условие:

$\frac{n}{\ln n}\cdot \left(1-\sqrt[n]{a_n}\right)\leqslant 1$

Преобразуем это неравенство к виду:

$a_n\geqslant\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^n=\exp\left(n\ln\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)\right)$ .

Дважды применив разложение в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

$a_n \geqslant \frac1{n}-\frac{\ln^2n}{2n^2}+o\left(\frac{\ln^2n}{n^2}\right)=o\left(\frac1{n}\right)$

То есть согласно признаку сравнения, рассматриваемый ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ расходится, поскольку расходится ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$ (гармонический ряд).

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

$J=\lim_{n \to \infty} J_n$

то при ряд сходится, а при — расходится.

Обобщение

[2]

Примечания

↑ chisl
↑ А. В. Антонова Дополнение к признаку Жамэ

Литература

Б. П. Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу

Признаки сходимости рядов
Для знакоположительныхрядов	Необходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак	$\sum^\infty_{n=1}a_n$
Для знакочередующихсярядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum^\infty_{n=1}a_n b_n$	Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса
Для рядов Фурье	Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича