Неприводимый многочлен | это... Что такое Неприводимый многочлен? (original) (raw)

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Примеры
- 3.1 Конечные поля
4 Литература

Определение

Неприводимый многочлен над полем ― многочлен p(x_1,x_2,..,x_n) от переменных над полем является простым элементом кольца k[x_1,x_2,..,x_n] , то есть, непредставим в виде произведения p=qr , где и ― многочлены с коэффициентами из , отличные от констант.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

$p(x_1,x_2,..,x_{n-1})+x_n$

абсолютно неприводим.

Корни неприводимого многочлена называются сопряженными.

Свойства

Кольцо многочленов факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.
Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.
Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен , где и ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
Если — конечное поле из элементов, а — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из .
Предположим ― целозамкнутое кольцо с полем частных (например $A=\Z$ и $k=\mathbb Q$ ) и $p\in A[x]$ ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда в , причем и имеют старший коэффициент 1, то $q,r\in A[x]$ .
Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности $\sigma:A\to B$ . Если степень многочлена $\sigma(p)$ совпадает со степенью многочлена и $\sigma(p)$ неприводим над полем частных области , то не существует разложения , где $p, r\in A[x]$ и отличны от константы.

Примеры

Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:

$p_1(x)=x^2+4x+4\,={(x+2)(x+2)}$ ,

$p_2(x)=x^2-4\,={(x-2)(x+2)}$ ,

$p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)$ ,

$p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ ,

$p_5(x)=x^2+1\,={(x-i)(x+i)}$ .

Над кольцом $\Z$ целых чисел, первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).

Над полем $\Q$ рациональных чисел, первые три многочлена являются приводимыми, двое других — неприводимыми.

Над полем $\R$ действительных чисел, первые четыре многочлена — приводимые, но p_5(x) является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например разложение многочлена x^4 + 1 в поле действительных чисел имеет вид $(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)$ . Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.

Над полем $\C$ комплексных чисел, все пять многочленов — приводимые. Фактически, каждый отличный от константы многочлен p(x) над $\C$ может быть разложен на множители вида:

$p(x) = a(x-z_1)\cdots (x-z_n)$

где $\ n$ — степень многочлена, $\ a$ — старший коэффициент, $\ z_1,\ldots,z_n$ — корни $\ p(x)$ . Поэтому единственными неприводимыми многочленами над $\C$ являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).

Конечные поля

Многочлены с целочисленными коэффициентами, которые являются неприводимыми над полем $\Q$ могут быть приводимыми над конечным полем. Например, многочлен x ^ 2 +1 является неприводимым над $\Q$ , но над полем $\mathbb F_2$ из двух элементов мы имеем:

$(x ^ 2 +1) = (x +1) ^ 2 \,$

Литература

ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976;
Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968;
Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1―2, М., 1963.