Inequality of arithmetic and geometric means (original) (raw)
En matemàtiques, es coneix com a desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica aquella desigualtat que estableix que la mitjana aritmètica d'un conjunt de nombres reals positius és major o igual que la mitjana geomètrica del mateix conjunt.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtiques, es coneix com a desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica aquella desigualtat que estableix que la mitjana aritmètica d'un conjunt de nombres reals positius és major o igual que la mitjana geomètrica del mateix conjunt. (ca) V matematice říká nerovnost aritmetického a geometrického průměru (krátce AG nerovnost), že aritmetický průměr nezáporných čísel je vždy větší nebo roven geometrickému průměru těchto čísel. Navíc, rovnost nastává tehdy a jen tehdy, pokud jsou všechna průměrovaná čísla stejná. (cs) In der Mathematik besagt die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, dass das arithmetische Mittel von n Zahlen mindestens so groß wie das geometrische Mittel ist. Für war diese Ungleichung bereits Euklid bekannt; der erste Beweis für einen beliebigen Wert von wurde 1729 von Colin Maclaurin veröffentlicht. (de) Analitikoki froga daiteke batezbesteko harmonikoaren, batezbesteko geometrikoaren eta batezbesteko aritmetiko sinplearen artean erlazio hau betetzen dela: Berdintza kalkulurako erabiltzen diren datu guztiak berdinak direnean gertatzen da. (eu) In mathematics, the inequality of arithmetic and geometric means, or more briefly the AM–GM inequality, states that the arithmetic mean of a list of non-negative real numbers is greater than or equal to the geometric mean of the same list; and further, that the two means are equal if and only if every number in the list is the same (in which case they are both that number). The simplest non-trivial case – i.e., with more than one variable – for two non-negative numbers x and y, is the statement that with equality if and only if x = y. This case can be seen from the fact that the square of a real number is always non-negative (greater than or equal to zero) and from the elementary case (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 of the binomial formula: Hence (x + y)2 ≥ 4xy, with equality precisely when (x − y)2 = 0, i.e. x = y. The AM–GM inequality then follows from taking the positive square root of both sides and then dividing both sides by 2. For a geometrical interpretation, consider a rectangle with sides of length x and y, hence it has perimeter 2x + 2y and area xy. Similarly, a square with all sides of length √xy has the perimeter 4√xy and the same area as the rectangle. The simplest non-trivial case of the AM–GM inequality implies for the perimeters that 2x + 2y ≥ 4√xy and that only the square has the smallest perimeter amongst all rectangles of equal area. Extensions of the AM–GM inequality are available to include or generalized means. (en) En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales. (es) En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité. (fr) 수학에서 산술-기하 평균 부등식(算術幾何平均不等式, 영어: arithmetic–geometric mean inequality)은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 실수들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다. (ko) In matematica, la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica, o più brevemente la disuguaglianza MA-MG, afferma che la media aritmetica di una lista di numeri reali è maggiore della media geometrica della stessa lista; e inoltre, che le due medie sono uguali se e solo se ogni numero nella lista è lo stesso. Il caso non banale più semplice, per due numeri reali non negativi e , è la disuguaglianza: con l'uguaglianza se e solo se . Questo caso può essere visto dal fatto che il quadrato di un numero reale è sempre non negativo (maggiore o uguale a zero) e dal caso elementare della formula binomiale: Quindi , con l'uguaglianza precisamente quando , cioè . La disuguaglianza MA-MG segue poi applicando la radice quadrata ad ambo i membri. Per un'interpretazione geometrica, si consideri un rettangolo con lati di lunghezza e , perciò ha perimetro e area . In modo simile, un quadrato con il lato di lunghezza ha perimetro e la stessa area del rettangolo. Questo caso della disuguaglianza MA-MG implica per i perimetri che e pertanto che il quadrato ha il minore perimetro tra tutti i rettangoli di uguale area. Estensioni della disuguaglianza MA-MG sono disponibili per includere medie pesate o generalizzate. (it) A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica. Mais precisamente falando, seja um conjunto não vazio de números reais positivos então: onde , veja somatório. e , veja produtório. (pt) Nierówności między średnimi, nierówności Cauchy’ego między średnimi – nierówności porządkujące w ciąg nierosnący cztery średnie tj. średnią kwadratową, arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną wyznaczone dla tego samego układu liczb dodatnich Ich nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy’ego, francuskiego matematyka. Oznacza to, że: Ponadto równości w powyższym wyrażeniu zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby są równe. Nierówność między średnimi jest szczególnym przypadkiem nierówności między średnimi uogólnionymi. Można też rozważać ważoną wersję tej nierówności: dla i bądź wersję całkową: dla całkowalnej i dodatniej w (pl) 算术-几何平均值不等式，簡稱算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为 个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是 。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数： 等号成立当且仅当 。 通常用于两个数之间，设这两个数为a和b，也就是 算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。 算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式（或均值不等式），其實后者是一组更廣泛的不等式。 (zh) Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом гласит, что для любых неотрицательных чисел верно неравенство: причем равенство достигается тогда и только тогда, когда . Это неравенство является частным случаем неравенства о средних (неравенство Коши). (ru) У математиці, нерівність середнього арифметичного та геометричного або коротше нерівність СА–СГ стверджує, що середнє арифметичне набору невід'ємних дійсних чисел більше ніж або дорівнює середньому геометричному цих же чисел; і далі, що ці середні дорівнюють одне одному тоді і лише тоді, коли усі числа в наборі однакові. Найпростіший нетривіальний випадок — тобто, з більш ніж з однією змінною — для двох невід'ємних чисел x і y, це таке твердження зі знаком рівності тоді і лише тоді, коли x = y. Цей випадок можна зрозуміти завдяки тому факту, що квадрат дійсного числа завжди невід'ємний і з елементарного випадку біноміальної формули (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2: Інакше кажучи, (x + y)2 ≥ 4xy, де рівність досягається саме тоді, коли (x − y)2 = 0, тобто x = y. Для геометричного тлумачення, розглянемо прямокутник зі сторонами довжин x і y, звідси його периметр 2x + 2y і площа xy. Подібно, квадрат з усіма сторонами довжини √xy має периметр 4√xy і ту ж саму площу, що і прямокутник. Найпростіший нетривіальний випадок нерівності СА-СГ для периметра дає 2x + 2y ≥ 4√xy і, що лише квадрат має найменший периметр серед усіх прямокутників рівної площі. Загальна нерівність СА-СГ відповідає тому факту, що натуральний логарифм, який переводить множення у додавання, є строго увігнутою функцією; використовуючи нерівність Єнсена отримуємо загальне доведення нерівності. Розширення нерівності СА-СГ можуть включати ваги або середні степеневі. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/AM_GM_inequality_animation.gif?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.mediafire.com/file/1mw1tkgozzu |
| dbo:wikiPageID | 605011 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 36366 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1116055789 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Muirhead's_inequality dbr:Monotonic_function dbr:Derivative dbr:Investment dbr:Ky_Fan_inequality dbc:Articles_containing_proofs dbr:Critical_point_(mathematics) dbr:Annualized_return dbr:Mathematical_induction dbr:Mathematics dbr:Geometric_mean dbr:Generalized_mean dbr:George_Pólya dbr:Global_minimum dbr:Concave_function dbr:Arithmetic_mean dbc:Means dbr:Logarithm dbr:Strictly_convex_function dbr:Functional_equation dbr:Derivative_(mathematics) dbr:Perimeter dbr:Maclaurin's_inequality dbr:Cauchy–Schwarz_inequality dbr:Weighted_arithmetic_mean dbr:Exponential_function dbr:Extreme_value_theorem dbr:Nth_root dbr:Rate_of_return dbr:Hypercube dbr:Area dbc:Inequalities dbr:Jensen's_inequality dbr:Lagrange_multipliers dbr:Hoffman's_packing_puzzle dbr:Differential_calculus dbr:If_and_only_if dbr:Antilog dbr:Natural_logarithm dbr:Real_number dbr:Rectangle dbr:Young's_inequality_for_products dbr:Square dbr:Weighted_geometric_mean dbr:Financial_mathematics dbr:Augustin_Louis_Cauchy dbr:Binomial_formula dbr:File:AM_GM_inequality_animation.gif dbr:Means_of_complex_numbers |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:AM_GM_inequality_visual_proof.svg dbt:QM_AM_GM_HM_inequality_visual_proof.svg dbt:= dbt:Cite_web dbt:Math dbt:Mvar dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:TOC_limit dbt:Radical |
| dcterms:subject | dbc:Articles_containing_proofs dbc:Means dbc:Inequalities |
| rdfs:comment | En matemàtiques, es coneix com a desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica aquella desigualtat que estableix que la mitjana aritmètica d'un conjunt de nombres reals positius és major o igual que la mitjana geomètrica del mateix conjunt. (ca) V matematice říká nerovnost aritmetického a geometrického průměru (krátce AG nerovnost), že aritmetický průměr nezáporných čísel je vždy větší nebo roven geometrickému průměru těchto čísel. Navíc, rovnost nastává tehdy a jen tehdy, pokud jsou všechna průměrovaná čísla stejná. (cs) In der Mathematik besagt die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, dass das arithmetische Mittel von n Zahlen mindestens so groß wie das geometrische Mittel ist. Für war diese Ungleichung bereits Euklid bekannt; der erste Beweis für einen beliebigen Wert von wurde 1729 von Colin Maclaurin veröffentlicht. (de) Analitikoki froga daiteke batezbesteko harmonikoaren, batezbesteko geometrikoaren eta batezbesteko aritmetiko sinplearen artean erlazio hau betetzen dela: Berdintza kalkulurako erabiltzen diren datu guztiak berdinak direnean gertatzen da. (eu) En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales. (es) En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité. (fr) 수학에서 산술-기하 평균 부등식(算術幾何平均不等式, 영어: arithmetic–geometric mean inequality)은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 실수들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다. (ko) A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica. Mais precisamente falando, seja um conjunto não vazio de números reais positivos então: onde , veja somatório. e , veja produtório. (pt) 算术-几何平均值不等式，簡稱算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为 个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是 。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数： 等号成立当且仅当 。 通常用于两个数之间，设这两个数为a和b，也就是 算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。 算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式（或均值不等式），其實后者是一组更廣泛的不等式。 (zh) Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом гласит, что для любых неотрицательных чисел верно неравенство: причем равенство достигается тогда и только тогда, когда . Это неравенство является частным случаем неравенства о средних (неравенство Коши). (ru) In mathematics, the inequality of arithmetic and geometric means, or more briefly the AM–GM inequality, states that the arithmetic mean of a list of non-negative real numbers is greater than or equal to the geometric mean of the same list; and further, that the two means are equal if and only if every number in the list is the same (in which case they are both that number). The simplest non-trivial case – i.e., with more than one variable – for two non-negative numbers x and y, is the statement that Extensions of the AM–GM inequality are available to include or generalized means. (en) In matematica, la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica, o più brevemente la disuguaglianza MA-MG, afferma che la media aritmetica di una lista di numeri reali è maggiore della media geometrica della stessa lista; e inoltre, che le due medie sono uguali se e solo se ogni numero nella lista è lo stesso. Il caso non banale più semplice, per due numeri reali non negativi e , è la disuguaglianza: Quindi , con l'uguaglianza precisamente quando , cioè . La disuguaglianza MA-MG segue poi applicando la radice quadrata ad ambo i membri. (it) Nierówności między średnimi, nierówności Cauchy’ego między średnimi – nierówności porządkujące w ciąg nierosnący cztery średnie tj. średnią kwadratową, arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną wyznaczone dla tego samego układu liczb dodatnich Ich nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy’ego, francuskiego matematyka. Oznacza to, że: Ponadto równości w powyższym wyrażeniu zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby są równe. Nierówność między średnimi jest szczególnym przypadkiem nierówności między średnimi uogólnionymi. Można też rozważać ważoną wersję tej nierówności: dla i (pl) У математиці, нерівність середнього арифметичного та геометричного або коротше нерівність СА–СГ стверджує, що середнє арифметичне набору невід'ємних дійсних чисел більше ніж або дорівнює середньому геометричному цих же чисел; і далі, що ці середні дорівнюють одне одному тоді і лише тоді, коли усі числа в наборі однакові. Найпростіший нетривіальний випадок — тобто, з більш ніж з однією змінною — для двох невід'ємних чисел x і y, це таке твердження Інакше кажучи, (x + y)2 ≥ 4xy, де рівність досягається саме тоді, коли (x − y)2 = 0, тобто x = y. (uk) |
| rdfs:label | Desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica (ca) Nerovnost aritmetického a geometrického průměru (cs) Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel (de) Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου (el) Batezbestekoen arteko erlazio (eu) Desigualdad de las medias aritmética y geométrica (es) Inequality of arithmetic and geometric means (en) Disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica (it) Inégalité arithmético-géométrique (fr) 산술-기하 평균 부등식 (ko) Desigualdade das médias (pt) Nierówności między średnimi (pl) Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом (ru) 算术-几何平均值不等式 (zh) Нерівність середнього арифметичного та геометричного (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Inequality of arithmetic and geometric means wikidata:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-ca:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-cs:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-de:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-el:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-es:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-eu:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-fa:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-fi:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-fr:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-he:Inequality of arithmetic and geometric means http://hi.dbpedia.org/resource/समान्तर_माध्य_और_गुणोत्तर_माध्य_सम्बन्धी_असमिका dbpedia-hu:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-it:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-ko:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-pl:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-pt:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-ro:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-ru:Inequality of arithmetic and geometric means http://ta.dbpedia.org/resource/கூட்டு,_பெருக்கல்_சராசரிகளின்_சமனிலி dbpedia-uk:Inequality of arithmetic and geometric means http://uz.dbpedia.org/resource/Oʻrta_arifmetik_va_oʻrta_geometrik_orasidagi_tengsizlik dbpedia-vi:Inequality of arithmetic and geometric means dbpedia-zh:Inequality of arithmetic and geometric means https://global.dbpedia.org/id/4zYwZ |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means?oldid=1116055789&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/AM_GM_inequality_animation.gif |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:AG |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Arithmetic_mean-geometric_mean_inequality dbr:AM–GM_inequality dbr:Arithmetic-geometric_mean_inequality dbr:Arithmetic/geometric_mean_inequality dbr:Arithmetic_Mean_Geometric_Mean_Inequality dbr:Arithmetic–geometric_mean_inequality dbr:Inequality_between_arithmetic_and_geometric_means dbr:Inequality_between_geometric_and_arithmetic_means dbr:Inequality_of_geometric_and_arithmetic_means dbr:AM-GM dbr:AM-GM_inequality dbr:AMGM dbr:AM_GM_inequality dbr:Geometric-arithmetic_mean_inequality dbr:Weighted-amgm |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Muirhead's_inequality dbr:Mental_calculation dbr:Bernoulli's_inequality dbr:Beta_distribution dbr:Arithmetic_mean-geometric_mean_inequality dbr:Ky_Fan_inequality dbr:List_of_inequalities dbr:List_of_real_analysis_topics dbr:Mathematical_induction dbr:Maximum_spacing_estimation dbr:Geometric_mean dbr:Pythagorean_means dbr:Generalized_mean dbr:Boundedly_generated_group dbr:Convex_function dbr:Erdős–Mordell_inequality dbr:Arithmetic_mean dbr:Friendship_paradox dbr:Householder_transformation dbr:Maclaurin's_inequality dbr:Mahler's_inequality dbr:HM-GM-AM-QM_inequalities dbr:Heinz_mean dbr:Bregman–Minc_inequality dbr:Carleman's_inequality dbr:Isoperimetric_inequality dbr:Rearrangement_inequality dbr:AG dbr:AM–GM_inequality dbr:Hadamard's_inequality dbr:Harmonic_mean dbr:Arithmetic_progression dbr:Arithmetic–geometric_mean dbr:Hoeffding's_lemma dbr:Hoffman's_packing_puzzle dbr:Square_root dbr:Inequality_(mathematics) dbr:Methods_of_computing_square_roots dbr:Brunn–Minkowski_theorem dbr:MM_algorithm dbr:Popoviciu's_inequality_on_variances dbr:Existential_theory_of_the_reals dbr:Fischer's_inequality dbr:Arithmetic-geometric_mean_inequality dbr:Arithmetic/geometric_mean_inequality dbr:Arithmetic_Mean_Geometric_Mean_Inequality dbr:Arithmetic–geometric_mean_inequality dbr:Inequality_between_arithmetic_and_geometric_means dbr:Inequality_between_geometric_and_arithmetic_means dbr:Inequality_of_geometric_and_arithmetic_means dbr:AM-GM dbr:AM-GM_inequality dbr:AMGM dbr:AM_GM_inequality dbr:Geometric-arithmetic_mean_inequality dbr:Weighted-amgm |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means |
