Logarithm (original) (raw)

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Logaritmus kladného reálného čísla při základu je takové reálné číslo , pro které platí . V tomto vztahu se číslo a označuje jako základ logaritmu (báze), logaritmované číslo x se někdy označuje jako argument či numerus, y je pak logaritmem čísla x při základu a. Zvláštní význam mají logaritmy o základu 10 (dekadický logaritmus, zkráceně log nebo lg) a o základu e (Eulerovo číslo, přirozený logaritmus, zkráceně ln nebo log). Graf logaritmické funkce o základu eGraf logaritmické funkce o základu 10 Logaritmická funkce je matematická funkce, která je inverzní k exponenciální funkci.

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dbo:abstract في الرياضيات، الأَسِيْس أو اللوغاريثم أو اللوغاريتم (بالإنجليزية: logarithm)‏ هي الدالة العكسية للدوال الأسية ويُعرَّف لوغاريتم عدد ما بالنسبة لأساس ما، بأنه الأس المرفوع على الأساس والذي سينتج ذلك العدد. فعلى سبيل المثال فلوغاريتم 1000 بالنسبة للأساس 10 هو 3 لأن 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. وعموما، يمكن القول أنه إذا كان x = by فإن لوغاريتم x بالنسبة للأساس b هو y يعبر عن ذلك رياضياً بالعلاقة: logb x=y وبالرجوع إلى المثال يصبح: log10(1000) = 3. يعرف اللوغاريتم العشري بأنه لوغاريتم عدد ما بالنسبة للأساس 10 والذي يستخدم بشكل كبير في حساب التطبيقات العلمية والهندسية.الأسس أو اللوغاريتم هي العملية العكسية للدوال الأسية ويُعرَّف اللوغاريتم الطبيعي بأنه لوغاريتم عدد بالنسبة لأساس هو العدد النيبيري (e) والذي له تطبيقات كثيرة في الحسابات الهندسية والعلمية وفي الرياضيات البحتة وخاصة في التفاضل والتكامل. في حين يعرف اللوغاريتم الثنائي لعدد ما بأنه لوغاريتمه بالنسبة للأساس 2 ويستخدم بشكل كبير في علم الحاسوب والدارات المنطقية. كان اللوغارتم معروفا لدى العرب نسبة إلى العالم الخوارزمي، ولقد أدخل مفهوم اللوغاريتمات إلى الرياضيات في أوائل القرن السابع عشر على يد العالم جون نابير وسيلةً لتبسيط الحسابات، ليعتمد عليها بعد ذلك الملاحون والعلماء والمهندسون والفلكيون وغيرهم لإنجاز حساباتهم بسهولة أكبر، مستخدمين المساطر الحاسبة . وتعود كلمة اللوغارتم إلى العالم العربي الخوارزمي حيث يرد أسمه في اللغة الإنجليزية بكلمة Algorism وalgorithm واللتان تنبعان من كلمة Algoritmi، الشكل اللاتيني لاسمه الخوارزمي. كما استفادوا من خواص اللوغاريتمات باستبدال عمليات الضرب لإيجاد لوغاريتم جداء عددين بخاصية الجمع وفق الخاصية: قام ليونهارت أويلر في القرن الثامن عشر بربط مفهوم اللوغاريتمات بمفهوم التابع الأسي ليتوسع مفهوم اللوغاريتمات ويرتبط بالتوابع. كما يستفاد من المقياس اللوغاريتمي من التقليل من التمثيل البياني لمجالات واسعة من الكميات إلى مقياس أصغر. فعلى سبيل المثال الديسيبل هو وحدة لوغاريتمية لقياس ضغظ الصوت ونسبة الفولت. كما يستخدم الأس الهيدروجيني (وهو مقياس لوغاريتمي) في الكيمياء لتحديد حمضية محلول ما وذلك من خلال العلاقة التالية: (ar) El logaritme d'un nombre en una certa base és l'exponent al qual cal elevar aquesta base per obtenir el nombre donat. Per exemple, el logaritme de 1000 en base 10 és 3, perquè 1000 és 10 elevat a 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. D'una manera més general, si x = by llavors y és el logaritme de x en base b, el qual s'escriu y = logb(x) o y = logb(by) i per tant log10(1000) = log10(103) = 3. El logaritme en base 10 (b = 10) s'anomena logaritme decimal i té moltes aplicacions en ciència i enginyeria. D'altra banda, el logaritme natural o logaritme neperià té el nombre e (≈ 2,718) com a base i s'usa a bastament en matemàtiques pures, especialment en càlcul. Finalment, el logaritme binari utilitza la base 2 (b = 2) i és molt important en informàtica. Els logaritmes foren introduïts per John Napier a principis del segle xvii com a mitjà per simplificar els càlculs. Foren adoptats ràpidament per navegants, científics, enginyers i altres per dur a terme còmputs de manera més fàcil utilitzant el regle de càlcul i la . Les tedioses passes que consisteixen en multiplicacions de molts dígits es poden reemplaçar per consultes de taules i simples sumes gràcies a la propietat fonamental del logaritme, segons la qual el logaritme d'un producte és la suma dels logaritmes dels factors: La notació actual dels logaritmes prové de Leonhard Euler, qui els relacionà amb la funció exponencial al segle xviii. Els logaritmes apareixen profusament en moltes àrees de ciència i tecnologia. L'escala logarítmica és útil quan les dades cobreixen una àmplia gamma de valors: el logaritme les redueix a un rang més manejable. Per exemple, el decibel és una unitat logarítmica que quantifica el nivell de pressió sonora, i el pH és una mesura logarítmica de l'acidesa d'una dissolució química. Els logaritmes també descriuen intervals musicals i informen alguns models en psicofísica, entre molts altres casos. De la mateixa manera que el logaritme és la funció inversa de l'exponencial, el és la funció inversa de l'exponencial complexa. El logaritme discret n'és una altra variant que té aplicacions en criptografia de clau pública. (ca) Logaritmus kladného reálného čísla při základu je takové reálné číslo , pro které platí . V tomto vztahu se číslo a označuje jako základ logaritmu (báze), logaritmované číslo x se někdy označuje jako argument či numerus, y je pak logaritmem čísla x při základu a. Zvláštní význam mají logaritmy o základu 10 (dekadický logaritmus, zkráceně log nebo lg) a o základu e (Eulerovo číslo, přirozený logaritmus, zkráceně ln nebo log). Graf logaritmické funkce o základu eGraf logaritmické funkce o základu 10 Logaritmická funkce je matematická funkce, která je inverzní k exponenciální funkci. (cs) Λογάριθμος (με βαση α) ενός θετικού αριθμού θ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψωθεί ένας δεδομένος αριθμός α , που λέγεται βάση, ώστε να πάρουμε αποτέλεσμα τον Θ. Για τη βάση α ισχύει ότι 0<α<1 ή α>1. Για παράδειγμα ο λογάριθμος του 1000 με βάση το 10 είναι 3, επειδή το 1000 ισούται με 10 υψωμένο εις την 3:1000 = 103 = 10 × 10 × 10. Πιο γενικά, αν x = by τότε το y είναι ο λογάριθμος του x με βάση το b, και γράφεται logb(x), έτσι log10(1000) = 3. Οι λογάριθμοι εισήχθησαν από τον Τζον Νάπιερ στις αρχές του 17ου αιώνα ως μέσο για την απλοποίηση των υπολογισμών. Υιοθετήθηκαν με ραγδαίους ρυθμούς από επιστήμονες, μηχανικούς και άλλους ώστε να κάνουν πράξεις με και . Αυτές οι μέθοδοι υπολογισμού βασίζονται στο, σημαντικό από μόνο του, γεγονός ότι ο λογάριθμος ενός γινομένου ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων του: Η σημερινή έννοια των λογαρίθμων προέρχεται από τον Λέοναρντ Όιλερ, ο οποίος τους συνέδεσε με την εκθετική συνάρτηση τον 18ο αιώνα. Ο λογάριθμος με βάση το b = 10 αποκαλείται και έχει πολλές εφαρμογές στην επιστήμη και τη μηχανική. Ο φυσικός λογάριθμος έχει ως βάση την σταθερά e (≈ 2.718), και η χρήση του είναι διαδεδομένη στα καθαρά μαθηματικά, και ειδικότερα στον λογισμό. Ο έχει ως βάση τον αριθμό b = 2 και αποτελεί σημαντικό στοιχείο της επιστήμης υπολογιστών. Οι λογαριθμικές κλίμακες περιορίζουν το πεδίο τιμών ποσοτήτων με μεγάλο εύρος. Για παράδειγμα το ντεσιμπέλ είναι λογαριθμική μονάδα μέτρησης της διαφοράς στάθμης φυσικών μεγεθών. Στη χημεία, το pH είναι λογαριθμική μονάδα της οξύτητας ενός . Οι λογάριθμοι είναι κοινός τόπος στους επιστημονικούς , στις μετρήσεις της πολυπλοκότητας των αλγορίθμων και στα γεωμετρικά αντικείμενα που ονομάζονται φράκταλ. Περιγράφουν μουσικά διαστήματα, εμφανίζονται σε τύπους που μετρούν το πλήθος των πρώτων αριθμών, χρησιμοποιούνται σε μοντέλα της και επικουρούν την Κατά τον ίδιο τρόπο με τον οποίο ο λογάριθμος αντιστρέφει την ύψωση σε δύναμη, ο είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης εφαρμοζόμενης στους μιγαδικούς αριθμούς. Ο είναι μια άλλη παραλλαγή η οποία έχει εφαρμογές στην κρυπτογράφηση δημοσίου κλειδιού. (el) Als Logarithmus (Plural: Logarithmen; von altgriechisch λόγος lógos, „Verständnis, Lehre, Verhältnis“, und ἀριθμός, arithmós, „Zahl“) einer Zahl bezeichnet man den Exponenten, mit dem eine vorher festgelegte Zahl, die Basis, potenziert werden muss, um die gegebene Zahl, den Numerus, zu erhalten. Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert, auch die Basis muss positiv sein. Der Logarithmus einer positiven reellen Zahl zur Basis ist also der Wert des Exponenten, wenn als Potenz zur Basis dargestellt wird, also diejenige Zahl , welche die Gleichung löst. Man schreibt ; weitere Notationen siehe . Das Logarithmieren, d. h. der Übergang von zu , ist damit eine Umkehroperation des Potenzierens. Die Funktion, die bei gegebener fester Basis jeder positiven Zahl ihren Logarithmus zuordnet, nennt man Logarithmusfunktion zur Basis . Mit Logarithmen lassen sich sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich darstellen, da der Logarithmus für große Zahlen viel langsamer steigt als die Zahlen selbst. Wie die Gleichung zeigt, kann man durch Logarithmieren eine Multiplikation durch die viel weniger rechenintensive Addition ersetzen. Auch beschreiben Logarithmen auf mathematisch elegante Weise viele technische Prozesse sowie Phänomene der Natur wie etwa das Verhalten einer Halbleiter-Diode, die Spirale eines Schneckenhauses oder die Wahrnehmung unterschiedlicher Lautstärken durch das menschliche Ohr. Entsprechende mathematische Berechnungen sind bereits aus der Zeit vor Christi Geburt aus Indien überliefert. Der Begriff Logarithmus wurde von John Napier im frühen 17. Jahrhundert geprägt. Napier zu Ehren wird der Natürliche Logarithmus (s. u.) manchmal auch Napierscher Logarithmus oder Neperscher Logarithmus genannt. (de) La logaritmo aŭ logaritma funkcio estas de la eksponenta funkcio. La funkcio estas markita per la literoj . Ĉi tiu agado trovas la potencon kiam estas donitaj la bazon kaj rezulton; tio estas, ĝi respondas la demandon "Kiome ni bezonos eksponenciale levi donitan nombron por akiri alian donitan nombron?". La logaritmo de a laŭ bazo b estas skribita . (eo) Analisi matematikoan, zenbaki erreal positibo baten logaritmoa (logaritmoaren oinarri jakin batean) zenbaki bat da zeinarekin oinarria berretzen baita zenbaki erreal positibo hori lortzeko. Adibidez, 1000 zenbakiaren logaritmo hamartarra (10 oinarria duen logaritmoa) 3 da, , . Kenketa batuketaren eta zatiketa biderketaren kontrako eragiketak diren moduan, logaritmoa bere oinarriaren berreketaren aurkako eragiketa da. Logaritmo-eragiketa adierazteko, laburdura idazten da, eta, haren ondoren, oinarria azpi-indize modura. Adibidez, denez, da. Bi salbuespen nagusi daude: logaritmo hamartarretan normalean, ez da azpi-indizerik idazten, baizik eta zuzenean ; eta logaritmo naturaletan, laburdura erabiltzen da. Logaritmo naturalari era informalean, logaritmo nepertar ere deitzen zaio, nahiz eta funtsean kontzeptu ezberdinak izan. John Napier-ek definitu zuen lehenengo aldiz logaritmoa, XVII. mendearen hasieran, kalkuluak errazteko baliabide gisa. Kalkuluaren arauek eta logaritmoen taulen erabilerak eragiketak asko errazten zituztenez, azkar asko zabaldu zen haren erabilera zientzialari, ingeniari eta bankarien artean, besteak beste. Logaritmoaren egungo ideia Leonhard Euler-i dagokio, funtzio esponentzialarekin erlazionatu baitzuen XVIII. mendean. (eu) In mathematics, the logarithm is the inverse function to exponentiation. That means the logarithm of a number x to the base b is the exponent to which b must be raised, to produce x. For example, since 1000 = 103, the logarithm base 10 of 1000 is 3, or log10 (1000) = 3. The logarithm of x to base b is denoted as logb (x), or without parentheses, logb x, or even without the explicit base, log x, when no confusion is possible, or when the base does not matter such as in big O notation. The logarithm base 10 is called the decimal or common logarithm and is commonly used in science and engineering. The natural logarithm has the number e ≈ 2.718 as its base; its use is widespread in mathematics and physics, because of its very simple derivative. The binary logarithm uses base 2 and is frequently used in computer science. Logarithms were introduced by John Napier in 1614 as a means of simplifying calculations. They were rapidly adopted by navigators, scientists, engineers, surveyors and others to perform high-accuracy computations more easily. Using logarithm tables, tedious multi-digit multiplication steps can be replaced by table look-ups and simpler addition. This is possible because the logarithm of a product is the sum of the logarithms of the factors: provided that b, x and y are all positive and b ≠ 1. The slide rule, also based on logarithms, allows quick calculations without tables, but at lower precision. The present-day notion of logarithms comes from Leonhard Euler, who connected them to the exponential function in the 18th century, and who also introduced the letter e as the base of natural logarithms. Logarithmic scales reduce wide-ranging quantities to smaller scopes. For example, the decibel (dB) is a unit used to express ratio as logarithms, mostly for signal power and amplitude (of which sound pressure is a common example). In chemistry, pH is a logarithmic measure for the acidity of an aqueous solution. Logarithms are commonplace in scientific formulae, and in measurements of the complexity of algorithms and of geometric objects called fractals. They help to describe frequency ratios of musical intervals, appear in formulas counting prime numbers or approximating factorials, inform some models in psychophysics, and can aid in forensic accounting. The concept of logarithm as the inverse of exponentiation extends to other mathematical structures as well. However, in general settings, the logarithm tends to be a multi-valued function. For example, the complex logarithm is the multi-valued inverse of the complex exponential function. Similarly, the discrete logarithm is the multi-valued inverse of the exponential function in finite groups; it has uses in public-key cryptography. (en) En análisis matemático el logaritmo en base b de un número real positivo n, es el exponente x de b para obtener n: La base tiene que ser positiva y distinta de 1. Cuando la base es 10, esta no se pone, y se escribe como y cuando es se escribe como Así, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 10 al cubo vale 1000: De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos o logaritmación es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo. Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base, y después el número cuyo logaritmo se desea hallar o expresar. Por ejemplo, 35=243, luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir. Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos y fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho, importante en sí mismo —por identidades logarítmicas—, de que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores: La noción actual de los logaritmos proviene de Leonhard Euler, quien los conectó con la función exponencial en el siglo XVIII y también introdujo el Número de Euler (representado por la letra e) como base de los logaritmos naturales. (es) En mathématiques, le logarithme de base b d'un nombre réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base b pour obtenir ce nombre. Dans le cas le plus simple, le logarithme compte le nombre d'occurrences du même facteur dans une multiplication répétée : par exemple, comme 1000 = 10×10×10 = 103, le logarithme en base 10 de 1000 est 3. Le logarithme de x en base b est noté logb(x). Ainsi log10(1000) = 3. John Napier a développé les logarithmes au début du XVIIe siècle. Pendant trois siècles, la table de logarithmes et la règle à calcul ont servi pour le calcul numérique, jusqu'à leur remplacement, à la fin du XXe siècle, par des calculatrices. Trois logarithmes sont remarquables : * Le logarithme naturel (ou népérien), souvent noté ln, qui utilise le nombre e comme base, est fondamental en analyse mathématique car il est la primitive de la fonction s’annulant en 1 et la fonction réciproque de la fonction exponentielle ; * Le logarithme décimal, qui utilise la base dix, était le plus communément utilisé pour les calculs ; * Le logarithme binaire, qui utilise 2 comme base, est utile en informatique théorique et pour certains calculs appliqués. (fr) Cumhacht n ar gá uimhir a a ardú chun a bheith cothrom le huimhir eile, b. Is é sin, is é logartam b don bhun a ná an = b → loga b = n. Mar shampla, de bhrí gur 102 = 100, log10 100 = 2. Ón sainmhíniú seo, is léir gur inbhéarta ar an bhfeidhm easpónantúil an fheidhm logartamach. Is féidir airíonna na feidhme logartamaí a dhíorthú ó dhlí na séan. Ina measc tá log (a b) = log a + log b, agus log (a/b) = log a–log b. Bunaithe ar na hairíonna seo, baineadh úsáid fhorleathan as logartaim chun áireamh a dhéanamh roimh theacht chun cinn na ríomhairí. Tugtar logartaim nádúrtha nó logartaim Napier ar logartaim ar bhonn e, agus úsáidtear an tsiombail ln dóibh. Úsáidtear an tsiombail lg do logartaim ar bhonn 10. (ga) Dalam matematika, logaritma adalah fungsi invers dari eksponensiasi. Dengan kata lain, logaritma dari x adalah eksponen dengan bilangan pokok b yang dipangkatkan dengan bilangan konstan lain agar memperoleh nilai x. Kasus sederhana dalam logaritma adalah menghitung jumlah munculnya faktor yang sama dalam perkalian berulang. Sebagai contoh, 1000 = 10 × 10 × 10 = 103 dibaca, "logaritma 1000 dengan bilangan pokok 10 sama dengan 3" atau dinotasikan sebagai 10log (1000) = 3. Logaritma dari x dengan bilangan pokok b dilambangkan blog x. Terkadang logaritma dilambangkan sebagai logb (x) atau tanpa menggunakan tanda kurung, logb x, atau bahkan tanpa menggunakan bilangan pokok khusus, log x. Ada tiga bilangan pokok logaritma yang umum beserta kegunaannya. Logaritma dengan bilangan pokok 10 (b = 10) disebut sebagai logaritma umum, yang biasanya dipakai dalam ilmu sains dan rekayasa. Logaritma dengan dengan bilangan pokok bilangan e (b ≈ 2.718) disebut sebagai logaritma alami, yang dipakai dengan luas dalam matematika dan fisika, karena dapat mempermudah perhitungan integral dan turunan. Logaritma dengan bilangan pokok 2 (b = 2) disebut sebagai logaritma biner, yang seringkali dipakai dalam ilmu komputer. Logaritma diperkenalkan oleh John Napier pada tahun 1614 sebagai alat yang menyederhanakan perhitungan. Logaritma dipakai lebih cepat dalam navigator, ilmu sains, rekayasa, ilmu ukur wilayah, dan bidang lainnya untuk lebih mempermudah perhitungan nilai yang sangat akurat. Dengan menggunakan tabel logaritma, cara yang membosankan seperti mengalikan digit yang banyak dapat digantikan dengan melihat tabel dan penjumlahan yang lebih mudah. Ini dapat dilakukan karena logaritma dari hasil kali bilangan merupakan logaritma dari jumlah faktor bilangan: asalkan bahwa b, x dan y bilangan positif dan b ≠ 1. Mistar hitung yang juga berasal dari logaritma dapat mempermudah perhitungan tanpa menggunakan tabel, namun perhitungannya kurang akurat. Leonhard Euler mengaitkan gagasan logaritma saat ini dengan fungsi eksponensial pada abad ke-18, dan juga memperkenalkan huruf e sebagai bilangan pokok dari logaritma alami. Penerapan skala logaritmik dipakai dalam mengurangi kuantitas yang sangat besar menjadi lebih kecil. Sebagai contoh, desibel (dB) adalah satuan yang digunakan untuk menyatakan , sebagian besar untuk kekuatan sinyal dan amplitudo (contoh umumnya pada tekanan suara). Dalam kimia, pH mengukur keasaman dari larutan berair melalui logaritma. Logaritma umumnya dipakai dalam rumus ilmiah, dalam pengukuran dan objek geometris yang disebut sebagai fraktal. Logaritma juga membantu untuk menjelaskan frekuensi rasio interval musik, ditemukan di rumus yang menghitung bilangan prima atau faktorial, memberikan gambaran dalam psikofisika, dan dapat membantu perhitungan akuntansi forensik. Konsep logaritma sebagai invers dari eksponensiasi juga memperluas ke struktur matematika lain. Namun pada umumnya, logaritma cenderung merupakan fungsi bernilai banyak. Sebagai contoh, merupakan invers dari fungsi eksponensial pada bilangan kompleks. Mirip dengan contoh sebelumnya, logaritma diskret dalam grup hingga, merupakan invers fungsi eksponensial bernilai banyak yang memiliki kegunaan dalam kriptografi kunci publik. (in) In matematica, il logaritmo di un numero in una data base è l'esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso. In generale, se , allora è il logaritmo in base di , cioè, scritto in notazione matematica, Per esempio, il logaritmo in base di è , poiché bisogna elevare alla terza potenza per ottenere , ovvero . Facendo riferimento alla succitata formula, avremo , e . I logaritmi furono introdotti da Nepero all'inizio del 1600, e trovarono subito applicazione nelle scienze e nell'ingegneria, soprattutto come strumento per semplificare calcoli con numeri molto grandi, grazie all'introduzione di tavole di logaritmi. La funzione (logaritmo in base di ) è la funzione inversa della funzione esponenziale in base data da È di importanza fondamentale il logaritmo naturale, cioè il logaritmo che ha come base il numero di Nepero, indicato con Il logaritmo naturale è l'inverso della funzione esponenziale (it) 로그(log)는 지수 함수의 역함수이다. 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱하여야 하는지를 나타낸다고 볼 수 있다. 이른 17세기에 곱하기 및 나누기의 계산을 간편하게 해내기 위해 존 네이피어가 발명한 것으로 알려져 있다. 복잡한 단위의 계산을 간편하게 계산할 수 있다는 장점 때문에, 로그표 및 계산자 등의 발명품과 함께 세계적으로 여러 분야의 학자들에게 널리 퍼졌다. 지수에 대비된다는 의미에서 중국과 일본에서는 대수(對數)로 부르기도 하나, 대수(代數, algebra)와 헷갈리기 쉬우므로 로그라는 용어를 사용하는 것이 일반적이다. (ko) De logaritme van een getal is de exponent waartoe een vast getal, het zogenaamde grondtal, moet worden verheven om dat eerste getal als resultaat te verkrijgen. Voor het grondtal 10 is de logaritme van 1000 bijvoorbeeld gelijk aan 3, omdat 1000 gelijk is aan 10 tot de macht 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Meer in het algemeen geldt dat als , het getal de logaritme van is voor het grondtal . Dit wordt geschreven als of, minder gangbaar, als . Zo is bijvoorbeeld . De logaritme is rond 1600 bedacht om makkelijk getallen te vermenigvuldigen en te delen. Met behulp van logaritmen kan vermenigvuldiging vervangen worden door optelling, wat eenvoudiger en minder foutgevoelig is. (nl) 対数（たいすう、英: logarithm）とは、ある数 x を数 b の冪乗 bp として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x の対数（英: logarithm of x to base b; base b logarithm of x）」と呼ばれ、通常は logb x と書き表される。また、対数 logb x に対する x は（しんすう、英: antilogarithm）と呼ばれる。数 x に対応する対数を与える関数を考えることができ、そのような関数を対数関数と呼ぶ。対数関数は通常 log と表される。 通常の対数 logb x は真数 x, 底 b を実数として定義されるが、実数の対数からの類推により、複素数や行列などの様々な数に対してその対数が定義されている。 実数の対数 logb x は、底 b が 1 でない正数であり (b ≠ 1, b > 0)、真数 x が正数である場合 (x > 0) について定義される。 これらの条件を満たす対数は、ある x と b の組に対してただ一つに定まる。 実数の対数関数 logb x は底 b に対する指数関数 bx の逆関数である。この性質はしばしば対数関数の定義として用いられるが、歴史的には対数の出現の方が指数関数よりも先である。 (ja) Logarytm (łac. [now.] logarithmus – stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb liczba oznaczana będąca rozwiązaniem równania Liczba nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę aby otrzymać liczbę logarytmowaną . Przykłady gdyż gdyż Logarytmy zostały wynalezione w XVI w., były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Twórcami logarytmów byli matematyk szkocki J. Neper i matematyk angielski H. Briggs. Pozwalały zastąpić mnożenia, dzielenie, pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną. Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza. Logarytm przy ustalonej podstawie pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną następująco: (pl) Na matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número. Por exemplo, o logaritmo de 1 000 na base 10 é 3 porque 10 elevado ao cubo é 1 000 (1 000 = 10 × 10 × 10 = 103). De maneira geral, para quaisquer dois números reais b e x, onde b é positivo e b ≠ 1, . O logaritmo da base 10 (b = 10) é chamado de logaritmo comum (ou decimal) e tem diversas aplicações na ciência e engenharia. O logaritmo natural (ou neperiano) tem a constante irracional e (≈ 2,718) como base e é utilizado na matemática pura, principalmente em cálculo diferencial. Ainda há o logaritmo binário, no qual se usa base 2 (b = 2), que é importante para a ciência da computação. O conceito de logaritmo foi introduzido por John Napier no ano de 1614, a fim de simplificar cálculos, daí a nomenclatura logaritmo neperiano. Ele foi rapidamente adotado por navegadores, cientistas, engenheiros e outros profissionais para facilitar seus cálculos, através do uso de réguas de cálculo e tabelas logarítmicas. Algumas etapas tediosas da multiplicação com vários dígitos podem ser substituídas por consultas a tabelas ou por somas mais simples devido ao fato de o logaritmo de um produto ser o somatório dos logaritmos dos fatores: desde que b, x e y sejam positivos e b ≠ 1. A atual noção de logaritmo advém de Leonhard Euler, que o relacionou com a função exponencial no século XVIII. As escalas logarítmicas permitem reduzir grandezas de elevada amplitude para valores menores. Por exemplo, o decibel é uma unidade logarítmica que indica a proporção de uma quantidade física (geralmente energia ou intensidade) em relação a um nível de referência, isto é, estabelece uma razão entre a quantificação da energia liberada e a amplitude. Em química, o potencial hidrogeniônico (pH) mede a acidez e a alcalinidade de soluções aquosas. Os logaritmos ainda são comuns em fórmulas científicas, na teoria da complexidade computacional e de figuras geométricas chamadas fractais. Eles descrevem intervalos musicais, aparecem em fórmulas que contam os números primos, informam vários modelos da psicofísica e podem auxiliar na perícia contábil. Do mesmo modo como o logaritmo é o inverso da exponenciação, o logaritmo complexo é a função inversa da função exponencial aplicada a números complexos. O logaritmo discreto é outra variante; ele é utilizado na criptografia assimétrica. (pt) Логари́фм, або логари́тм, (від грец. λόγος — «слово», і грец. ἀριθμός — «число») — число (показник степеня, степінь), яке показує, до якого степеня слід піднести число (основу), щоб одержати число . Основна логарифмічна тотожність: або , де , та . Логарифми ввів Джон Непер на початку XVII століття як засіб спрощення розрахунків. Їх швидко почали застосовувати науковці та інженери для пришвидшення виконання обчислень із застосуванням логарифмічних лінійок і таблиць логарифмів. Логарифм дозволяє прискорити множення багатозначних чисел шляхом складання їхніх логарифмів. Наприклад, візьмімо два числа, які потрібно помножити: і . За допомогою таблиці логарифмів подивімося, що за основою ці числа мають логарифми (степені) і відповідно. Тобто, i . Таким чином, . Виходить, що логарифмом добутку чисел і , за основою , є число . З таблиці логарифмів легко знайти результат . Сучасне означення логарифмів увів Леонард Ейлер, який у XVIII столітті пов'язав їх з показниковою функцією. (uk) Logaritmen är inom matematiken den inversa funktionen till exponentiering. Logaritmen för ett tal a är den exponent x till vilket ett givet tal, med basen b, måste upphöjas för att anta värdet a: Logaritmer kan vara ett hjälpmedel, i synnerhet vid manuella beräkningar med stora antal av tal, genom att multiplikationer och divisioner kan omvandlas till additioner respektive subtraktioner. Logaritmernas uppfinnare anses vara skotten John Napier (1600-talet). (sv) Логари́фм числа по основанию (от др.-греч. λόγος, «отношение» + ἀριθμός «число») определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Обозначение: , произносится: «логарифм по основанию ». Из определения следует, что нахождение равносильно решению уравнения . Например, , потому что . Вычисление логарифма называется логарифми́рованием. Числа чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов. Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь». Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры. Со временем выяснилось, что логарифмическая функция незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т. д. Эта функция относится к числу элементарных, она обратна по отношению к показательной функции. Чаще всего используются вещественные логарифмы с основаниями (двоичный), число Эйлера e (натуральный) и (десятичный логарифм). (ru) 在数学中，對數（英語：Logarithm）是冪運算的逆運算。 (zh)
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dbp:title Logarithmic function (en) Derivation of the conversion factor between logarithms of arbitrary base (en)
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rdfs:comment Logaritmus kladného reálného čísla při základu je takové reálné číslo , pro které platí . V tomto vztahu se číslo a označuje jako základ logaritmu (báze), logaritmované číslo x se někdy označuje jako argument či numerus, y je pak logaritmem čísla x při základu a. Zvláštní význam mají logaritmy o základu 10 (dekadický logaritmus, zkráceně log nebo lg) a o základu e (Eulerovo číslo, přirozený logaritmus, zkráceně ln nebo log). Graf logaritmické funkce o základu eGraf logaritmické funkce o základu 10 Logaritmická funkce je matematická funkce, která je inverzní k exponenciální funkci. (cs) La logaritmo aŭ logaritma funkcio estas de la eksponenta funkcio. La funkcio estas markita per la literoj . Ĉi tiu agado trovas la potencon kiam estas donitaj la bazon kaj rezulton; tio estas, ĝi respondas la demandon "Kiome ni bezonos eksponenciale levi donitan nombron por akiri alian donitan nombron?". La logaritmo de a laŭ bazo b estas skribita . (eo) Cumhacht n ar gá uimhir a a ardú chun a bheith cothrom le huimhir eile, b. Is é sin, is é logartam b don bhun a ná an = b → loga b = n. Mar shampla, de bhrí gur 102 = 100, log10 100 = 2. Ón sainmhíniú seo, is léir gur inbhéarta ar an bhfeidhm easpónantúil an fheidhm logartamach. Is féidir airíonna na feidhme logartamaí a dhíorthú ó dhlí na séan. Ina measc tá log (a b) = log a + log b, agus log (a/b) = log a–log b. Bunaithe ar na hairíonna seo, baineadh úsáid fhorleathan as logartaim chun áireamh a dhéanamh roimh theacht chun cinn na ríomhairí. Tugtar logartaim nádúrtha nó logartaim Napier ar logartaim ar bhonn e, agus úsáidtear an tsiombail ln dóibh. Úsáidtear an tsiombail lg do logartaim ar bhonn 10. (ga) 로그(log)는 지수 함수의 역함수이다. 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱하여야 하는지를 나타낸다고 볼 수 있다. 이른 17세기에 곱하기 및 나누기의 계산을 간편하게 해내기 위해 존 네이피어가 발명한 것으로 알려져 있다. 복잡한 단위의 계산을 간편하게 계산할 수 있다는 장점 때문에, 로그표 및 계산자 등의 발명품과 함께 세계적으로 여러 분야의 학자들에게 널리 퍼졌다. 지수에 대비된다는 의미에서 중국과 일본에서는 대수(對數)로 부르기도 하나, 대수(代數, algebra)와 헷갈리기 쉬우므로 로그라는 용어를 사용하는 것이 일반적이다. (ko) De logaritme van een getal is de exponent waartoe een vast getal, het zogenaamde grondtal, moet worden verheven om dat eerste getal als resultaat te verkrijgen. Voor het grondtal 10 is de logaritme van 1000 bijvoorbeeld gelijk aan 3, omdat 1000 gelijk is aan 10 tot de macht 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Meer in het algemeen geldt dat als , het getal de logaritme van is voor het grondtal . Dit wordt geschreven als of, minder gangbaar, als . Zo is bijvoorbeeld . De logaritme is rond 1600 bedacht om makkelijk getallen te vermenigvuldigen en te delen. Met behulp van logaritmen kan vermenigvuldiging vervangen worden door optelling, wat eenvoudiger en minder foutgevoelig is. (nl) 対数（たいすう、英: logarithm）とは、ある数 x を数 b の冪乗 bp として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x の対数（英: logarithm of x to base b; base b logarithm of x）」と呼ばれ、通常は logb x と書き表される。また、対数 logb x に対する x は（しんすう、英: antilogarithm）と呼ばれる。数 x に対応する対数を与える関数を考えることができ、そのような関数を対数関数と呼ぶ。対数関数は通常 log と表される。 通常の対数 logb x は真数 x, 底 b を実数として定義されるが、実数の対数からの類推により、複素数や行列などの様々な数に対してその対数が定義されている。 実数の対数 logb x は、底 b が 1 でない正数であり (b ≠ 1, b > 0)、真数 x が正数である場合 (x > 0) について定義される。 これらの条件を満たす対数は、ある x と b の組に対してただ一つに定まる。 実数の対数関数 logb x は底 b に対する指数関数 bx の逆関数である。この性質はしばしば対数関数の定義として用いられるが、歴史的には対数の出現の方が指数関数よりも先である。 (ja) Logaritmen är inom matematiken den inversa funktionen till exponentiering. Logaritmen för ett tal a är den exponent x till vilket ett givet tal, med basen b, måste upphöjas för att anta värdet a: Logaritmer kan vara ett hjälpmedel, i synnerhet vid manuella beräkningar med stora antal av tal, genom att multiplikationer och divisioner kan omvandlas till additioner respektive subtraktioner. Logaritmernas uppfinnare anses vara skotten John Napier (1600-talet). (sv) 在数学中，對數（英語：Logarithm）是冪運算的逆運算。 (zh) في الرياضيات، الأَسِيْس أو اللوغاريثم أو اللوغاريتم (بالإنجليزية: logarithm)‏ هي الدالة العكسية للدوال الأسية ويُعرَّف لوغاريتم عدد ما بالنسبة لأساس ما، بأنه الأس المرفوع على الأساس والذي سينتج ذلك العدد. فعلى سبيل المثال فلوغاريتم 1000 بالنسبة للأساس 10 هو 3 لأن 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. وعموما، يمكن القول أنه إذا كان x = by فإن لوغاريتم x بالنسبة للأساس b هو y يعبر عن ذلك رياضياً بالعلاقة: logb x=y وبالرجوع إلى المثال يصبح: log10(1000) = 3. قام ليونهارت أويلر في القرن الثامن عشر بربط مفهوم اللوغاريتمات بمفهوم التابع الأسي ليتوسع مفهوم اللوغاريتمات ويرتبط بالتوابع. (ar) El logaritme d'un nombre en una certa base és l'exponent al qual cal elevar aquesta base per obtenir el nombre donat. Per exemple, el logaritme de 1000 en base 10 és 3, perquè 1000 és 10 elevat a 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. D'una manera més general, si x = by llavors y és el logaritme de x en base b, el qual s'escriu y = logb(x) o y = logb(by) i per tant log10(1000) = log10(103) = 3. La notació actual dels logaritmes prové de Leonhard Euler, qui els relacionà amb la funció exponencial al segle xviii. (ca) Als Logarithmus (Plural: Logarithmen; von altgriechisch λόγος lógos, „Verständnis, Lehre, Verhältnis“, und ἀριθμός, arithmós, „Zahl“) einer Zahl bezeichnet man den Exponenten, mit dem eine vorher festgelegte Zahl, die Basis, potenziert werden muss, um die gegebene Zahl, den Numerus, zu erhalten. Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert, auch die Basis muss positiv sein. (de) Λογάριθμος (με βαση α) ενός θετικού αριθμού θ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψωθεί ένας δεδομένος αριθμός α , που λέγεται βάση, ώστε να πάρουμε αποτέλεσμα τον Θ. Για τη βάση α ισχύει ότι 0<α<1 ή α>1. Για παράδειγμα ο λογάριθμος του 1000 με βάση το 10 είναι 3, επειδή το 1000 ισούται με 10 υψωμένο εις την 3:1000 = 103 = 10 × 10 × 10. Πιο γενικά, αν x = by τότε το y είναι ο λογάριθμος του x με βάση το b, και γράφεται logb(x), έτσι log10(1000) = 3. Η σημερινή έννοια των λογαρίθμων προέρχεται από τον Λέοναρντ Όιλερ, ο οποίος τους συνέδεσε με την εκθετική συνάρτηση τον 18ο αιώνα. (el) Analisi matematikoan, zenbaki erreal positibo baten logaritmoa (logaritmoaren oinarri jakin batean) zenbaki bat da zeinarekin oinarria berretzen baita zenbaki erreal positibo hori lortzeko. Adibidez, 1000 zenbakiaren logaritmo hamartarra (10 oinarria duen logaritmoa) 3 da, , . Kenketa batuketaren eta zatiketa biderketaren kontrako eragiketak diren moduan, logaritmoa bere oinarriaren berreketaren aurkako eragiketa da. Logaritmoaren egungo ideia Leonhard Euler-i dagokio, funtzio esponentzialarekin erlazionatu baitzuen XVIII. mendean. (eu) En análisis matemático el logaritmo en base b de un número real positivo n, es el exponente x de b para obtener n: La base tiene que ser positiva y distinta de 1. Cuando la base es 10, esta no se pone, y se escribe como y cuando es se escribe como Así, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 10 al cubo vale 1000: De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos o logaritmación es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo. (es) In mathematics, the logarithm is the inverse function to exponentiation. That means the logarithm of a number x to the base b is the exponent to which b must be raised, to produce x. For example, since 1000 = 103, the logarithm base 10 of 1000 is 3, or log10 (1000) = 3. The logarithm of x to base b is denoted as logb (x), or without parentheses, logb x, or even without the explicit base, log x, when no confusion is possible, or when the base does not matter such as in big O notation. (en) Dalam matematika, logaritma adalah fungsi invers dari eksponensiasi. Dengan kata lain, logaritma dari x adalah eksponen dengan bilangan pokok b yang dipangkatkan dengan bilangan konstan lain agar memperoleh nilai x. Kasus sederhana dalam logaritma adalah menghitung jumlah munculnya faktor yang sama dalam perkalian berulang. Sebagai contoh, 1000 = 10 × 10 × 10 = 103 dibaca, "logaritma 1000 dengan bilangan pokok 10 sama dengan 3" atau dinotasikan sebagai 10log (1000) = 3. Logaritma dari x dengan bilangan pokok b dilambangkan blog x. Terkadang logaritma dilambangkan sebagai logb (x) atau tanpa menggunakan tanda kurung, logb x, atau bahkan tanpa menggunakan bilangan pokok khusus, log x. (in) En mathématiques, le logarithme de base b d'un nombre réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base b pour obtenir ce nombre. Dans le cas le plus simple, le logarithme compte le nombre d'occurrences du même facteur dans une multiplication répétée : par exemple, comme 1000 = 10×10×10 = 103, le logarithme en base 10 de 1000 est 3. Le logarithme de x en base b est noté logb(x). Ainsi log10(1000) = 3. Trois logarithmes sont remarquables : (fr) In matematica, il logaritmo di un numero in una data base è l'esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso. In generale, se , allora è il logaritmo in base di , cioè, scritto in notazione matematica, Per esempio, il logaritmo in base di è , poiché bisogna elevare alla terza potenza per ottenere , ovvero . Facendo riferimento alla succitata formula, avremo , e . La funzione (logaritmo in base di ) è la funzione inversa della funzione esponenziale in base data da (it) Logarytm (łac. [now.] logarithmus – stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb liczba oznaczana będąca rozwiązaniem równania Liczba nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę aby otrzymać liczbę logarytmowaną . Przykłady gdyż gdyż Logarytm przy ustalonej podstawie pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną następująco: (pl) Na matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número. Por exemplo, o logaritmo de 1 000 na base 10 é 3 porque 10 elevado ao cubo é 1 000 (1 000 = 10 × 10 × 10 = 103). De maneira geral, para quaisquer dois números reais b e x, onde b é positivo e b ≠ 1, . desde que b, x e y sejam positivos e b ≠ 1. (pt) Логари́фм числа по основанию (от др.-греч. λόγος, «отношение» + ἀριθμός «число») определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Обозначение: , произносится: «логарифм по основанию ». Из определения следует, что нахождение равносильно решению уравнения . Например, , потому что . Вычисление логарифма называется логарифми́рованием. Числа чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов. (ru) Логари́фм, або логари́тм, (від грец. λόγος — «слово», і грец. ἀριθμός — «число») — число (показник степеня, степінь), яке показує, до якого степеня слід піднести число (основу), щоб одержати число . Основна логарифмічна тотожність: або , де , та . Сучасне означення логарифмів увів Леонард Ейлер, який у XVIII столітті пов'язав їх з показниковою функцією. (uk)
rdfs:label لوغاريتم (ar) Logaritme (ca) Logaritmus (cs) Logarithmus (de) Λογάριθμος (el) Logaritmo (eo) Logaritmo (es) Logaritmo (eu) Logartam (ga) Logaritma (in) Logarithme (fr) Logaritmo (it) Logarithm (en) 로그 (수학) (ko) 対数 (ja) Logaritme (nl) Logarytm (pl) Logaritmo (pt) Логарифм (ru) Logaritm (sv) 对数 (zh) Логарифм (uk)
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