Closed-subgroup theorem (original) (raw)
In mathematics, the closed-subgroup theorem (sometimes referred to as Cartan's theorem) is a theorem in the theory of Lie groups. It states that if H is a closed subgroup of a Lie group G, then H is an embedded Lie group with the smooth structure (and hence the group topology) agreeing with the embedding.One of several results known as Cartan's theorem, it was first published in 1930 by Élie Cartan, who was inspired by John von Neumann's 1929 proof of a special case for groups of linear transformations.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In mathematics, the closed-subgroup theorem (sometimes referred to as Cartan's theorem) is a theorem in the theory of Lie groups. It states that if H is a closed subgroup of a Lie group G, then H is an embedded Lie group with the smooth structure (and hence the group topology) agreeing with the embedding.One of several results known as Cartan's theorem, it was first published in 1930 by Élie Cartan, who was inspired by John von Neumann's 1929 proof of a special case for groups of linear transformations. (en) In der Mathematik besagt der Satz von Cartan, in der englischsprachigen Literatur auch als Closed Subgroup Theorem bezeichnet, dass abgeschlossene Untergruppen einer Lie-Gruppe eingebettete Untermannigfaltigkeiten und insbesondere Unter-Lie-Gruppen sind. Er wurde 1930 von Élie Cartan und für Matrixgruppen bereits 1929 von John von Neumann bewiesen. Er ist von Bedeutung für die Klassifikation linearer Gruppen und für die Konstruktion homogener Räume. (de) Теорема про замкнуті підгрупи — твердження у теорії груп Лі про те, що кожна замкнута підгрупа групи Лі є вкладеною підгрупою Лі (тобто вона успадковує свою топологічну і диференційовну структуру із основної групи). У твердженні теореми вимагається лише щоб підгрупа була також замкнутою множиною і на основі лише цього факту доводиться, що дана група також є вкладеним підмноговидом і відповідно вкладеною підгрупою Лі. Оскільки підгрупа Лі є вкладеною тоді і тільки тоді коли вона є замкнутою то звідси одержується, що (абстрактна) підгрупа є вкладеною підгрупою Лі тоді і тільки тоді коли вона є замкненою підмножиною. Значення теореми полягає в тому, що вона дає змогу знайти багато прикладів груп Лі і для доведення їх приналежності до цих груп достатньо довести їх замкнутість у деяких підгрупах Лі, що часто є відносно просто. Наприклад спеціальні лінійні групи чи ортогональні групи є замкнутими підгрупами загальних лінійних груп. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Torus.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://books.google.com/books%3Fid=EUIBUzD75UAC&pg=PA80 http://www.nasonline.org/publications/biographical-memoirs/memoir-pdfs/von-neumann-john.pdf |
| dbo:wikiPageID | 43311177 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 23291 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1118070079 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Pushforward_(differential) dbr:Quaternion dbr:Homogeneous_space dbr:John_von_Neumann dbr:Relative_topology dbr:Vector_field dbr:Inverse_function_theorem dbr:Lie_group dbr:Compact_space dbr:Countable_set dbr:Math dbr:Mathematics dbr:Mathematische_Zeitschrift dbr:Smooth_structure dbr:Classical_group dbr:Theorem dbr:Lie_algebra dbr:Submersion_(mathematics) dbr:Dense_set dbr:Élie_Cartan dbr:Embedding dbc:Theorems_in_group_theory dbr:Topological_group dbr:Torus dbr:Linear_map dbc:Lie_groups dbr:Cartan's_theorem_(disambiguation) dbr:Direct_sum dbr:File:JohnvonNeumann-LosAlamos.gif dbr:Irrational_winding_of_a_torus dbr:Matrix_group dbr:Homeomorphism dbr:Injective_function dbr:Inner_product dbr:Neighborhood_basis dbr:Orthogonal_complement dbr:Subspace_topology dbr:Transitive_group_action dbr:Simply_connected dbr:Lie_correspondence dbr:Lie_group_theory dbr:One-parameter_subgroup dbr:Slice_chart dbr:Slice_coordinate_system dbr:Real-analytic dbr:Real-analytic_manifold dbr:Closed_subgroup dbr:Exponential_coordinates dbr:Hilbert–Schmidt_inner_product dbr:Isotropy_group dbr:Locally_path_connected dbr:File:Torus.png |
| dbp:mathStatement | If is a closed Lie subgroup, then , the left coset space, has a unique real-analytic manifold structure such that the quotient map is an analytic submersion. The left action given by turns into a homogeneous -space. (en) Take a small neighborhood of the origin in such that the exponential map sends diffeomorphically onto some neighborhood of the identity in , and let be the inverse of the exponential map. Then there is some smaller neighborhood such that if belongs to , then belongs to . (en) |
| dbp:name | Lemma (en) The homogeneous space construction theorem (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:! dbt:!! dbt:= dbt:Big dbt:Citation dbt:Frac dbt:Math dbt:Reflist dbt:Sfrac dbt:Mset dbt:Math_theorem dbt:Lie_groups |
| dct:subject | dbc:Theorems_in_group_theory dbc:Lie_groups |
| rdfs:comment | In mathematics, the closed-subgroup theorem (sometimes referred to as Cartan's theorem) is a theorem in the theory of Lie groups. It states that if H is a closed subgroup of a Lie group G, then H is an embedded Lie group with the smooth structure (and hence the group topology) agreeing with the embedding.One of several results known as Cartan's theorem, it was first published in 1930 by Élie Cartan, who was inspired by John von Neumann's 1929 proof of a special case for groups of linear transformations. (en) In der Mathematik besagt der Satz von Cartan, in der englischsprachigen Literatur auch als Closed Subgroup Theorem bezeichnet, dass abgeschlossene Untergruppen einer Lie-Gruppe eingebettete Untermannigfaltigkeiten und insbesondere Unter-Lie-Gruppen sind. Er wurde 1930 von Élie Cartan und für Matrixgruppen bereits 1929 von John von Neumann bewiesen. Er ist von Bedeutung für die Klassifikation linearer Gruppen und für die Konstruktion homogener Räume. (de) Теорема про замкнуті підгрупи — твердження у теорії груп Лі про те, що кожна замкнута підгрупа групи Лі є вкладеною підгрупою Лі (тобто вона успадковує свою топологічну і диференційовну структуру із основної групи). У твердженні теореми вимагається лише щоб підгрупа була також замкнутою множиною і на основі лише цього факту доводиться, що дана група також є вкладеним підмноговидом і відповідно вкладеною підгрупою Лі. (uk) |
| rdfs:label | Satz von Cartan (Lie-Gruppen) (de) Closed-subgroup theorem (en) Теорема про замкнуті підгрупи (uk) |
| owl:sameAs | wikidata:Closed-subgroup theorem dbpedia-de:Closed-subgroup theorem dbpedia-uk:Closed-subgroup theorem https://global.dbpedia.org/id/m6Fc |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Closed-subgroup_theorem?oldid=1118070079&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/JohnvonNeumann-LosAlamos.gif wiki-commons:Special:FilePath/Torus.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Closed-subgroup_theorem |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Closed_subgroup_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:John_von_Neumann dbr:List_of_Occitans dbr:Compact_group dbr:Closed_subgroup_theorem dbr:Cartan's_theorem dbr:Exponential_map_(Lie_theory) dbr:List_of_things_named_after_Élie_Cartan |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Closed-subgroup_theorem |
