One-parameter group (original) (raw)
In der Theorie topologischer Gruppen ist eine Einparameter-Untergruppe ein stetiger Gruppenhomomorphismus aus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe. Das Bild einer Einparameter-Untergruppe ist eine Untergruppe im gruppentheoretischen Sinne.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In der Theorie topologischer Gruppen ist eine Einparameter-Untergruppe ein stetiger Gruppenhomomorphismus aus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe. Das Bild einer Einparameter-Untergruppe ist eine Untergruppe im gruppentheoretischen Sinne. (de) En matemáticas, un grupo uniparamétrico o subgrupo uniparamétrico es un subconjunto de un grupo de Lie de dimensión uno. De hecho un grupo uniparamétrico puede ser representado por una colección de "operadores" o elementos de un grupo , que vienen dados por un homomorfismo local de grupo continuo , de la recta real , considerada como grupo aditivo) a otro grupo topológico G. Un homomorfismo local como el anterior se define por las siguientes condiciones: 1. * 2. * (es) Un sous-groupe à un paramètre d'un groupe de Lie réel G est un morphisme de groupes de Lie c : ℝ → G. Plus explicitement, c est une application différentiable vérifiant : . (fr) In mathematics, a one-parameter group or one-parameter subgroup usually means a continuous group homomorphism from the real line (as an additive group) to some other topological group . If is injective then , the image, will be a subgroup of that is isomorphic to as an additive group. One-parameter groups were introduced by Sophus Lie in 1893 to define infinitesimal transformations. According to Lie, an infinitesimal transformation is an infinitely small transformation of the one-parameter group that it generates. It is these infinitesimal transformations that generate a Lie algebra that is used to describe a Lie group of any dimension. The action of a one-parameter group on a set is known as a flow. A smooth vector field on a manifold, at a point, induces a local flow - a one parameter group of local diffeomorphisms, sending points along integral curves of the vector field. The local flow of a vector field is used to define the Lie derivative of tensor fields along the vector field. (en) Означення однопараметричної групи або однопараметричної підгрупи пов'язано з неперервним гомоморфізмом групи з дійсної прямої (як адитивної групи) в деяку топологічну групу . Якщо є ін'єкцією, то , образ, буде підгрупою , ізоморфною . Однопараметричні групи були введені Софусом Лі в 1893 році для означення нескінченно малих перетворень. Такі нескінченно малі перетворення створюють алгебру Лі, яка використовується для опису групи Лі довільної розмірності. Дія однопараметричної групи на множину відома як потік. Гладке векторне поле на многовиді створює місцевий потік — однопараметричну групу локальних дифеоморфізмів, які переміщують точки вздовж інтегральних кривих векторного поля. Локальний потік векторного поля застосовується для визначення похідної Лі для тензорних полів уздовж векторного поля. (uk) 在数学中，一个单参数群（one-parameter group）或称单参数子群（one-parameter subgroup）通常表示从实数 R（作为加法群）到另一个拓扑群 G 的一个连续群同态 φ : R → G. 这意味着它严格说来其实不是一个群；如果 φ 是单射，则其像 φ(R) 是 G 的一个同构于加法群 R 的子群。这就是说，我们只知道 φ (s + t) = φ(s)φ(t) 其中 s, t 是群在 G 中的参数。我们可能有 φ(s) = e, G 中的单位元， 对某个 s ≠ 0 成立。譬如 G 是单位圆是这可能发生，且 φ(s) = eis. 在这种情形，φ 的核由 2π 乘以整数组成。 一个单参数群在一个集合上的作用称为流。 一个技术复杂性在于 φ(R) 作为 G 的子空间的拓扑可能比 R 上的要；这在 φ 是单射时可能发生。譬如考虑当 G 是一个环面 T，φ 是沿着一个无理斜率缠绕的直线。 所以一个单参数群或单参数子群需区别于一个群或一个子群自身，有三个原因： 1. * 它有一个确定的， 2. * 群同态可能不是单射， 3. * 诱导拓扑可能不是实线上的标准拓扑。 这样的单参数群在李群理论具有基本重要性，其中相伴的李代数中每一个元素定义了这样一个同态，指数映射。在矩阵群的情形，它由矩阵指数给出。 另一个重要情形出现于泛函分析，G 是一个希尔伯特空间中的酉算子。参见。 鲍尔·科恩（Paul Cohn）在其1957年专题论文《李群》中58页，给出如下定理： 任何连通一维李群解析同构于实数加法群 或实数模 1 加法群 。特别地，任何一位李群局部同构于 R。 (zh) Определение однопараметрической группы (англ. One-parameter group) или однопараметрической подгруппы связано с непрерывным гомоморфизмом группы с вещественной прямой (как аддитивной группы) в некоторую топологическую группу . Если является инъекцией, то , образ, будет подгруппой , изоморфной . Однопараметрические группы были введены Софусом Ли в 1893 году для определения бесконечно малых преобразований. Такие бесконечно малые преобразования создают алгебру Ли, используемую для описания группы Ли произвольной размерности. Действие однопараметрической группы на множество известно как . Гладкое векторное поле на многообразии создаёт местный поток — однопараметрическую группу локальных диффеоморфизмов, перемещающих точки вдоль интегральных кривых векторного поля. Локальный поток векторного поля применяется для определения производной Ли для тензорных полей вдоль векторного поля. (ru) |
| dbo:wikiPageID | 754851 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 6522 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 965737716 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Derivative dbr:Alfred_Robb dbr:Hyperbolic_angle dbr:Unitary_operator dbr:Versor dbr:Infinitesimal_transformation dbr:Integral_curve dbr:Lie_derivative dbr:Lie_group dbc:1_(number) dbr:Conservation_law_(physics) dbr:Mathematics dbr:Matrix_exponential dbr:Noether's_theorem dbr:Lie_algebra dbr:Functional_analysis dbr:Physics dbr:Stone's_theorem_on_one-parameter_unitary_groups dbr:Symmetry_group dbc:Topological_groups dbr:Topological_group dbr:Torus dbr:William_Kingdon_Clifford dbr:Alexander_Macfarlane dbc:Lie_groups dbr:Flow_(mathematics) dbr:Principle_of_relativity dbr:Group_homomorphism dbr:Hermann_Minkowski dbr:Hilbert_space dbr:Dynamical_systems dbr:E.T._Whittaker dbr:Abelian_group dbr:Sophus_Lie dbr:Spacetime dbr:Special_relativity dbr:Continuous_(topology) dbr:Rapidity dbr:Exponential_map_(Lie_theory) dbr:Subspace_topology dbr:James_Cockle_(lawyer) dbr:Real_line dbr:Unit_hyperbola dbr:Injective dbr:World-line dbr:P._M._Cohn dbr:Finer_topology dbr:One-parameter_semigroup dbr:Action_(group_theory) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Refimprove dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Short_description |
| dcterms:subject | dbc:1_(number) dbc:Topological_groups dbc:Lie_groups |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatLieGroups yago:WikicatTopologicalGroups yago:Abstraction100002137 yago:Group100031264 |
| rdfs:comment | In der Theorie topologischer Gruppen ist eine Einparameter-Untergruppe ein stetiger Gruppenhomomorphismus aus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe. Das Bild einer Einparameter-Untergruppe ist eine Untergruppe im gruppentheoretischen Sinne. (de) En matemáticas, un grupo uniparamétrico o subgrupo uniparamétrico es un subconjunto de un grupo de Lie de dimensión uno. De hecho un grupo uniparamétrico puede ser representado por una colección de "operadores" o elementos de un grupo , que vienen dados por un homomorfismo local de grupo continuo , de la recta real , considerada como grupo aditivo) a otro grupo topológico G. Un homomorfismo local como el anterior se define por las siguientes condiciones: 1. * 2. * (es) Un sous-groupe à un paramètre d'un groupe de Lie réel G est un morphisme de groupes de Lie c : ℝ → G. Plus explicitement, c est une application différentiable vérifiant : . (fr) In mathematics, a one-parameter group or one-parameter subgroup usually means a continuous group homomorphism from the real line (as an additive group) to some other topological group . If is injective then , the image, will be a subgroup of that is isomorphic to as an additive group. (en) Означення однопараметричної групи або однопараметричної підгрупи пов'язано з неперервним гомоморфізмом групи з дійсної прямої (як адитивної групи) в деяку топологічну групу . Якщо є ін'єкцією, то , образ, буде підгрупою , ізоморфною . Однопараметричні групи були введені Софусом Лі в 1893 році для означення нескінченно малих перетворень. Такі нескінченно малі перетворення створюють алгебру Лі, яка використовується для опису групи Лі довільної розмірності. (uk) Определение однопараметрической группы (англ. One-parameter group) или однопараметрической подгруппы связано с непрерывным гомоморфизмом группы с вещественной прямой (как аддитивной группы) в некоторую топологическую группу . Если является инъекцией, то , образ, будет подгруппой , изоморфной . Однопараметрические группы были введены Софусом Ли в 1893 году для определения бесконечно малых преобразований. Такие бесконечно малые преобразования создают алгебру Ли, используемую для описания группы Ли произвольной размерности. (ru) 在数学中，一个单参数群（one-parameter group）或称单参数子群（one-parameter subgroup）通常表示从实数 R（作为加法群）到另一个拓扑群 G 的一个连续群同态 φ : R → G. 这意味着它严格说来其实不是一个群；如果 φ 是单射，则其像 φ(R) 是 G 的一个同构于加法群 R 的子群。这就是说，我们只知道 φ (s + t) = φ(s)φ(t) 其中 s, t 是群在 G 中的参数。我们可能有 φ(s) = e, G 中的单位元， 对某个 s ≠ 0 成立。譬如 G 是单位圆是这可能发生，且 φ(s) = eis. 在这种情形，φ 的核由 2π 乘以整数组成。 一个单参数群在一个集合上的作用称为流。 一个技术复杂性在于 φ(R) 作为 G 的子空间的拓扑可能比 R 上的要；这在 φ 是单射时可能发生。譬如考虑当 G 是一个环面 T，φ 是沿着一个无理斜率缠绕的直线。 所以一个单参数群或单参数子群需区别于一个群或一个子群自身，有三个原因： 1. * 它有一个确定的， 2. * 群同态可能不是单射， 3. * 诱导拓扑可能不是实线上的标准拓扑。 这样的单参数群在李群理论具有基本重要性，其中相伴的李代数中每一个元素定义了这样一个同态，指数映射。在矩阵群的情形，它由矩阵指数给出。 另一个重要情形出现于泛函分析，G 是一个希尔伯特空间中的酉算子。参见。 (zh) |
| rdfs:label | Einparameter-Untergruppe (de) Grupo uniparamétrico (es) Sous-groupe à un paramètre (fr) One-parameter group (en) Однопараметрическая группа (ru) 单参数群 (zh) Однопараметрична група (uk) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Stone's_theorem_on_one-parameter_unitary_groups |
| owl:sameAs | freebase:One-parameter group yago-res:One-parameter group wikidata:One-parameter group dbpedia-de:One-parameter group dbpedia-es:One-parameter group dbpedia-fr:One-parameter group dbpedia-ru:One-parameter group dbpedia-uk:One-parameter group dbpedia-zh:One-parameter group https://global.dbpedia.org/id/Ldpm |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:One-parameter_group?oldid=965737716&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:One-parameter_group |
| is dbo:knownFor of | dbr:Sophus_Lie |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:One-parameter_subgroup dbr:One_parameter_group dbr:1-parameter_group dbr:1-parameter_subgroup |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Quantum_Markov_semigroup dbr:Schröder's_equation dbr:Variational_vector_field dbr:John_von_Neumann dbr:Vector_field dbr:Versor dbr:Infinitesimal_transformation dbr:Lie_theory dbr:Positive_real_numbers dbr:Gaussian_distribution_on_a_locally_compact_Abelian_group dbr:Noether's_theorem dbr:Möbius_transformation dbr:Leibniz_integral_rule dbr:Hairy_ball_theorem dbr:Stone's_theorem_on_one-parameter_unitary_groups dbr:Linear_fractional_transformation dbr:Ergodic_theory dbr:Flow_(mathematics) dbr:Fractional_part dbr:List_of_Lie_groups_topics dbr:Hyperbolic_quaternion dbr:Quantum_operation dbr:Biquaternion dbr:Symmetry_of_second_derivatives dbr:Sophus_Lie dbr:Special_relativity dbr:Split-complex_number dbr:Squeeze_mapping dbr:Circle_group dbr:Lorentz_factor dbr:Symplectomorphism dbr:One-parameter_subgroup dbr:One_parameter_group dbr:1-parameter_group dbr:1-parameter_subgroup |
| is dbp:knownFor of | dbr:Sophus_Lie |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:One-parameter_group |