Diophantine approximation (original) (raw)
L'approssimazione diofantea è il campo della matematica che tratta dell'approssimazione dei numeri reali mediante numeri razionali. Prende il nome dal matematico greco Diofanto di Alessandria.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Die mathematische Disziplin der diophantischen Approximation, benannt nach Diophantos von Alexandria, beschäftigt sich ursprünglich mit der Annäherung reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Bekannte Sätze in der Theorie der diophantischen Approximation sind der dirichletsche Approximationssatz und der Satz von Thue-Siegel-Roth. Allgemeiner lässt sich das Gebiet definieren als Approximation der Null durch reelle Funktionen mit endlich vielen ganzzahligen Argumenten. Die Theorie spielt auch eine bedeutende Rolle bei der Frage der Lösbarkeit diophantischer Gleichungen und in der Theorie transzendenter Zahlen. Häufig werden diophantische Ungleichungen betrachtet. Euler bewies im 18. Jahrhundert, dass die besten rationalen Approximationen reeller Zahlen durch die Näherungsbrüche ihrer regulären Kettenbruchentwicklung gegeben sind (bricht man den Kettenbruch an einer Stelle ab, hat man eine rationale Zahl als Näherung an die reelle Zahl). Dass eine beste Approximation von ist, bedeutet dabei, dass für jede rationale Zahl mit gilt – dass also jede bessere Näherung einen größeren Nenner hat. Manchmal wird auch folgende Ungleichung für die Definition der besten Näherung verwendet: Beste Näherungen im Sinn dieser zweiten Definition sind auch beste Näherungen im Sinn der ersten Definition, aber nicht umgekehrt. Bei regulären Kettenbrüchen sind die -ten Näherungsbrüche beste Näherungen im Sinn der zweiten Definition (siehe Kettenbruch und weitere dort angegebene Resultate). Joseph Liouville bewies 1844, dass es bei algebraischen Zahlen (Lösungen einer algebraischen Gleichung vom Grad mit ganzzahligen Koeffizienten) eine untere Schranke für die Näherung durch rationale Zahlen gibt, die vom Nenner der rationalen Zahl abhängt und vom Grad der Gleichung: mit einer nur von der zu approximierenden Zahl abhängigen Konstanten . Der Satz lässt sich so interpretieren, dass irrationale algebraische Zahlen nicht „sehr gut“ durch rationale Zahlen approximierbar sind. Liouville gelang damit auch der erste Beweis der Existenz einer transzendenten Zahl, denn findet man eine irrationale Zahl, die sich durch rationale Zahlen „sehr gut“ approximieren lässt (das heißt besser als durch die Beschränkungen des Satzes von Liouville möglich ist), kann sie nicht algebraisch sein (Liouvillesche Zahlen). Der Satz von Liouville wurde im Lauf der Zeit verschärft bis zum Satz von Thue-Siegel-Roth im 20. Jahrhundert mit einem Exponenten im Nenner bei der unteren Schranke und einer Konstanten, die zusätzlich von der beliebig kleinen reellen Zahl abhing. Eine obere Schranke für die Näherung durch rationale Zahlen gibt der dirichletsche Approximationssatz: Für jede reelle Zahl gibt es unendlich viele rationale Näherungen mit Auf der rechten Seite kann der Nenner noch zu verbessert werden (Émile Borel), eine weitere Verschärfung ist nach dem Satz von Hurwitz nicht möglich, da es für die Näherung der goldenen Zahl für im Nenner mit nur endlich viele Lösungen gibt. (de) En teoría de números, las aproximaciones diofánticas (llamadas así en honor al matemático griego Diofanto) tratan de las aproximaciones de números reales por medio de números racionales. El valor absoluto de la diferencia entre el real a aproximar y el racional que se aproxima, es una medida cruda, no dice nada acerca de «la calidad» de la aproximación, ya que es posible encontrar racionales arbitrariamente cerca (el conjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales). Una medición más sutil de la calidad de la aproximación, es comparar la distancia entre los denominadores de dos números racionales que se aproximan a un número real. (es) In number theory, the study of Diophantine approximation deals with the approximation of real numbers by rational numbers. It is named after Diophantus of Alexandria. The first problem was to know how well a real number can be approximated by rational numbers. For this problem, a rational number a/b is a "good" approximation of a real number α if the absolute value of the difference between a/b and α may not decrease if a/b is replaced by another rational number with a smaller denominator. This problem was solved during the 18th century by means of continued fractions. Knowing the "best" approximations of a given number, the main problem of the field is to find sharp upper and lower bounds of the above difference, expressed as a function of the denominator. It appears that these bounds depend on the nature of the real numbers to be approximated: the lower bound for the approximation of a rational number by another rational number is larger than the lower bound for algebraic numbers, which is itself larger than the lower bound for all real numbers. Thus a real number that may be better approximated than the bound for algebraic numbers is certainly a transcendental number. This knowledge enabled Liouville, in 1844, to produce the first explicit transcendental number. Later, the proofs that π and e are transcendental were obtained by a similar method. Diophantine approximations and transcendental number theory are very close areas that share many theorems and methods. Diophantine approximations also have important applications in the study of Diophantine equations. The 2022 Fields Medal was awarded to James Maynard for his work on Diophantine approximation. (en) En théorie des nombres, l'approximation diophantienne, qui porte le nom de Diophante d'Alexandrie, traite de l'approximation des nombres réels par des nombres rationnels. Il est possible d'approcher tout nombre réel par un rationnel avec une précision arbitrairement grande (cette propriété s'appelle la densité de l'ensemble des rationnels dans l'ensemble des réels, muni de la distance usuelle). La valeur absolue de la différence entre le nombre réel à approcher et le nombre rationnel qui l'approche fournit une mesure brute de la précision de l'approximation. Une mesure plus subtile tient compte de la taille du dénominateur. (fr) L'approssimazione diofantea è il campo della matematica che tratta dell'approssimazione dei numeri reali mediante numeri razionali. Prende il nome dal matematico greco Diofanto di Alessandria. (it) 디오판토스 근사(Diophantine approximation)는 실수를 유리수로 근사하는 것으로 알렉산드리아의 디오판토스의 이름을 따온 것이다. 분자가 정수이고 분모가 자연수인 분수로는 더 가까운 근사가 불가능할 때 디오판토스 근사라고 한다. (ko) ディオファントス近似（ディオファントスきんじ、英: Diophantine approximation）とはある数（実数など）を別のより単純な構造を持つ数（有理数など）で近似する方法やその値、あるいはそれについて研究する数論の一分野である。アレクサンドリアのディオファントスに因む。 最初の問題は、実数が有理数によってどのぐらいよく近似できるかを知ることであった。この問題のために、有理数 a/b が実数 α の「良い」近似であるとは、a/b と α の差の絶対値が、a/b を分母が小さい別の有理数に置き換えたときに小さくならないこととする。この問題は連分数によって18世紀に解かれた。 与えられた数の「最もよい」近似が分かり、この分野の主要な問題は、上記の差のよい上界と下界の分母の関数としての表示を見つけることである。 これらの上下界は近似される実数の性質に依存すると思われる。有理数の別の有理数による近似に対する下界は代数的数に対しての下界よりも大きい。後者はそれ自身すべての実数に対する下界よりも大きい。したがって代数的数に対する上下界よりもよく近似できる実数はもちろん超越数である。これによりリウヴィルは1844年に最初の明示的な超越数を生み出した。後に π や e が超越数であることの証明が類似の方法により得られた。 ディオファントス近似は、無理数や超越数の研究と深く関連している。実際、代数的数については次数や高さに依存して近似の精度に限界があることが知られている。また、不定方程式など、数学上の他の問題でもディオファントス近似に帰着することが多い。例えば、ペル方程式 y2=2x2-1 の整数解は 2 の平方根のディオファントス近似に帰着する。 (ja) In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, heeft een diofantische benadering, vernoemd naar Diophantus van Alexandrië, betrekking op de benadering van reële getallen door rationale getallen. De absolute waarde van het verschil tussen het te benaderen reëel getal en het rationale getal dat dit reële getal benadert is een ruwe indicator van hoe goed de benadering is. Aangezien de rationale getallen echter dicht zijn in de reële getallen, kan men altijd rationale getallen vinden die willekeurig dicht bij het te benaderen reëel getal liggen. Dus deze maat vertelt ons niets over de "kwaliteit" van de benadering. Een betere maat voor de kwaliteit van de benadering is door het verschil te vergelijken aan de hand van de grootte van de noemer. Bekende resultaten in de theorie van de diofantische benaderingen zijn de benaderingsstelling van Dirichlet en de stelling van Thue-Siegel-Roth. (nl) Inom matematiken är Diofantisk approximation, uppkallat efter Diofantos, ett delområde av talteori som studerar approximeringen av reella tal med rationella tal. Det första problemet är att veta hur noggrant ett givet reellt tal kan approximeras med rationella tal. Ett bråk a/b är en bra approximation av det rella talet α om absoluta värdet av deras differens inte kan minskas med att ersätta a/b med ett annat bråk med mindre nämnare. Problemet löstes på 1700-talet med hjälp av kedjebråk. Diofantisk approximation är nära relaterat till . Diofantisk approximation kan också användas i studien av Diofantiska ekvationer. (sv) Aproksymacja diofantyczna – dziedzina teorii liczb badająca możliwości przybliżania liczb rzeczywistych liczbami wymiernymi i stopień dokładności takiego przybliżenia. Nazwa pochodzi od imienia Diofantosa z Aleksandrii. Zgrubnym miernikiem dokładności przybliżenia jest wartość bezwzględna różnicy między daną liczbą rzeczywistą a jej przybliżeniem, subtelniejsze rozważania uwzględniają również wielkość mianownika odpowiedniego ułamka. Można przyjąć, że pierwsze systematyczne badania w tej dziedzinie mają początek w pracach Liouvilla dotyczących istnienia liczb przestępnych (tzw. liczb Liouville’a). Wcześniej wiedziano sporo na temat przybliżania liczb niewymiernych ułamkami łańcuchowymi, znane było też twierdzenie Dirichleta o aproksymacji, jednak dopiero od Liouville’a zagadnieniom tym poświęcono systematyczną uwagę. Wyniki Liouville’a, które były efektywne, poprawił Axel Thue i jego następcy, ale stracili oni efektywność: udowodnione w roku 1955 twierdzenie Thuego-Siegela-Rotha mówi, że jeśli liczba jest algebraiczna, to dla dowolnego nierówność: ma tylko skończenie wiele rozwiązań w liczbach i względnie pierwszych i wykładnika po prawej stronie nie da się już zmniejszyć. Twierdzenie Thuego-Siegela-Rotha zostało uogólnione na przypadek jednoczesnej aproksymacji skończonego zbioru liczb, przez , wciąż nieefektywnie, co czyni ten wynik, i jego nieefektywnych poprzedników, mało przydatnymi do obliczeń. Druga grupa zagadnień badanych w teorii aproksymacji to problematyka . Podstawowym wynikiem w tym kierunku jest , które z kolei pokazuje związek aproksymacji diofantycznej z . Inne problemy, jakie mogą się tu pojawiać, wiążą się z nieregularnościami rozkładu. Jak w innych działach teorii liczb, również tu istnieje wiele nierozwiązanych, a prosto sformułowanych problemów. Jednym z nich jest hipoteza Littlewooda (dane z roku 2004), która głosi, że dla dowolnych liczb niewymiernych i gdzie jest odległością od liczby do najbliższej liczby całkowitej: (pl) Na teoria dos números, a aproximação diofantina, (nomeada assim por causa dos trabalhos do matemático Diofante de Alexandria), é um ramo da matemática que parcela os números reais para executar a sua aproximação com os números racionais. Para que isso ocorra, é necessária uma diminuição dos números reais, e uma aproximação deles (em termos de valor absoluto) ao conceito de números racionais, para que a aproximação seja realizada. Um sutil significado considera quão fácil e é essa aproximação, pela comparação do tamanho do denominador. As matéria podem ser vistas como bem fundamentadas, com resultado dos trabalhos de Joseph Liouville na área, principalmente nos números algébricos (o lema da matéria pode ser visto na Álgebra de Liouville), mas antes desses avanços já era conhecido a teoria das frações continuadas, como se aplicando às raízes quadradas inteiras, e algumas que resultava em números irracionais. Os resultados foram aperfeiçoados por Axel Thue, e outros, levando ao fim o : o expoente do teorema foi redizido de n, os graus dos números algébricos para qualquer número maior que dois (i.e. '2+ε'). Consequentemente, Schmidt generalizou este caso para uma aproximação simultânea. as provas são difíceis, e não , pela desvantagem de aplicações. (pt) Діофантова апроксімація або Діофантові наближення — розділ теорії чисел, в якому вивчаються питання розв'язання в цілих числах нерівностей або систем нерівностей з дійсними коефіцієнтами. Діофантові наближення вивчають, зокрема, наближення дійсних чисел раціональними. Так, у діофантових наближеннях наближення дійсного числа раціональними буде найкращим діофантовим наближенням, якщо для кожного раціонального числа такого, що Існують і інші варіанти наближень. До діофантових наближень належить також теорія трансцендентних чисел. (uk) Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского. Первой задачей был вопрос, насколько хорошо вещественное число может быть приближено рациональными числами. Для этой задачи рациональное число a/b является «хорошим» приближением вещественного числа α, если абсолютное значение разности a/b и α не может быть уменьшено, если заменить a/b другой рациональной дробью с меньшим знаменателем. Задача была решена в XVIII столетии посредством непрерывных дробей. Если известны «лучшие» приближения заданного числа, главной задачей области является поиск точных верхней и нижней границ вышеупомянутой разности, выраженной как функция от знаменателя. Похоже, границы зависят от природы вещественных чисел — нижняя граница приближения рациональных чисел другим рациональным числом больше, чем нижняя граница алгебраических чисел, которая сама больше нижней границы для вещественных чисел. Таким образом, вещественные числа, которые могут быть лучше приближены, чем граница для алгебраических чисел, это определённо трансцендентные числа. Это дало возможность Лиувиллю в 1844 получить первое явно заданное трансцендентное число. Позднее с помощью аналогичного метода было доказано, что и являются трансцендентными. Таким образом, диофантовы приближения и теория трансцендентных чисел являются очень близкими областями и имеют много общих теорем и методов. Диофантовы приближения также имеют важные приложения в изучении диофантовых уравнений. (ru) 丢番图分析（英語：Diophantine approximation）是数论的一个分支。最经典的丢番图逼近主要用於有理数逼近实数，亦即实数的有理逼近相关问题。其中有理数一般用分数形式表达，且一律要求分子为整数，分母为正整数，通常要求是既约分数。 丢番图逼近的名称源于古希腊数学家丢番图。这是因为有理逼近可以归结为求不等式整数解的问题，而求方程整数解的问题一般称为丢番图方程（或不定方程），故而得名。事实上，丢番图逼近与不定方程的研究确有颇多相关。 丢番图逼近的首要问题是寻求实数的最佳（有理）丢番图逼近，简称最佳逼近。具体来说，对于一个实数 ，希望找到一个“最优”的有理数 作为 的近似，使在分母不超过 的所有有理数中， 与 的距离最小。这里的“距离”可以是欧氏距离，即两数之差的绝对值；也可以用 等方式度量。满足此类要求的有理数 称为实数 的一个最佳逼近。关于如何寻找实数的最佳逼近及相关论题，已于18世纪随着连分数理论的发展得到基本解决。 其后，该领域的主要注意力转向对有理逼近的误差进行估计、度量，以给出尽可能精确的上下界（一般用分母的函数表示）。作为分母的函数, 这种上下界的阶与 的性质密切相关。当 分别为有理数、代数数、超越数时，其最佳逼近误差下界的阶是不同的。基于这种思想，刘维尔在1844年建立了有关代数数逼近的一个基本结论，并由此具体地构造出了一个超越数（参见刘维尔数），证明了它的超越性。这在人类历史上尚属首次。由此可见，丢番图逼近与数论的另一分支——超越数论紧密相关。 除了上述最经典的单个实数的有理逼近问题，该领域还包括多个实数的联立逼近，非齐次逼近，实数的代数数逼近，一致分布（均匀分布）等方面。甚至连p进数上的丢番图逼近也有颇多研究。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://people.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/HCMUNS10.pdf http://catalog.hathitrust.org/Record/009514653 https://archive.org/details/dielehrevondenk00perrgoog https://zenodo.org/record/1538156 http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl%3FPPN243919689_0135 |
| dbo:wikiPageID | 251558 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 30148 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1122154553 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Denominator dbr:Annals_of_Mathematics dbr:Joseph_Alfred_Serret dbr:Joseph_Liouville dbr:Upper_and_lower_bounds dbr:Duffin–Schaeffer_conjecture dbr:Duke_Mathematical_Journal dbr:Continued_fraction dbr:Convergent_(continued_fraction) dbr:Mathematische_Zeitschrift dbr:Low-discrepancy_sequence dbr:Diophantus_of_Alexandria dbr:Golden_ratio dbr:Modular_group dbr:Möbius_transformation dbr:Equidistributed_sequence dbr:Equivalence_class dbr:Oppenheim_conjecture dbr:Lipschitz_continuity dbr:Lonely_runner_conjecture dbr:Combinatorics dbr:Émile_Borel dbr:Markov_number dbr:Markov_spectrum dbr:Mathematika dbr:Acta_Mathematica dbr:Transcendental_number dbr:Davenport–Schmidt_theorem dbr:Hausdorff_dimension dbr:Hausdorff_measure dbr:Heilbronn_set dbr:Lebesgue_measure dbr:Linear_independence dbr:Liouville_number dbr:Abram_Samoilovitch_Besicovitch dbr:Adolf_Hurwitz dbr:Aleksandr_Khinchin dbr:Algebraic_number dbr:Analytic_number_theory dbr:E_(mathematical_constant) dbr:Ergodic_theory dbr:Fields_Medal dbr:Number_theory dbr:Dimitris_Koukoulopoulos dbr:Diophantine_geometry dbr:Dirichlet's_approximation_theorem dbr:Weyl's_criterion dbr:Grigory_Margulis dbr:Hermann_Weyl dbr:James_Maynard_(mathematician) dbr:Baker's_theorem dbr:Effective_results_in_number_theory dbr:Diophantine_equation dbc:Diophantine_approximation dbr:Markov_constant dbr:Pi dbr:Pigeonhole_principle dbr:If_and_only_if dbr:Rational_number dbr:Real_number dbr:Semisimple_Lie_group dbr:Wolfgang_M._Schmidt dbr:Michel_Waldschmidt dbr:Littlewood_conjecture dbr:Liouville_constant dbr:Transcendental_number_theory dbr:Restricted_partial_quotients dbr:Vojtech_Jarnik dbr:Springer-Verlag dbr:Journal_für_die_reine_und_angewandte_Mathematik dbr:International_Mathematical_Congress dbr:Irregularities_of_distribution |
| dbp:authorlink | Freeman Dyson (en) Axel Thue (en) Carl Ludwig Siegel (en) Klaus Roth (en) |
| dbp:first | Freeman (en) Klaus (en) Axel (en) |
| dbp:frst | Carl Ludwig (en) |
| dbp:id | p/d032600 (en) |
| dbp:last | Dyson (en) Roth (en) Siegel (en) Thue (en) |
| dbp:title | Diophantine approximations (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Authority_control dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Harvtxt dbt:Main dbt:Math dbt:Pi dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Use_American_English dbt:Harvs dbt:Diophantine_approximation_graph.svg |
| dbp:year | 1909 (xsd:integer) 1921 (xsd:integer) 1947 (xsd:integer) 1955 (xsd:integer) |
| dcterms:subject | dbc:Diophantine_approximation |
| rdf:type | owl:Thing |
| rdfs:comment | L'approssimazione diofantea è il campo della matematica che tratta dell'approssimazione dei numeri reali mediante numeri razionali. Prende il nome dal matematico greco Diofanto di Alessandria. (it) 디오판토스 근사(Diophantine approximation)는 실수를 유리수로 근사하는 것으로 알렉산드리아의 디오판토스의 이름을 따온 것이다. 분자가 정수이고 분모가 자연수인 분수로는 더 가까운 근사가 불가능할 때 디오판토스 근사라고 한다. (ko) Діофантова апроксімація або Діофантові наближення — розділ теорії чисел, в якому вивчаються питання розв'язання в цілих числах нерівностей або систем нерівностей з дійсними коефіцієнтами. Діофантові наближення вивчають, зокрема, наближення дійсних чисел раціональними. Так, у діофантових наближеннях наближення дійсного числа раціональними буде найкращим діофантовим наближенням, якщо для кожного раціонального числа такого, що Існують і інші варіанти наближень. До діофантових наближень належить також теорія трансцендентних чисел. (uk) In number theory, the study of Diophantine approximation deals with the approximation of real numbers by rational numbers. It is named after Diophantus of Alexandria. The first problem was to know how well a real number can be approximated by rational numbers. For this problem, a rational number a/b is a "good" approximation of a real number α if the absolute value of the difference between a/b and α may not decrease if a/b is replaced by another rational number with a smaller denominator. This problem was solved during the 18th century by means of continued fractions. (en) Die mathematische Disziplin der diophantischen Approximation, benannt nach Diophantos von Alexandria, beschäftigt sich ursprünglich mit der Annäherung reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Bekannte Sätze in der Theorie der diophantischen Approximation sind der dirichletsche Approximationssatz und der Satz von Thue-Siegel-Roth. Allgemeiner lässt sich das Gebiet definieren als Approximation der Null durch reelle Funktionen mit endlich vielen ganzzahligen Argumenten. für jede rationale Zahl mit gilt – dass also jede bessere Näherung einen größeren Nenner hat. (de) En teoría de números, las aproximaciones diofánticas (llamadas así en honor al matemático griego Diofanto) tratan de las aproximaciones de números reales por medio de números racionales. El valor absoluto de la diferencia entre el real a aproximar y el racional que se aproxima, es una medida cruda, no dice nada acerca de «la calidad» de la aproximación, ya que es posible encontrar racionales arbitrariamente cerca (el conjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales). (es) En théorie des nombres, l'approximation diophantienne, qui porte le nom de Diophante d'Alexandrie, traite de l'approximation des nombres réels par des nombres rationnels. Il est possible d'approcher tout nombre réel par un rationnel avec une précision arbitrairement grande (cette propriété s'appelle la densité de l'ensemble des rationnels dans l'ensemble des réels, muni de la distance usuelle). La valeur absolue de la différence entre le nombre réel à approcher et le nombre rationnel qui l'approche fournit une mesure brute de la précision de l'approximation. (fr) ディオファントス近似（ディオファントスきんじ、英: Diophantine approximation）とはある数（実数など）を別のより単純な構造を持つ数（有理数など）で近似する方法やその値、あるいはそれについて研究する数論の一分野である。アレクサンドリアのディオファントスに因む。 最初の問題は、実数が有理数によってどのぐらいよく近似できるかを知ることであった。この問題のために、有理数 a/b が実数 α の「良い」近似であるとは、a/b と α の差の絶対値が、a/b を分母が小さい別の有理数に置き換えたときに小さくならないこととする。この問題は連分数によって18世紀に解かれた。 与えられた数の「最もよい」近似が分かり、この分野の主要な問題は、上記の差のよい上界と下界の分母の関数としての表示を見つけることである。 これらの上下界は近似される実数の性質に依存すると思われる。有理数の別の有理数による近似に対する下界は代数的数に対しての下界よりも大きい。後者はそれ自身すべての実数に対する下界よりも大きい。したがって代数的数に対する上下界よりもよく近似できる実数はもちろん超越数である。これによりリウヴィルは1844年に最初の明示的な超越数を生み出した。後に π や e が超越数であることの証明が類似の方法により得られた。 (ja) Aproksymacja diofantyczna – dziedzina teorii liczb badająca możliwości przybliżania liczb rzeczywistych liczbami wymiernymi i stopień dokładności takiego przybliżenia. Nazwa pochodzi od imienia Diofantosa z Aleksandrii. Zgrubnym miernikiem dokładności przybliżenia jest wartość bezwzględna różnicy między daną liczbą rzeczywistą a jej przybliżeniem, subtelniejsze rozważania uwzględniają również wielkość mianownika odpowiedniego ułamka. ma tylko skończenie wiele rozwiązań w liczbach i względnie pierwszych i wykładnika po prawej stronie nie da się już zmniejszyć. (pl) In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, heeft een diofantische benadering, vernoemd naar Diophantus van Alexandrië, betrekking op de benadering van reële getallen door rationale getallen. De absolute waarde van het verschil tussen het te benaderen reëel getal en het rationale getal dat dit reële getal benadert is een ruwe indicator van hoe goed de benadering is. Aangezien de rationale getallen echter dicht zijn in de reële getallen, kan men altijd rationale getallen vinden die willekeurig dicht bij het te benaderen reëel getal liggen. Dus deze maat vertelt ons niets over de "kwaliteit" van de benadering. (nl) Na teoria dos números, a aproximação diofantina, (nomeada assim por causa dos trabalhos do matemático Diofante de Alexandria), é um ramo da matemática que parcela os números reais para executar a sua aproximação com os números racionais. Para que isso ocorra, é necessária uma diminuição dos números reais, e uma aproximação deles (em termos de valor absoluto) ao conceito de números racionais, para que a aproximação seja realizada. Um sutil significado considera quão fácil e é essa aproximação, pela comparação do tamanho do denominador. (pt) Inom matematiken är Diofantisk approximation, uppkallat efter Diofantos, ett delområde av talteori som studerar approximeringen av reella tal med rationella tal. Det första problemet är att veta hur noggrant ett givet reellt tal kan approximeras med rationella tal. Ett bråk a/b är en bra approximation av det rella talet α om absoluta värdet av deras differens inte kan minskas med att ersätta a/b med ett annat bråk med mindre nämnare. Problemet löstes på 1700-talet med hjälp av kedjebråk. (sv) Теория диофантовых приближений — раздел теории чисел, изучающий приближения вещественных чисел рациональными; назван именем Диофанта Александрийского. Первой задачей был вопрос, насколько хорошо вещественное число может быть приближено рациональными числами. Для этой задачи рациональное число a/b является «хорошим» приближением вещественного числа α, если абсолютное значение разности a/b и α не может быть уменьшено, если заменить a/b другой рациональной дробью с меньшим знаменателем. Задача была решена в XVIII столетии посредством непрерывных дробей. (ru) 丢番图分析（英語：Diophantine approximation）是数论的一个分支。最经典的丢番图逼近主要用於有理数逼近实数，亦即实数的有理逼近相关问题。其中有理数一般用分数形式表达，且一律要求分子为整数，分母为正整数，通常要求是既约分数。 丢番图逼近的名称源于古希腊数学家丢番图。这是因为有理逼近可以归结为求不等式整数解的问题，而求方程整数解的问题一般称为丢番图方程（或不定方程），故而得名。事实上，丢番图逼近与不定方程的研究确有颇多相关。 丢番图逼近的首要问题是寻求实数的最佳（有理）丢番图逼近，简称最佳逼近。具体来说，对于一个实数 ，希望找到一个“最优”的有理数 作为 的近似，使在分母不超过 的所有有理数中， 与 的距离最小。这里的“距离”可以是欧氏距离，即两数之差的绝对值；也可以用 等方式度量。满足此类要求的有理数 称为实数 的一个最佳逼近。关于如何寻找实数的最佳逼近及相关论题，已于18世纪随着连分数理论的发展得到基本解决。 除了上述最经典的单个实数的有理逼近问题，该领域还包括多个实数的联立逼近，非齐次逼近，实数的代数数逼近，一致分布（均匀分布）等方面。甚至连p进数上的丢番图逼近也有颇多研究。 (zh) |
| rdfs:label | Diophantine approximation (en) Diophantische Approximation (de) Aproximación diofántica (es) Approximation diophantienne (fr) Approssimazione diofantea (it) 디오판토스 근사 (ko) Diofantische benadering (nl) ディオファントス近似 (ja) Aproksymacja diofantyczna (pl) Aproximação diofantina (pt) Теория диофантовых приближений (ru) Diofantisk approximation (sv) Діофантова апроксимація (uk) 丟番圖逼近 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Diophantine approximation yago-res:Diophantine approximation http://d-nb.info/gnd/4135760-7 wikidata:Diophantine approximation dbpedia-de:Diophantine approximation dbpedia-es:Diophantine approximation dbpedia-fr:Diophantine approximation dbpedia-he:Diophantine approximation dbpedia-it:Diophantine approximation dbpedia-ja:Diophantine approximation dbpedia-ko:Diophantine approximation dbpedia-nl:Diophantine approximation dbpedia-no:Diophantine approximation dbpedia-pl:Diophantine approximation dbpedia-pt:Diophantine approximation dbpedia-ro:Diophantine approximation dbpedia-ru:Diophantine approximation dbpedia-simple:Diophantine approximation dbpedia-sl:Diophantine approximation dbpedia-sv:Diophantine approximation dbpedia-uk:Diophantine approximation dbpedia-vi:Diophantine approximation dbpedia-zh:Diophantine approximation https://global.dbpedia.org/id/GWHd |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Diophantine_approximation?oldid=1122154553&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Diophantine_approximation |
| is dbo:knownFor of | dbr:Vojtěch_Jarník dbr:Grigory_Margulis dbr:Klaus_Roth__Klaus_Roth__1 |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Diophantine |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Metric_number_theory dbr:Metrical_number_theory dbr:Diophantine_Approximation dbr:Diophantine_approximations dbr:Khinchin's_theorem_on_Diophantine_approximations dbr:Badly_approximable_number dbr:Lagrange's_approximation_theorem dbr:Lagrange_approximation_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Carl_Ludwig_Siegel dbr:Carl_Størmer dbr:Proof_that_22/7_exceeds_π dbr:David_Masser dbr:Alfred_van_der_Poorten dbr:Almost_periodic_function dbr:Hurwitz's_theorem_(number_theory) dbr:Paul_Vojta dbr:Pell's_equation dbr:Per_Enflo dbr:Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet dbr:Vojtěch_Jarník dbr:Duffin–Schaeffer_conjecture dbr:Inversive_distance dbr:P-adic_analysis dbr:List_of_lemmas dbr:List_of_number_theory_topics dbr:Continued_fraction dbr:Mathematical_constant dbr:Gauss_circle_problem dbr:Geometry_of_numbers dbr:Roth's_theorem dbr:Siegel's_lemma dbr:Pell_number dbr:Glossary_of_arithmetic_and_diophantine_geometry dbr:Golden_ratio dbr:The_Princeton_Companion_to_Mathematics dbr:Equidistributed_sequence dbr:Equidistribution_theorem dbr:Oppenheim_conjecture dbr:Approximation dbr:Arithmetic_of_abelian_varieties dbr:Lonely_runner_conjecture dbr:Silver_ratio dbr:Stanisław_Świerczkowski dbr:Denjoy's_theorem_on_rotation_number dbr:Dense_set dbr:Chinese_mathematics dbr:Harmonious_set dbr:How_Round_Is_Your_Circle? dbr:Kronecker's_theorem dbr:Markov_spectrum dbr:1955_in_science dbr:Axel_Thue dbr:Transcendental_number dbr:Davenport–Schmidt_theorem dbr:William_J._LeVeque dbr:Gisbert_Wüstholz dbr:Irrational_number dbr:Irreducible_fraction dbr:Liouville_number dbr:Abc_conjecture dbr:Aleksandr_Khinchin dbr:Alexander_Oppenheim dbr:Algebraic_number_theory dbr:Analytic_number_theory dbr:Anatole_Katok dbr:Euclidean_algorithm dbr:Faltings's_theorem dbr:Brjuno_number dbr:Nikolaus_Hofreiter dbr:Number_theory dbr:Padé_approximant dbr:Carl_D._Olds dbr:Dirichlet's_approximation_theorem dbr:Discrete_mathematics dbr:Glyn_Harman dbr:Legacy_of_the_Roman_Empire dbr:List_of_Russian_Americans dbr:List_of_things_named_after_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet dbr:Martine_Queffélec dbr:Rational_approximation dbr:Grigory_Margulis dbr:Harold_Davenport dbr:Harry_Kesten dbr:Height_function dbr:Hermann_Minkowski dbr:Hermann_Weyl dbr:J._W._S._Cassels dbr:James_Maynard_(mathematician) dbr:Margaret_Maxfield dbr:Mary_Flahive dbr:John_Edensor_Littlewood dbr:Keller's_conjecture dbr:Blichfeldt's_theorem dbr:Salem–Spencer_set dbr:Diophantine_equation dbr:Diophantus dbr:Donald_C._Spencer dbr:Markov_constant dbr:Square_root_of_2 dbr:Claude_Chabauty dbr:Frederick_V._Waugh dbr:Metric_number_theory dbr:Metrical_number_theory dbr:Klaus_Roth dbr:Kloosterman_sum dbr:Kurt_Mahler dbr:Naum_Il'ich_Feldman dbr:Champernowne_constant dbr:Serge_Lang dbr:Wolfgang_M._Schmidt dbr:Élisabeth_Lutz dbr:Salem_number dbr:Michel_Waldschmidt dbr:Exponential_sum dbr:Diophantine dbr:Diophantine_Approximation dbr:Diophantine_approximations dbr:List_of_theorems dbr:Littlewood_conjecture dbr:Khinchin's_theorem_on_Diophantine_approximations dbr:Vojta's_conjecture dbr:Exceptional_object dbr:Manfred_Einsiedler dbr:Pisot–Vijayaraghavan_number dbr:Moser–de_Bruijn_sequence dbr:Siegel's_theorem_on_integral_points dbr:Transcendental_number_theory dbr:Separation_oracle dbr:Siegel_disc dbr:Stern–Brocot_tree dbr:The_Geometry_of_Numbers dbr:Vladimir_Gennadievich_Sprindzuk dbr:Badly_approximable_number dbr:Lagrange's_approximation_theorem dbr:Lagrange_approximation_theorem |
| is dbp:knownFor of | dbr:Vojtěch_Jarník dbr:Grigory_Margulis dbr:Klaus_Roth |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Continued_fraction |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Diophantine_approximation |
