Fixed-point subring (original) (raw)
In algebra, the fixed-point subring of an automorphism f of a ring R is the subring of the fixed points of f, that is, More generally, if G is a group acting on R, then the subring of R is called the fixed subring or, more traditionally, the ring of invariants under G. If S is a set of automorphisms of R, the elements of R that are fixed by the elements of S form the ring of invariants under the group generated by S. In particular, the fixed-point subring of an automorphism f is the ring of invariants of the cyclic group generated by f.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In algebra, the fixed-point subring of an automorphism f of a ring R is the subring of the fixed points of f, that is, More generally, if G is a group acting on R, then the subring of R is called the fixed subring or, more traditionally, the ring of invariants under G. If S is a set of automorphisms of R, the elements of R that are fixed by the elements of S form the ring of invariants under the group generated by S. In particular, the fixed-point subring of an automorphism f is the ring of invariants of the cyclic group generated by f. In Galois theory, when R is a field and G is a group of field automorphisms, the fixed ring is a subfield called the fixed field of the automorphism group; see Fundamental theorem of Galois theory. Along with a module of covariants, the ring of invariants is a central object of study in invariant theory. Geometrically, the rings of invariants are the coordinate rings of (affine or projective) GIT quotients and they play fundamental roles in the constructions in geometric invariant theory. Example: Let be a polynomial ring in n variables. The symmetric group Sn acts on R by permuting the variables. Then the ring of invariants is the ring of symmetric polynomials. If a reductive algebraic group G acts on R, then the fundamental theorem of invariant theory describes the generators of RG. Hilbert's fourteenth problem asks whether the ring of invariants is finitely generated or not (the answer is affirmative if G is a reductive algebraic group by Nagata's theorem.) The finite generation is easily seen for a finite group G acting on a finitely generated algebra R: since R is integral over RG, the Artin–Tate lemma implies RG is a finitely generated algebra. The answer is negative for some unipotent groups. Let G be a finite group. Let S be the symmetric algebra of a finite-dimensional G-module. Then G is a reflection group if and only if is a free module (of finite rank) over SG (Chevalley's theorem). In differential geometry, if G is a Lie group and its Lie algebra, then each principal G-bundle on a manifold M determines a graded algebra homomorphism (called the Chern–Weil homomorphism) where is the ring of polynomial functions on and G acts on by adjoint representation. (en) В абстрактній алгебрі, підкільце нерухомих точок автоморфізму кільця — це підкільце з нерухомих точок: Більш загально, якщо G — дія групи на R, тоді підкільце : називається нерухомим підкільцем або кільцем інваріантів. В теорії Галуа, де R є полем і G є групою автоморфізмів поля, нерухоме кільце є підполем яке називається нерухоме поле групи автоморфізмів. Див. Основна теорема теорії Галуа. Разом з , кільце інваріантів є центральним об'єктом в теорії інваріантів. Приклад Якщо — кільце многочленів n змінних і симетрична група діє на перестановкою змінних,тоді кільце інваріантів є кільцем симетричних многочленів.Якщо редуктивна алгебрична група G діє на R, тоді описують генератори . Чотирнадцята проблема Гільберта про доведення скінченнопородженості кільця інваріантів алгебраїчної групиa (uk) |
| dbo:wikiPageID | 47933712 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 4374 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1090789009 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Algebra_homomorphism dbr:Character_variety dbr:Integral_element dbr:Lie_group dbc:Ring_theory dbr:Chern–Weil_homomorphism dbr:Subring dbr:Fundamental_theorem_of_Galois_theory dbr:Galois_theory dbr:Geometric_invariant_theory dbr:Lie_algebra dbr:Automorphism dbr:G-module dbr:GIT_quotient dbr:Ring_of_polynomial_functions dbr:Adjoint_representation dbr:Algebra dbr:Cyclic_group dbr:Field_(mathematics) dbr:Fixed_point_(mathematics) dbr:Graded_ring dbr:Hilbert's_fourteenth_problem dbr:Ring_(mathematics) dbr:Group_(mathematics) dbr:Group_action dbr:Invariant_theory dbr:Module_of_covariants dbr:Differential_geometry dbr:Artin–Tate_lemma dbr:Manifold dbr:Polynomial_ring dbr:Field_extension dbr:Free_module dbr:Symmetric_group dbr:Finite_group dbr:Finitely_generated_algebra dbr:First_and_second_fundamental_theorems_of_invariant_theory dbr:Ring_of_symmetric_polynomials dbr:Reductive_algebraic_group dbr:Unipotent_group |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Citation dbt:Citation_needed dbt:Mvar dbt:Reflist |
| dcterms:subject | dbc:Ring_theory |
| rdfs:comment | In algebra, the fixed-point subring of an automorphism f of a ring R is the subring of the fixed points of f, that is, More generally, if G is a group acting on R, then the subring of R is called the fixed subring or, more traditionally, the ring of invariants under G. If S is a set of automorphisms of R, the elements of R that are fixed by the elements of S form the ring of invariants under the group generated by S. In particular, the fixed-point subring of an automorphism f is the ring of invariants of the cyclic group generated by f. (en) В абстрактній алгебрі, підкільце нерухомих точок автоморфізму кільця — це підкільце з нерухомих точок: Більш загально, якщо G — дія групи на R, тоді підкільце : називається нерухомим підкільцем або кільцем інваріантів. В теорії Галуа, де R є полем і G є групою автоморфізмів поля, нерухоме кільце є підполем яке називається нерухоме поле групи автоморфізмів. Див. Основна теорема теорії Галуа. Разом з , кільце інваріантів є центральним об'єктом в теорії інваріантів. Приклад Чотирнадцята проблема Гільберта про доведення скінченнопородженості кільця інваріантів алгебраїчної групиa (uk) |
| rdfs:label | Fixed-point subring (en) Підкільце нерухомих точок (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Fixed-point subring freebase:Fixed-point subring wikidata:Fixed-point subring dbpedia-he:Fixed-point subring dbpedia-uk:Fixed-point subring https://global.dbpedia.org/id/zqVr |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Fixed-point_subring?oldid=1090789009&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Fixed-point_subring |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Invariant_ring dbr:Ring_of_invariants dbr:Fixed_field dbr:Fixed_point_subring |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Integral_element dbr:List_of_irreducible_Tits_indices dbr:Chern–Weil_homomorphism dbr:Fundamental_theorem_of_Galois_theory dbr:Fixed_point_(mathematics) dbr:Automorphism_group dbr:Invariant_ring dbr:Ring_of_invariants dbr:Fixed_field dbr:Fixed_point_subring |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Fixed-point_subring |