Mutually orthogonal Latin squares (original) (raw)
Grek-latina kvadrato de ordo n estas tabelo de n vicoj kaj n kolumnoj plenigita per n2 diversaj paroj. Rigardante nur la unuan elementon de ĉiu paro, la tabelo aperas kiel latina kvadrato. Same por la dua elemento de la paroj. La du latinaj kvadratoj estas ortaj. Se ili ne estus ortaj, la n2 paroj ne estus diversaj. La nomon "grek-latina" oni uzas ĉar la paro ofte konsistis el unu litero greka kaj unu latina.
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| dbo:abstract | Un quadrat grecollatí, quadrat d'Euler o quadrats llatins ortogonals d'ordre n és el nom que rep en matemàtiques la disposició en una quadrícula quadrada n × n dels elements de dos conjunts S i T, tots dos amb n elements, on cada cel·la contingui un parell ordenat (s, t), sent s element de S i t de T, de manera que cada element de S i cada element de T aparegui exactament una vegada en cada fila i en cada columna i que no hi hagi dos cel·les que continguin el mateix parell ordenat. Si els element de S es representen amb caràcters llatins i els de T amb , la disposició exclusivament dels caràcters llatins o dels grecs forma un quadrat llatí. Un quadrat grecollatí per tant es pot descompondre en dos quadrats llatins "ortogonals". En aquest cas ortogonalitat vol dir que cada un dels parells (s, t) del producte cartesià S × T apareix exactament una vegada. * Quadrats grecollatins * Ordre 3 * Ordre 4 * Ordre 5 (ca) Ein griechisch-lateinisches Quadrat (GLQ) oder Eulersches Quadrat der Größe n ist ein quadratisches Schema mit n Zeilen und n Spalten, bei dem in jedem der Felder ein Zeichen aus einer Menge G und eines aus einer anderen Menge L eingetragen ist. Es wird auch orthogonales lateinisches Quadrat genannt. Dabei muss in jeder Zeile und auch in jeder Spalte jedes Element aus G und ebenso jedes Element aus L genau einmal vorkommen, und jedes Tupel muss im gesamten Quadrat genau einmal vorkommen. Ein GLQ ist eine Verallgemeinerung des sogenannten lateinischen Quadrates. Während es beim lateinischen Quadrat um eine Menge geht, geht es beim GLQ um zwei Mengen. Das Konzept wurde von Leonhard Euler eingeführt, der für die Menge G Buchstaben des griechischen und für L Buchstaben des lateinischen Alphabets verwendete. Daraus entstand der Name. In den 1780er Jahren fand Euler Methoden zur Konstruktion von GLQ mit ungerader oder durch vier teilbarer Größe n. Es gelang ihm jedoch nicht, auch für Lösungen zu finden. Der Fall ist als Problem der 36 Offiziere oder 36-Offiziere-Rätsel bekannt geworden, das Euler 1779 aufgab: sechs Regimenter stellen je sechs Offiziere mit sechs verschiedenen Dienstgraden, und sie sollen sich so in einem 6×6-Quadrat aufstellen, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Regiment und jeder Dienstgrad einmal vorkommt. Euler vermutete entsprechend, dass es genau dann ein GLQ gibt, wenn . Dass es für keine Lösung gibt, wurde 1901 von Gaston Tarry gezeigt, aber im Jahr 1959 konstruierten R. C. Bose und S. S. Shrikhande Gegenbeispiele mit und E. T. Parker mit . Parker, Bose und Shrikhande bewiesen schließlich, dass für alle Größen außer und ein GLQ existiert. (de) Grek-latina kvadrato de ordo n estas tabelo de n vicoj kaj n kolumnoj plenigita per n2 diversaj paroj. Rigardante nur la unuan elementon de ĉiu paro, la tabelo aperas kiel latina kvadrato. Same por la dua elemento de la paroj. La du latinaj kvadratoj estas ortaj. Se ili ne estus ortaj, la n2 paroj ne estus diversaj. La nomon "grek-latina" oni uzas ĉar la paro ofte konsistis el unu litero greka kaj unu latina. (eo) Un cuadrado grecolatino, cuadrado de Euler o cuadrados latinos ortogonales de orden n se denomina, en matemáticas, a la disposición en una cuadrícula cuadrada n×n de los elementos de dos conjuntos S y T, ambos con n elementos, cada celda conteniendo un par ordenado (s, t), siendo s elemento de S y t de T, de forma que cada elemento de S y cada elemento de T aparezca exactamente una vez en cada fila y en cada columna y que no haya dos celdas conteniendo el mismo par ordenado. La disposición exclusivamente de los caracteres latinos o de los griegos forma un cuadrado latino. Un cuadrado grecolatino, por lo tanto, se puede descomponer en dos cuadrados latinos "ortogonales" . Ortogonalidad aquí significa que cada uno de los pares (s, t) del producto cartesiano S×T aparece exactamente una vez. (es) Un carré gréco-latin ou carré eulérien d'ordre n, sur deux ensembles G et L de chacun n symboles, est un tableau carré de n lignes et n colonnes, contenant les n2 couples de L × G, et où toute ligne et toute colonne contient exactement une fois chaque élément de L (en première position dans l'un des n couples) et chaque élément de G (en seconde position). Il s'agit de la superposition de deux carrés latins orthogonaux l'un à l'autre. On dit aussi « carré bilatin ». Le nom « gréco-latin » vient du fait que l'on utilisait souvent pour G et L le début des alphabets grec et latin. (fr) In combinatorics, two Latin squares of the same size (order) are said to be orthogonal if when superimposed the ordered paired entries in the positions are all distinct. A set of Latin squares, all of the same order, all pairs of which are orthogonal is called a set of mutually orthogonal Latin squares. This concept of orthogonality in combinatorics is strongly related to the concept of blocking in statistics, which ensures that independent variables are truly independent with no hidden confounding correlations. "Orthogonal" is thus synonymous with "independent" in that knowing one variable's value gives no further information about another variable's likely value. An outdated term for pair of orthogonal Latin squares is Graeco-Latin square, found in older literature. (en) 조합론에서 직교 라틴 방진(直交Latin方陣, 영어: Orthogonal Latin square)은 라틴 방진 2개를 겹쳤을 때 중복된 문자열이 존재하지 않는 정사각 행렬이다. (ko) Kwadrat grecko-łaciński lub kwadrat Eulera rzędu nad dwoma -elementowymi zbiorami i – kwadratowa tablica o wierszach i kolumnach, zawierająca pary gdzie i taka że: 1. * każdy wiersz i każda kolumna zawiera dokładnie jeden raz każdy element z i dokładnie jeden raz każdy element z oraz 2. * żadne dwie komórki nie zawierają tej samej pary Autorem koncepcji jest Leonhard Euler, który używał zbiorów: * pierwsze dużych liter z alfabetu łacińskiego, i * pierwsze małych liter z alfabetu greckiego Stąd nazwa kwadrat grecko-łaciński. Przykłady poniżej: Układ samych łacińskich znaków, a także układ samych greckich znaków w kwadracie grecko-łacińskim tworzą kwadrat łaciński. Kwadrat grecko-łaciński może zostać rozłożony na dwa ortogonalne kwadraty łacińskie. Ortogonalność oznacza tu, że każda para z iloczynu kartezjańskiego wystąpi dokładnie raz. (pl) Гре́ко-лати́нский квадра́т, или э́йлеров квадра́т, — квадрат N×N в каждой клетке которого стоят 2 числа от 1 до N так, что выполняются следующие условия: 1. * В каждой строке и столбце каждая цифра встречается один раз на первом месте в паре, и один раз на втором. 2. * Каждая цифра стоит в паре с каждой другой цифрой и с самой собой по одному разу. Такие квадраты, как видно из названия, тесно связаны с латинскими квадратами, для которых выполняется лишь первое правило, и в каждой ячейке которого стоит только одно число. Само название и тех и других квадратов пошло от Эйлера, который использовал вместо цифр греческие и латинские буквы. Греко-латинский квадрат можно рассматривать как наложение двух ортогональных латинских квадратов. Пример (ru) 希臘拉丁方陣（英語：Graeco-Latin square）為兩個拉丁方陣相正交所得到的方陣。 它跟數獨一樣，每一行、每一列都不會重複，並且每一個拉丁字母與每一希臘字母只配對一次，就稱這兩方陣互為正交(orthogonal)，疊合後的方陣稱為希臘拉丁方陣，當n為質數或質數冪時，n階拉丁方陣有 n-1 個（orthogonal square）；當n為2或6時，不存在n階正交方陣；而當n=10時，存在兩個正交方陣，但是是否存在三個正交方陣則未知，反倒是目前已經知道不存在九個正交方陣，換句話說，最多只能有八個正交方陣；至於n=12，則存在至少五個正交方陣，希臘拉丁方陣跟拉丁方陣一樣可以旋轉或，因為旋轉或翻轉後的結果仍然符合希臘拉丁方陣的定義。 (zh) |
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| rdfs:label | Quadrat grecollatí (ca) Griechisch-lateinisches Quadrat (de) Grek-latina kvadrato (eo) Cuadrado grecolatino (es) Carré gréco-latin (fr) Mutually orthogonal Latin squares (en) 직교 라틴 방진 (ko) Kwadrat grecko-łaciński (pl) Греко-латинский квадрат (ru) 希臘拉丁方陣 (zh) |
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