Zariski topology (original) (raw)
Die Zariski-Topologie ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie. Sie ist die natürliche Topologie auf den Studienobjekten der algebraischen Geometrie, den algebraischen Varietäten oder allgemeiner den Schemata.
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| dbo:abstract | Die Zariski-Topologie ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie. Sie ist die natürliche Topologie auf den Studienobjekten der algebraischen Geometrie, den algebraischen Varietäten oder allgemeiner den Schemata. (de) En géométrie algébrique et en théorie des catégories, le terme topologie de Zariski peut désigner quatre notions proches : * une certaine topologie définie sur une variété algébrique. Les fermés de cette topologie sont les ensembles algébriques ; * une topologie définie de manière analogue sur le spectre premier d'un anneau commutatif ; * une topologie définie sur un schéma, qui, localement, provient de la topologie de Zariski définie sur un spectre d'anneau ; * une topologie de Grothendieck sur un site. La notion de topologie de Grothendieck donne un cadre qui fait ressembler les objets d'une catégorie aux ouverts d'un espace topologique. Pour toutes ces notions, consulter l'article correspondant à l'objet géométrique sur lequel la topologie est définie. * Portail des mathématiques (fr) En matemáticas, la topología de Zariski es una estructura básica en la geometría algebraica, especialmente desde los años 1950. En tal topología, así llamada por Oscar Zariski, los conjuntos cerrados son aquellos que consisten de los ceros comunes a un conjunto de polinomios. (Ver ) (es) 代数幾何学と可換環論において、ザリスキ位相（英語: Zariski topology）は代数多様体に定義される位相であり、最初はオスカー・ザリスキによって導入された。ザリスキ位相は可換環の素イデアル全体の集合に対しても定義され、その環のスペクトルと呼ばれる。 ザリスキ位相によって、基礎体が位相体でないときでさえ、代数多様体の研究に位相空間論の道具を使うことができるようになる。このような手法はスキーム論の基本的な考えの1つであり、多様体 (manifold) が局所座標系（実アファイン空間の開部分集合）を貼り合わせて構成されるのと同じように、一般の代数多様体はアファイン多様体を貼り合わせて構成される。 代数多様体のザリスキ位相は、多様体の代数的部分集合の全体を閉集合系とする位相である。複素数体上の代数多様体の場合には、ザリスキ位相は通常の位相よりも粗く、任意の代数的集合は通常の位相でも閉集合であるが、逆は一般には正しくない。 可換環の素イデアル全体の集合へのザリスキ位相の一般化は、代数閉体上定義されたアファイン多様体の点全体と多様体の正則関数環の極大イデアル全体との間の1:1対応を確立するヒルベルトの零点定理から従う。この定理より、可換環の極大イデアル全体の集合上のザリスキ位相は、ある与えられたイデアルを含む極大イデアルの全体を閉集合とし、かつそのような集合のみが閉集合である、と定めればよいことが示唆される。グロタンディークのスキーム論のもう1つの基本的な考えは、極大イデアルに対応する普通の点のみならず、すべての（既約）代数多様体、これは素イデアルに対応する、をも点として考えることである。したがって、可換環の素イデアル全体の集合（スペクトル）上のザリスキ位相は、ある固定されたイデアルを含むような素イデアル全体の集合の全体を閉集合系とする位相である。 (ja) In algebraic geometry and commutative algebra, the Zariski topology is a topology which is primarily defined by its closed sets. It is very different from topologies which are commonly used in the real or complex analysis; in particular, it is not Hausdorff. This topology was introduced primarily by Oscar Zariski and later generalized for making the set of prime ideals of a commutative ring (called the spectrum of the ring) a topological space. The Zariski topology allows tools from topology to be used to study algebraic varieties, even when the underlying field is not a topological field. This is one of the basic ideas of scheme theory, which allows one to build general algebraic varieties by gluing together affine varieties in a way similar to that in manifold theory, where manifolds are built by gluing together charts, which are open subsets of real affine spaces. The Zariski topology of an algebraic variety is the topology whose closed sets are the algebraic subsets of the variety. In the case of an algebraic variety over the complex numbers, the Zariski topology is thus coarser than the usual topology, as every algebraic set is closed for the usual topology. The generalization of the Zariski topology to the set of prime ideals of a commutative ring follows from Hilbert's Nullstellensatz, that establishes a bijective correspondence between the points of an affine variety defined over an algebraically closed field and the maximal ideals of the ring of its regular functions. This suggests defining the Zariski topology on the set of the maximal ideals of a commutative ring as the topology such that a set of maximal ideals is closed if and only if it is the set of all maximal ideals that contain a given ideal. Another basic idea of Grothendieck's scheme theory is to consider as points, not only the usual points corresponding to maximal ideals, but also all (irreducible) algebraic varieties, which correspond to prime ideals. Thus the Zariski topology on the set of prime ideals (spectrum) of a commutative ring is the topology such that a set of prime ideals is closed if and only if it is the set of all prime ideals that contain a fixed ideal. (en) 대수기하학에서 자리스키 위상(영어: Zariski topology)은 대수다양체나 스킴에 일반적으로 주어지는 위상이다. 자리스키 위상에서는 다항식의 해집합을 닫힌 집합으로 정의한다. (ko) Zariskitopologie is een begrip in de wiskunde, op het kruispunt van de topologie en de algebraïsche meetkunde. Er zijn verschillende definities in omloop. Zij verschillen in de onderliggende puntenverzameling van de topologische ruimte. De klassieke definitie van de Zariskitopologie situeert zich in de affiene -dimensionale ruimte of de projectieve -dimensionale ruimte over een algebraïsch gesloten lichaam , of als deelruimtetopologie in een algebraïsche deelverzameling van een van die ruimten. De moderne definitie van de Zariskitopologie situeert zich in de verzameling van alle priemidealen van een commutatieve ring met eenheid. Het verband tussen beide definities volgt eruit dat de punten van in een eeneenduidig verband staan met de maximale idealen, dus niet met alle priemidealen, van de ring van polynomen in veranderlijken met coëfficiënten in . In dit artikel wordt de moderne definitie gebruikt. (nl) In matematica, e più precisamente in geometria algebrica, la topologia di Zariski (dal nome del matematico Oscar Zariski) è una topologia sullo spazio affine i cui chiusi sono tutti e soli gli insiemi algebrici, cioè i luoghi dove si annullano contemporaneamente i polinomi di un ideale di . Si può costruire la topologia di Zariski anche sullo spazio proiettivo considerando come chiusi gli insiemi algebrici proiettivi. (it) Em matemática, a topologia de Zariski é uma estrutura básica na geometria algébrica, especialmente desde os anos 1950. Nesta topologia, assim chamada devido a Oscar Zariski, os conjuntos fechados são aqueles que consistem dos zeros comuns a um conjunto de polinômios. (pt) Inom matematik är Zariskitopologin en topologi som brukar användas inom algebraisk geometri vid studiet av varieteter. Den infördes först av för att studera både och . När Alexander Grothendieck sedan reformerade den algebraiska geometrin infördes en modern definition. Zariskitopologin är en mycket grov topologi, i den meningen att den inte kan separera punkter. Den är nämligen bara Hausdorff för varieteter över ändliga kroppar. Den ger därför inte heller speciellt mycket geometrisk information. (sv) Тополо́гія Зари́ського в алгебричній геометрії — спеціальна топологія, що відображає алгебричну природу, алгебричних многовидів. Названа на честь Оскара Зариського. (uk) 在代数几何和交换代数中，扎里斯基拓扑是定義在代数簇上的拓扑。其由奥斯卡·扎里斯基首先提出，及後用作給出一般交换环的素理想集的拓撲結構，稱為環的谱。 有了扎里斯基拓扑，無論一個代數簇的基域是否一個拓撲域（即一個域，其上可定義一個拓撲，使得加法和乘法都是連續函數），都可應用拓扑学的工具到代数簇的研究上。这是概形论的基本思想，有了它才允许將多個仿射簇黏合，而成一個一般的代數簇，正如流形理论中，流形由多個坐标卡（實仿射空间的開集）黏合而成一樣。 將一個代數簇的代數子集定義為閉集，就得到該代數簇的扎里斯基拓扑。若該代數簇定義在复数上，則扎里斯基拓扑比通常的拓扑结构更粗糙，因为每一个代数集在通常的拓撲中也都是闭集。 扎里斯基拓撲在交換環的素理想集上的推廣可從希尔伯特零点定理得到，因為該定理說，代數閉域上的仿射簇的點，與該仿射簇的坐標環的极大理想一一對應。因此可如下定義一個交換環的極大理想集上的扎里斯基拓撲：若干極大理想的集合是閉集，當且僅當該些極大理想就是包含某一理想的所有極大理想。格罗滕迪克的概形論中還有另一個基本思想，就是不單考慮對應某個極大理想的點，還要考慮任意（不可約的）代數簇，即對應素理想的點。 所以交換環的素理想集（稱為「譜」）上的扎里斯基拓撲滿足：若干素理想的集合為閉集，當且僅當該些素理想就是包含某一理想的所有素理想。 (zh) Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии. (ru) |
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